華南師范大學數學科學學院(510631)蘇洪雨 馮偉貞

1 試題的命題思想分析

高考具有兩大功能:第一,為國家、為高校選拔合格人才;第二,引導中學教學,助力優(yōu)秀人才的培養(yǎng).高考數學就是要發(fā)揮數學學科特點,以測試數學綜合能力、發(fā)展數學核心素養(yǎng)為目標,通過創(chuàng)新試卷結構與試題形式,更好地實現高考立德樹人、服務選才、引導教學的核心功能[1].高考數學具有良好的區(qū)分效果,其選拔功能歷來被重視和認可[2],這主要體現在數學學科的獨特性,能夠較好地考查學生的理性思維;除此之外,選擇優(yōu)秀的數學人才是國家科技發(fā)展的根本,而優(yōu)秀的人才不僅要具有很好的數學思維品質,還要具備良好的道德品質.

2021年高考數學試題(新高考I 卷)根據《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱《課標2017》)、《中國高考評價體系》和《新高考過渡時期數學學科考試范圍說明》(教基廳函[2019]44 號)進行命制.試題以立德樹人、服務選才、引導教學為基本思想,考查學生為進入高等教育必備的數學知識、核心價值、關鍵能力和核心素養(yǎng)(“四層”).試題體現了“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”(“四翼”),即注重考查學生對數學基本概念、原理、技能和思維方法掌握情況,將數學知識、能力和素養(yǎng)整合的能力,應用數學解決實際問題的能力及探究、創(chuàng)新能力.

根據高校人才選拔要求和國家課程標準,高考的目標是“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”的“四層”.2021年高考數學試題聚焦“四層”,考查內容既界限清晰明確且相互連接貫通,始終突顯核心價值在育人中的重要地位;既符合高中數學課程的基本要求,又具有前瞻意識,充分考慮了高校對學生數學學科核心素養(yǎng)要求.

高考評價體系的“四翼”考查要求立足于素質教育應達成的內容表現與形式表現,是在高考中對素質教育進行評價的基本維度.2021年高考數學試題基于“四翼”要求,也就是“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”,體現了素質教育在高考中的評價維度,既落實了高考“服務選才”的功能,又發(fā)揮了高考“引導教學”功能.

2 試題的設計分析

2021年新高考數學全國I 卷在設計方面基本保持了適應性考試命題的方式,只是去掉了開放性問題;與2020年及以前的高考試題相比較,在試題的題型和結構方面都發(fā)生了一些改變,充分體現了新高考的命題思想和新課程的理念.在題型方面,出現了一題兩空的填空題,多選題的評分規(guī)則發(fā)生改變,而主觀題考查的知識領域順序不確定.在考查的主干知識點分布方面,也適當進行了調整,知識點的考查難度和關鍵能力的考查也有所變化.

在2020年新高考全國I 卷中,六道解答題的順序依次是三角、數列、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、函數與導數;在2021年適應性考試中,則是數列、三角、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、函數與導數,即三角與數列兩道大題順序調換.2021 新高考I 卷六道大題的順序發(fā)生了較大的調整,順序依次是數列、概率統(tǒng)計、三角、立體幾何、解析幾何、函數與導數.即數列、概率統(tǒng)計、三角這三道解答題的順序有所變動,而立體幾何、解析幾何、函數與導數順序相對固定.這說明新高考解答題順序沒有一個固定的順次,相對靈活,旨在提醒考生不必過于關注解答題次序,而應該關注知識點和數學能力本身.

2021年高考數學試題考查了高中數學的主干知識,函數與導數、數列、三角、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計等6 大知識板塊的分值為135 分,占比90.0%,體現了主干內容重點考的試卷設計思路.表1 和圖1 為2021年高考數學試卷考查內容與分值分布.

表1 2021年高考數學試卷考查內容與分值分布

從表1 可以看出,函數與導數、幾何、三角、概率統(tǒng)計是此次考查的主干內容,分值在120 分左右.尤其是幾何方面,解析幾何的分值是27 分,立體幾何是22 分,如果把解三角形也歸入幾何領域,那么分值達到了61 分,占比接近全卷的三分之一.與2020年高考試題相比較,概率統(tǒng)計的份量也有所增加,在單項選擇題、多項選擇題和解答題三種類型的題目中各有一題,考查的內容包括獨立事件的判斷和計算公式、用樣本估計總體(樣本平均數、中位數、標準差、極差)、離散型隨機變量的分布列和數學期望,傾向于概率,統(tǒng)計內容減少.試題降低了文字的閱讀量,數學情境比較清晰.

3 試題特色

2021年新高考全國I 卷數學試題是廣東省首次使用文理不分科的數學試題,雖然和以往文理分卷考試有所不同,但是依然繼承了以往全國卷試題的優(yōu)點,并進行了改革嘗試,增加了多選題、一題兩空的題型.試題兼顧文理考生數學學習的特點,注重基礎性的考查和問題解決的通性通法,強調數學本質,降低運算技巧難度,適度考查數學應用和創(chuàng)新,提升題目的區(qū)分度.

3.1 兼顧文理不分科,注重基礎和區(qū)分

試題在兼顧文理科不同的情況下,適度降低技巧難度;題目重視考查學生對基礎知識、基本技能和基本的數學思想掌握情況;同時,適當設計問題的梯度,提高試題的區(qū)分度,對學生的數學學科核心素養(yǎng)合理評價.

例如,單選題集合、復數、函數性質等基本問題屬于基礎性問題,但是第8 題卻是考查獨立事件的定義,難度不大,但是考查數學本質;多選題的第1 題考查基本的統(tǒng)計量,但是后3 題的難度逐步增加,特別考查了直觀想象的核心素養(yǎng),同時隱含了參數方程、三角函數、平面幾何等知識.再例如,填空題第1 題不是簡單的考查偶函數,還包括了冪指數的運算,考點較多;而第2 和3 個填空題較為綜合,較好地考查了拋物線相關概念和絕對值函數的最值;第16 題包括兩個問題,第一個比較直接,學生觀察、操作或實驗就可以得到結果,第二問則是考查學生的數學抽象能力,探討數學模型,要求學生能夠歸納、推理和運算,綜合考查了學生的核心素養(yǎng).在解答題中,第一問相對比較基礎,但是考查能力,例如數列通項的遞推關系、離散型分布列、正余弦定理、立體幾何推理、圓錐曲線定義、導數與函數單調性等;第二問則具有一定的數學深度和高度,考查學生思維的深刻性、嚴謹性、廣闊性等,學生要理解相關的數學思想,例如數列中的函數思想、概率思想、方程思想、數形結合、化歸思想等,同時,能夠運用遞推、類比、轉化、構造等方法解決問題.這樣的命題設計,不僅讓學生能夠較好理解問題,又要進行多角度地探究,嚴謹細致地推導、準確地運算才能解決問題.這樣的命題,既能考查文理不同傾向的學生的數學基礎情況,又能對他們進行合理區(qū)分,有利于人才的選拔.

3.2 基于新題型命題,強化梯度的設計

在2021年新高考數學I 卷中,比較合理的設計了多選題、一題多空題的新題型.基于這些新題型,在考查數學知識和關鍵能力的方面,強化了試題的梯度,從而能夠使不同水平的學生獲得不同的分數,提高了學生的得分率,有助于學生更好地發(fā)揮數學潛能.

例如,多選題的第11 題,題目的已知清晰簡單,圓上有一點P,另外有兩個特殊的點A,B分別在x軸和y軸,選項A 和B 是屬于同一層次的問題,也就是圓上的點到直線AB的距離問題,考點是圓與直線的位置關系;而選項C 和D 又是更高層次的問題,考查角、直線和圓的位置關系、勾股定理等,是考查動態(tài)幾何的問題.這兩個梯度對于不同的考生有著不同的要求,比較全面的考查了學生的數學素養(yǎng).

再例如第16 題,共有兩個填空,第一個是基于學生的觀察、實驗、操作就可以得到答案,是屬于基礎性的考查;第二個是基于第一個的結果,進行歸納、探究規(guī)律,通過數學抽象,得到一般的數列模型,通過數學運算才能獲得最后的結果.問題的難度逐步上升,考查的學生核心素養(yǎng)也不同,后者更加注重數學思維的深度與廣度,強調數學抽象、建模和運算.

不僅僅是新題型的問題有著梯度的劃分,在解答題中,第一問和第二問也有著比較清晰的梯度.一般的,第一問都是考查最基本的數學概念、原理或方法,第二問數學思維層次加深,綜合考查學生的數學核心素養(yǎng).

3.3 淡化命題的形式,注重數學的本質

從2021年高考數學全國I 卷整體分析,命題的形式比較平實,都是學生日常練習過的類型,即使是新增的多選題和一題兩空題;而解答題也沒有超出學生的預期,數列、概率統(tǒng)計、三角函數、立體幾何等依然是解答題的主要內容,解析幾何和導數的應用問題作為最后的壓軸.

盡管試題形式比較常規(guī),但是試題重點考查了數學的本質,通過這些問題的考查,也恰恰體現了學生數學學習的薄弱環(huán)節(jié),也揭示了數學教學的不足之處.

新高考I 卷試題除了增加多選和一題兩空的新題型之外,其他題目在形式上與往年的高考題沒有太大區(qū)別,都是學生比較熟悉的“類型”,這給人一種錯覺,試題與往年的高考題沒有太大改變,甚至不如2020年山東省使用的新高考試題新穎(除了多選題,還有開放性問題);然而,在考查概念、原理和方法方面,2021年新高考試題確實考查了數學本質問題,如同許多老師說的,“考到了學生的‘痛點’”!什么是學生的“痛點”?當前,為了應對高考,許多學校把高中三年的課程壓縮為兩年完成,這就形成了“概念照本宣科,原理記憶就過,方法只為結果”.在高三復習階段,暴露的很多問題都是概念理解不深刻,數學公式、定理不求甚解,解題方法傾向套路.針對這樣的現象,試題從基本概念、原理出發(fā),考查學生是否掌握了其思想與方法.

例如第7 題,若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( )

A.eb

此題設問簡單,函數模型也是學生熟悉的常用指數函數,考點是切線問題.這道題目看似比較常規(guī),但是卻隱含著多個概念問題,例如指數函數的圖像、性質、切線、導數、斜率等,解答此題,可以從函數圖像直觀獲得信息,并且要理解指數函數圖像的性質特征,理解切線的含義及a,b,ex對應的圖像;另一種解法就是寫出切線的方程,討論a,b的取值,要用到導數的概念,甚至極限的思想,有可能“小題大做”!此題考查的數學本質就是指數函數性質、圖像和切線概念(水平漸近線).

多選題中的12 題,考查的是向量數量積的坐標表示及兩角和差公式,也是基本的數學公式;填空題的14 和15 題,一個是拋物線的概念,另一個是分段函數的概念與最值問題.

解答題中的數列、概率、解三角形等,都是以常見的題型命題,考查的卻是數學的本質.例如第17 題數列問題.此題的題干簡潔清晰,問題也不難理解,尤其是第(2)問,求前20項的和,看似比較基礎,題目考查的卻是數列的基本概念和遞推關系,給出的an+1與an遞推關系是奇偶項的交叉遞推關系,這和往常試題的奇偶項分別討論不同,也為學生制造了解題的障礙,而試題本質考查等差數列的概念,體現了數列是一類特殊的函數.

3.4 動點動線重直觀,歸納猜想強探究

在2021年新高考I 卷的試題中,“變化”的數學隨處可見,很好的體現了高中“變量”數學的特征;另外,在考查學生邏輯推理能力的同時,注重考查學生觀察、實驗、列舉、歸納和猜想的能力,其實,歸納猜想也是學生應該具備的數學核心素養(yǎng)[3].

從動態(tài)研究數學是此次高考數學的顯著特點,例如第3題,已知圓錐的底面半徑為,其側面展開圖為一個半圓,求該圓錐的母線長.這個題目要求學生頭腦有圓錐側面展開的直觀表象,這樣就可以發(fā)現圓錐母線和底面圓周的關系,問題也就容易解決,當然畫個草圖更好;第7 題,點(a,b)是動態(tài)的,切線也是動態(tài)的,但是一旦位置確定了,a和b的值也就得到了;第11 題,是直線與圓的位置關系,以及∠PBA的大小變化,也是動直線的問題;第12 題將二維空間轉換到三維空間,根據兩個參數,考慮P點的運動軌跡,既有考慮二維平面上點的動態(tài)過程,也要討論三維空間的直線的變化;解答題中的立體幾何問題,也就是第20 題,同樣也是動態(tài)的點和線,最后拓展到二面角的問題;第21 題,設點T在直線上,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率的關系,通過動點給出兩條割線的關系,探討最后的結論.

除了幾何的變化之外,數量的變化比較常見,例如,三角函數的誘導公式、正余弦定理、韋達定理的應用、量的代換和構造等.正是由于形和數的“變”,提高了試題的質量,改變了死記硬背的套用公式或“模式”.

試題的另一個特點是注重考查學生歸納猜想和數學探究能力.在第16 題,通過折紙的特殊情況,一次、二次、四次,讓學生發(fā)現其中蘊含的數字規(guī)律,歸納猜想數列通項:第n次對折后的圖形面積為猜想,繼而就可以求得結果;這個歸納猜想的數學探究過程,考查了學生對特殊與一般的數學思想的理解,也考查了數學抽象的素養(yǎng).在第21 題的第(2)問,也可以先從特殊入手,猜測出結論,然后再進行嚴格的論證.

這樣的命題方式使得試題變得比較靈活,既注重了數學的理性思維,強調邏輯推理,同時也注重了類比、歸納和猜想,培養(yǎng)學生的數學創(chuàng)新意識.

3.5 情境設置較合理,數學閱讀恰適當

高考評價體系中的“四層”考查內容和“四翼”考查要求,是通過情境與情境活動兩類載體來實現的.在高考數學試題中,主要包括學習探索情境和生活實踐情境,合適的情境可以有效地考查學生的數學基礎、應用和創(chuàng)新.相對于2020年的高考數學試題,2021年的試題中的情境設計比較合理,體現了數學學習探索情境和生活實踐情境.數學學科有著與其他學科顯著的不同,那就是高度的抽象性,過于復雜的情境可能干擾考查學生的數學理解,不一定能夠評測學生的數學學科核心素養(yǎng).除了第16 題和第18 題兩個具有一定特殊生活實踐情境的試題,其他都是學生熟悉的學習探索情境,這有助于學生正確理解問題.

試題在數學閱讀方面也適當降低了復雜性,學生能夠比較快速地讀懂問題,并且轉化為數學語言,表征為數學符號.閱讀難度的降低也有利于學生在短時間內應用合適的數學知識、技能解決問題,展現真實的數學能力.

3.6 落實新高考政策,加強教學的導向

新高考是新課程改革以來的檢驗方式,落實新高考政策,有助于推進新課標和新教材的實施.新高考結合新課標和高考評價體系進行命題,對未來的數學教學起到引導作用.

《課標2017》在命題建議中指出:考查內容應圍繞數學內容主線,聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧;融入數學文化.應有一定數量的應用問題,重點考查學生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識,適度增加試題的思維量;關注內容與難度的分布、數學學科核心素養(yǎng)的比重與水平的分布;努力提高試卷的信度、效度和公平性[4].

從前5 點分析可以發(fā)現新高考試題落實了相關的政策,嚴格按照教育部提出的“要優(yōu)化情境設計,增強試題開放性、靈活性,充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用,引導減少死記硬背和‘機械刷題’現象”.這對于未來的數學教學有著良好的引導作用.

4 學生答卷情況分析

2021年新高考全國I 卷的平均分和2019年全國I 卷文科卷的平均分相似,考慮到文理不分科,2021年廣東省考生得分偏低.從題型上分析,選擇題得分比往年的都要低,這是增加了多選題之后,學生的得分率創(chuàng)下新低.填空題的得分也不高,比2020年的文理科都要低,不過比較三年的變化,填空題的得分沒有較大變化.在解答題方面,得分最高的是第18 題概率問題,比往年的都要高;數列和三角的得分都比往年低,尤其是三角,明顯低于2019年和2020年的得分;立體幾何得分和以往類似,得分率也不高;解析幾何和導數的應用屬于壓軸問題,相對往年偏低.

選擇題的前兩題比較簡單,但是從第3 題開始,題目增加了難度,需要從動態(tài)的角度研究問題,綜合性也有所提高,很少對單一知識點的考查.表面看,題目和2020年的類似,但是綜合程度有所增加,類似于2021 的適應性考試題,只不過運算、推理難度有所降低;第7 題和第8 題都是考查學生對數學概念的理解,是對數學本質的考查;多選題第9 題相對比較簡單,但是后三題的難度逐步增大,綜合程度較高.

填空題難度稍大,其中0 分卷達到了11%,5 分卷17%左右,7 分的也在17%左右,10 分的在14%左右;15-18 分的學生在13%左右;滿分的學生僅僅0.7%.

解答題一共6 個,都是學生熟悉的數列、三角、概率等問題,并沒有出現看似“新穎”的問題,但是除了概率問題之外,其他題目的得分率都不算高.第17 題考查數列通項和求和,看似很普通,但是這個題目暗藏“機關”,奇偶項互為遞推關系,這就把很多考生繞暈了,零分的考生達到近20%,4-6 分的學生達到25%,能夠完成第(1)問的學生不到一半,7 分以上也只有22%,滿分的僅有2.5%左右.此次的概率問題是比較簡單的問題,但是得分也不是十分理想.有20%的考生得了0 分,10%的學生只得到1 分,得到11 分以上的占到了40%,相對比較好.第19 題是解三角形的問題,近30%的學生得0 分,僅得到3 分達到了32%,得到10 分以上的學生不到2%.此題的難度超過了很多人的預期,正如數列問題一樣,由于學生對基本概念理解不夠深刻,對于相關的數學運算素養(yǎng)不過關,對于這類數學思維層次并不高的問題,不能順利解答.第20 題也是常規(guī)的立體幾何問題,此題得4 分的學生最多,占到了20%左右,其次得0 分得也有18%,其次1 分和2 分也有較多學生,而得到6-11 分的學生相對比較平均,都在3%-4%左右,得到滿分的達到了7%.此題的區(qū)分較好.第21 題考查了一個關于雙曲線的問題,學生的得分集中在3 分,達到了38%,其次有33%的學生得到了0 分,得到10 分以上的僅有0.2%.同樣,第22 題也是難度較大的導數應用問題.此題的零分率達到了43%,其次,得分最多的是4分,達到了35%;得到10 分以上的僅有0.07%.

5 學生答卷典型錯誤及分析

從數據分析可以發(fā)現,新高考數學I 卷難度接近2019年全國I 卷的文科卷難度,但是學生在數列、三角、解析幾何、導數的應用等問題表現不佳.下面結合學生的典型錯誤進行分析.

5.1 填空題典型錯誤及分析

第13 題典型錯誤:?1,±1,1 或?1.錯因分析:數學運算能力較差,或者粗心大意.

第14 題典型錯誤:.錯因分析:審題不仔細,看錯題目,答非所問;對拋物線準線定義不清楚,或者審題不仔細,畫圖出現錯誤.

第15 題典型錯誤:.錯因分析:求不出x=1時函數有最小值,錯誤認為時,函數有最小值.

第16 題典型錯誤:第一空答題情況較好,從考生答題情況的抽樣結果看,這一空的得分率為0.7.第二空難度較大,從考生答題情況的抽樣結果看,有大約50%的考生沒有作答這一問,在作答的考生當中,有如下典型錯誤:寫出答案是一個常數,如錯因分析:沒有讀懂題意,不能理解結果和折疊次數n有關;求出Sn的表達式,但沒有求和,審題不仔細.計算出錯,常數項不是720;2 的冪指數不正確;書寫不規(guī)范,將冪運算寫成了乘積運算形式;將n的表達式錯誤寫出k的表達式,不熟悉數列前n項和的定義.

5.2 第17 題(數列問題)典型錯誤及分析

第一問典型錯誤:(1)遞推兩步不完整或者完全沒有遞推,由合情推理(歸納推理)得到a2n?a2n-2=3,d=3.或者得到(2)當n為奇數時,an=3n?2;當n為偶數時,an=3n?1;(3){bn}=3n?1或bn是以b1=2 為首項,公差為3 的等差數列;(4)把題目中的奇數項加1,偶數項加2 顛倒過來.

錯因分析:數學符號語言表達的能力欠缺;通項和項數n之間的對應關系搞不清楚,本質上是對于數列的函數特征理解不透徹,搞不清楚自變量(項數n)與函數值(對應的通項f(n))之間的對應關系.

第二問典型錯誤:(1)采用全部羅列出來的方法,沒有羅列完整,不全;計算前20 項時出現計算錯誤;(2)a1+a2=3,a3+a4=9,……不完全歸納得到an+an+1=6n?3;(3)分類奇數項和145,偶數和155,計算145+155 都易出現計算錯誤;(4)n為奇,an=3n?1,n為偶,an=3n?2;(5)n為奇,,n為偶,.

錯因分析:(1)不完全歸納得出結論;(2)下標與項數對應關系錯誤;(3)跳步太嚴重推導過程不完整;(4)書寫規(guī)范性問題;(5)計算錯誤;(6)公式記憶錯誤.

5.3 第18 題(概率問題)典型錯誤及分析

第I 類錯誤(基本概念理解錯誤):(1)P(X=0)=錯因分析:(1)把兩個不同的“兩點分布”合在一起,誤認為是二項分布,同時又錯誤運用二項分布概率計算公式求相關概率;(2)錯誤運用二項分布期望計算公式求相關期望.

第II 類錯誤(基本符號使用錯誤或者不規(guī)范):(1)符號理解錯誤或者有偏差,如將概率中的期望E(X)寫成統(tǒng)計中的樣本均值,期望比較大小直接簡寫為“A 類

第III 類錯誤(不認真審題,沒明確題目要求):沒進行期望大小的比較就下結論.錯因分析:不認真審題,沒明確題目要求,邏輯推理缺乏依據,不夠嚴謹.

第IV 類錯誤(計算錯誤或不懂得利用性質檢驗):(1)隨機變量可能取值、隨機變量對應概率或者期望計算錯誤;(2)不懂得利用分布列性質中“概率和為1”進行檢驗或者計算.錯因分析:(1)題目理解不到位,基本計算方法掌握還不扎實或者計算時不夠專注;(2)分布列性質不夠熟悉,缺乏應用相關性質的意識.

第V 類錯誤(省略關鍵運算步驟):(1)第(I)問直接寫P(X=0)=0.2,沒有必要運算過程,沒有體現互斥事件概率的計算;(2)省略算期望的必要運算過程.錯因分析:(1)思維跳躍,數學表達不夠嚴謹細致;(2)思維跳躍,數學表達不夠嚴謹細致.

5.4 第19 題(三角函數問題)典型錯誤及分析

典型錯誤:(1)不能正確寫出(或省略不寫)正弦定理的表達式;(2)只寫定理公式;(3)認為a=sinA;(4)計算錯誤;(5)證明題邏輯錯誤;(6)∠ABC寫成∠B,不對舍根的原因做出判斷說明(未寫),構造方程后跳不嚴重,……

錯因分析:(1)這與知識的熟練程度、平時訓練的書寫習慣、教師的教學示范都有關系;(2)沒有掌握解答本題的相關方法,只能盡可能寫出與本題相關的定理公式,碰運氣看能否寫中采分點;(3)平時訓練時多數是根據齊次等式兩邊同時進行邊角互化,由此產生誤解;(4)第二問中根據余弦定理構造出三元方程以后,需進行數字及多符號的混合運算,過程比較復雜,沒有扎實的運算能力,導致代換化簡計算出錯;(5)把證明的結論當做已知條件,混淆了分析法和綜合法;(6)書寫表達規(guī)范性問題,不能辨析關鍵步驟,解答過程有瑕疵.

5.5 第20 題(立體幾何)問題典型錯誤及分析

典型錯誤:(1)由平面ABD⊥平面BCD,直接證得OA⊥OC,從而證出OA⊥平面BCD;(2)以O為原點,以OA,OB,OC為軸建系求解;(3)將求錯,導致法向量求錯;(4)體積求錯;(5)幾何法把二面角找錯,

錯誤分析:(1)錯誤運用面面垂直的性質;(2)OA,OB,OC兩兩不互相垂直,建系出錯;(3)點的坐標出錯;(4)公式不熟;(5)對二面角的定義不熟.

5.6 第21 題(解析幾何問題)典型錯誤及分析

5.7 第21 題(導數的應用問題)典型錯誤及分析

第一問典型錯誤:(1)求導法則錯誤;(2)求導過程運算錯誤;(3)函數定義域錯誤;(4)單調性與函數導數關系混亂至函數單調性錯誤;

6 教學建議

根據2021年新高考數學I 卷的命題,我們大致可以預測未來高考命題的方向,也就是注重數學基礎考查的同時考查學生理解數學的水平,考查學生的數學學科核心素養(yǎng)和創(chuàng)新意識;作為過渡期的試題命題,承擔著承前啟后的重任,而高考改革創(chuàng)新的步伐會越來越堅定,這就需要我們在數學教學中進行適當調整,從而適應新高考.從廣東省考生的數學答題分析,我們也發(fā)現當前數學教學存在的問題,例如,學生對概念理解不清晰,代數運算能力不高,缺乏思維的靈活性,等等.因此,根據高考試題和學生答卷情況,我們提出下面六點教學建議.

6.1 教學回歸數學本質,注重數學學習過程

現象是事物的外部聯(lián)系,是本質的表層呈現,具有豐富性、多樣性和表面性的特征,由感覺器官即能感知:本質是事物的內部聯(lián)系,是現象的深層結構,能決定事物的性質和發(fā)展的趨向,具有單一性、穩(wěn)定性和深刻性的特征,需由思維才能把握[5].從此次高考試題可以發(fā)現,考查數學的基本概念、原理、方法等將是一個重要的方向,命題者盡量避免考查學生表面的數學形式,更加重視數學本質的考查;另外,從學生答卷可以發(fā)現,很多學生的錯誤就是概念、定理的理解偏差,只重視問題的表面,不理解數學的本質.所謂數學本質,張奠宙先生認為主要是:數學知識的內在聯(lián)系,數學規(guī)律的形成過程,數學思想方法的提煉,數學理性精神的體驗.因此,數學教學體現數學本質就是要揭示知識的內在聯(lián)系,讓學生理解數學概念、命題的形成過程,掌握相關的數學思想方法,經歷“做數學”再創(chuàng)造的過程.例如函數的概念,其本質是數集之間的對應關系,是一類特殊的“映射”,那么學生學習函數必須理解“對應”的概念,與此緊密相連的還有集合、定義域、值域等,而其重要的思想就是“對應思想”,“函數思想”是建立在此基礎上的,通過解決相關的問題,讓學生建立函數概念,理解對應思想.通過函數概念教學“再創(chuàng)造”,幫助學生理解了函數的本質特征,掌握了函數思想和方法,這必然會提升他們的數學學科核心素養(yǎng).

回歸數學本質的教學必須注重學生的數學學習過程,提高學生的數學思維水平.

首先,在數學概念、定理、公式、命題等學習過程中,注重形象思維、邏輯思維、分析思維等多種思維方式的培養(yǎng),提高學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析等關鍵能力.例如集合的概念和性質學習中,通過直觀,讓學生感知集合的概念和運算過程,抽象出集合的定義、運算法則,建立集合運算的推理原則,形成關于集合的知識體系和認知結構,并能夠和其他數學領域的知識(不等式、方程、函數、幾何等)建立聯(lián)系.

其次,在問題情境中,發(fā)現其中蘊含的數學關系,用數學的眼光找到合適的研究對象,用恰當的數學語言予以表達,并運用數學思維進行分析,提出數學問題;能夠借助圖形探索解決問題的思路;能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題.問題情境是多方面的,可以是數學情境,例如基本的數學習題;也可以是現實情境或科學情境,例如以生活背景或者科學情境設計的問題.無論是哪種類型的問題情境,要注重習題的層次性、由淺入深,幫助學生在掌握知識技能的同時,進一步感悟數學的基本思想,積累數學思維的經驗;思考題要關注情境和問題的創(chuàng)設,有利于學生理解數學知識的本質,提升數學學科核心素養(yǎng).

最后,在數學建模和探究中,經歷發(fā)現數學關聯(lián)、提出數學問題、構建數學模型、完善數學模型、得到數學結論、說明結論意義的全過程.發(fā)現、提出問題和數學關聯(lián)是數學抽象的過程,是形成理性思維的重要基礎,反映了數學的本質特征,貫穿在數學產生、發(fā)展、應用的過程中.運用數學的邏輯推理得到數學結論,構建數學體現,是數學思維嚴謹性的基本保證,是學生在數學活動中進行交流的基本思維品質.直觀想象是發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.通過運算促進數學思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質,養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.數據分析則是獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力;適應數字化學習的需要,增強基于數據表達現實問題的意識,形成通過數據認識事物的思維品質;積累依托數據探索事物本質、關聯(lián)和規(guī)律的活動經驗.

6.2 加強數學四基訓練,培養(yǎng)學生關鍵能力

當前,數學教學還是傾向于表面的方法傳授,以訓練學生的數學基礎知識和基本技能為主,但是在培養(yǎng)學生基本的數學思想和基本的數學活動經驗方面存在不足,在落實“四基”方面都存在著一些問題,與“四基”關聯(lián)的知識部分的教學、提高技能的教學設計、培養(yǎng)數學思維能力的意識等方面,各自存在著問題[6].四基教學的不足導致學生僅僅記住了相關的數學名詞或公式,但是沒有掌握數學思維方法,形成數學關鍵能力.

基本的數學思想對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識,是現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中,經過思維活動而產生的結果.數學思想是數學教學的核心和精髓,數學教學中應該努力反映和體現數學思想,讓學生體會和領悟數學思想,提髙數學素養(yǎng).數學思想也是數學本質的體現,在數學教學中,在學生熟練掌握基礎知識和基本技能的同時,要讓學生領悟數學思想,提煉數學思想,并運用數學思想學習新的數學知識和方法,訓練數學思維,提高數學能力.

基本活動經驗指學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗.基本活動經驗是個體在經歷了具體的學科活動之后留下的具有個體特色的內容,既可以是感覺知覺的,也可以是經過反省之后形成的經驗[7].數學教學是數學活動的教學,教師的教學應該體現數學活動的過程,并鼓勵學生參與課堂,體驗數學,經歷數學發(fā)現、發(fā)生的過程,滲透基本數學思想,訓練基本技能,掌握基礎知識.在教學中,避免僅僅開展基礎知識、基本技能訓練,在學習數學概念、進行問題解決中,例如解決數列或者函數問題,學生必然經歷數學活動過程,通過研究特殊的數列或函數,探析函數的共性內涵或者數列的通項,從而形成建模、化歸、數形結合等思想方法,提高數學建模、抽象、直觀想象能力.

6.3 關注高考數學改革,把握復習備考方向

在高考改革的新時期,我們要時刻了解政策的實質,學習相關的文件,從而把握高考復習備考的方向.例如,在2021年2月,教育部發(fā)布的教學〔2021〕1 號文《教育部關于做好2021年普通高校招生工作的通知》中,明確指明了深化考試內容改革.2021年高考命題要堅持立德樹人,加強對學生德智體美勞全面發(fā)展的考查和引導.要優(yōu)化情境設計,增強試題開放性、靈活性,充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用,引導減少死記硬背和“機械刷題”現象[8].

在高考數學復習中,我們主要依據的就是《課標2017》和《中國高考評價體系》,課程標準給出了考查的范圍,并提出了基本的要求,雖然比以往的《考試大綱》復雜,但是在課程理念、教學建議、高考命題建議等方面都有明確的指導意見,尤其是高考命題方面,提出考查內容應圍繞數學內容主線,聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧;融入數學文化.應有一定數量的應用問題,還應包括開放性問題和探究性問題,重點考查學生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識,適度增加試題的思維量;關注內容與難度的分布、數學學科核心素養(yǎng)的比重與水平的分布;努力提高試卷的信度、效度和公平性.這對于高考復習備考有著一定的參考價值,也是未來高考的命題方向.而高考評價體系從具體的命題操作方面給出了思想與方法,這有助于我們了解未來高考試題的命題基礎與策略.

6.4 文理不分科的數學,既重通法又有區(qū)分

文理不分科是新高考命題的方向,為數學教學提出了挑戰(zhàn),不同數學層次的學生面對同一份試題,如何合理應對,并開展有效的復習?

針對新高考試題的特點,既要重視試題的基礎性、通性通法;又要注意到試題的梯度和有效區(qū)分.對于試題的基礎性我們在前面已有敘述,那么什么是通性通法?章建躍先生認為,“通性”就是概念所反映的數學基本性質,“通法”就是概念所蘊含的數學思想和方法[9].王明山、邰日昶兩位認為:師生熟知、核心可廣泛應用、明確的知識結論稱通性;在知識結構相對穩(wěn)定的時期內,由通性自然得到的,能解決一類問題的普通方法稱通法[10].在高三復習備考中,教師要整理高中數學中每個專題內容中的“通性通法”,幫助學生掌握數學基本性質,理解數學思想和方法,熟練應用常用的解題方法,為學生的專題復習指明方向;另外,避免學生通過刷題掌握“通性通法”,學生組織歸納能力有限,疲于奔命的刷題只會讓學生腦海中的碎片堆積得更多更快.不得當的、太過強勢的重復刷題,使學生形成思維定勢.思維定勢在應對熟悉問題情境時有效,但不利于變通.

在復習過程中,關注對數學知識脈絡的完整性的考查,做好復習的節(jié)奏及問題梯度設置,提升學生的數學關鍵能力.學生在復習中,對于數學知識要有整體觀念,注重數學的聯(lián)系,建立系統(tǒng)的知識結構;遇到問題能夠展開聯(lián)想,從不同層次思考,能夠深入淺出,穩(wěn)扎穩(wěn)打,從而能夠快速思考,獲得解決問題的方向.

6.5 合理適量選擇問題,掌握策略防止套路

在復習備考中,選擇合適的數學問題進行教學是至關重要的,同時學生所作的題目也要適量,過多過少都會影響復習的效果.在解題中,要掌握數學解題的策略,而不是解題的套路,套路容易導致思維的僵化,當面對新問題的時候,思維僵化的學生將“一籌莫展”.

選擇合適的問題進行解題可以結合微專題整卷練習相結合的方式.對于整卷練習,建議以“四翼”為命題基本維度,調整日常的測驗、考試命題維度.微專題的設計可以是:(1)知識板塊專題(第一輪復習常用);(2)通性通法專題(重點突破);(3)關鍵能力提升的專題;(4)針對題型的專題;(5)針對學生學習痛點的專題:符號運算能力提升專題、概念理解專題、數學閱讀專題等;(6)拔尖學生專題:數學建模問題專題、探索創(chuàng)新性問題專題.

在解題策略方面,學會審題,能夠把文字、符號、圖形轉換,提升數學閱讀能力.理解算法,選擇有助提升符號運算能力的專題,在運算有效性上下功夫.欣賞通性通法的優(yōu)點,促進通性通法的內化,而不是陷在解題技巧或僅僅套路化.在例題之后,練習題、測試題適量選擇對學生而言是基于新模型或針對學生學習的薄弱的題目,教學上多使用最自然的問題解決辦法(雖然不一定是最優(yōu)的方法),提高分析問題能力.練習“小題小做”技巧,在提高解題速度上下功夫.另外,重視應用性和創(chuàng)新性.隨著高考改革的穩(wěn)步推進,對這兩個維度的考查會逐步加強,會逐步落實到每套試題“四翼”考查維度,使應用性、創(chuàng)新性考查真正成為區(qū)分人才層次選拔的“特征量”.關于這兩個維度的備考應對,有兩點建議:以數學建模片段題的方向設計生活實踐問題情境,不應停留在傳統(tǒng)應用題;以勝任新知識學習、具備基本數學探究發(fā)現能力的方向設計學科探索問題情境.

6.6 學會規(guī)范解題方法,形成良好答題習慣

從學生的答卷可以發(fā)現,很多學生解題不規(guī)范,書寫潦草.因此,在復習備考中,要提高學生數學語言的規(guī)范性,在數學表述的邏輯性和清晰性.還有的學生習慣省略步驟,不習慣作圖,這些對于解答的規(guī)范性和完整性都會有影響.這也要求教師在課堂教學中,要以規(guī)范的數學書寫為學生進行示范,避免誤導學生使用簡寫或者自己創(chuàng)造的符號.