魯家寶 魯正超

[摘要] 數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程就是將數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實際問題的過程。課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)的主陣地，在教學(xué)設(shè)計中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型，讓學(xué)生會學(xué);強化數(shù)學(xué)模型思想培養(yǎng)，在實踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題，從而提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)研究;教法設(shè)計;數(shù)學(xué)建模;潛能開發(fā)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)的建模和用模問題上升為模型思想。為落實這一核心理念，深化課堂教學(xué)改革，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，提升教學(xué)研究水平和實踐能力，以人教版三年級上冊“認(rèn)識幾分之一”為例，探討在教與學(xué)的設(shè)計過程中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實踐問題，從而強化模型思想培養(yǎng)。

一、重視模型建構(gòu)過程，讓學(xué)生會學(xué)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提供建模信息

師：大家最喜歡看的動畫片是哪部？現(xiàn)在請大家去看《熊出沒》，好嗎？（出示課件）

[設(shè)計意圖]根據(jù)教材編排和學(xué)生年齡特點，選擇小學(xué)生喜聞樂見的《熊出沒》為情境，以熊大過生日為主線，讓學(xué)生在喜愛的動畫片中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型提供信息，并奠定學(xué)習(xí)感情基礎(chǔ)。

（二）嘗試探索，經(jīng)歷建模過程

1.教學(xué)案例一

（1）認(rèn)識二分之一。

師：他的好兄弟熊二送上了自己親手做的生日蛋糕。（課件出示熊二及配音：把這個蛋糕分給我們兄弟倆，怎樣分最公平）

學(xué)生觀察后獨立思考。教師則根據(jù)學(xué)生回答講解：每份分得同樣多，數(shù)學(xué)上叫“平均分”;最后提出問題：把一個蛋糕平均分成兩份，每人分得多少？如何表示呢？學(xué)生思考后反饋，明白“一半”即整個蛋糕的1/2。

[設(shè)計意圖]通過“怎樣分最公平”奠定最原始的分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的依據(jù)——平均分，學(xué)生自主思考建立從“一半”即“二分之一”的數(shù)學(xué)模型1/2（數(shù)學(xué)概念），這樣設(shè)計既符合新課程理念的要求又體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。

學(xué)生小組合作、交流：誰能根據(jù)分蛋糕的過程相互說說二分之一是怎樣產(chǎn)生的？教師根據(jù)學(xué)生反饋，板書二分之一的意義，經(jīng)過剖析，再引導(dǎo)學(xué)生讀、寫1/2。

[設(shè)計意圖]讓學(xué)生在小組合作交流中重新認(rèn)識二分之一是怎樣產(chǎn)生的，在完善概念的同時培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力和表達能力。

（2）認(rèn)識四分之一。

師：將同樣的蛋糕分給四個小伙伴（多媒體播放并配音），該怎么樣分才公平？大家能按照我們認(rèn)識1/2的過程說說各自的結(jié)果嗎？

學(xué)生小組交流，然后進行展示。最后，拓展延伸。（教師在點撥的基礎(chǔ)上舉例延伸：把一個蛋糕平均分成6份，每份是它的幾分之一？若是10份、50份呢）

（3）自學(xué)1/3、1/5。

師：我們認(rèn)識了1/2、1/4，那么能否依據(jù)圖形來認(rèn)識1/3、1/5呢？

學(xué)生自主學(xué)習(xí)，并展示學(xué)習(xí)成果。

（4）教師講解。介紹分?jǐn)?shù)概念、各部分名稱及讀法。

[設(shè)計意圖]有了認(rèn)識二分之一的基礎(chǔ)，在認(rèn)識四分之一時給予學(xué)生充分的信任，放手讓學(xué)生通過小組間的討論與合作得出結(jié)論，不僅達到強調(diào)“平均分”的目的，而且在思考過程中，充分尊重和發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程的主體作用，促進自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會通過實踐尋找例證的學(xué)習(xí)方法，并通過拓展延伸強化學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解。在此基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，建構(gòu)起1/3、1/5的模型，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

2.教學(xué)案例二

（1）出示自學(xué)提綱：折一折，把一張正方形紙折出它的1/4;涂一涂，用你喜歡的方法涂出其中的一份;比一比，看大家的折法是否相同?，F(xiàn)在就請大家動手折一折，看看能有什么有趣的發(fā)現(xiàn)。

（2）學(xué)生動手折、畫，教師要求學(xué)生上臺展示作品，并說明折的過程，然后相互評價。

（3）小結(jié)：不管怎么折，只要把正方形平均分成四份，每份就是它的1/4。

[設(shè)計意圖]基于導(dǎo)學(xué)，實際操作，促進內(nèi)化，呈現(xiàn)活動中“放”的過程。由于操作實踐目的明確、方法清楚，把學(xué)生的認(rèn)識推向深入，不同的學(xué)生有不同的折法，每種折法各請一位學(xué)生上臺演示和說明，并將學(xué)生作品展示在黑板上。教師不失時機地引導(dǎo)學(xué)生進行相互評價，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的情感，又突出分?jǐn)?shù)概念中的“平均分”“每份”等重要屬性。

3.教學(xué)案例三

師：同學(xué)們折紙折得興高采烈，熊二卻有點兒悶悶不樂。這是什么原因呢？我們一起看看吧?。ǔ鍪菊n件，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較分?jǐn)?shù)的大?。?/p>

學(xué)生分小組觀察、交流討論，隨后教師提出質(zhì)疑：在比較分?jǐn)?shù)大小時你發(fā)現(xiàn)了什么？

[設(shè)計意圖]在大量感知材料基礎(chǔ)上，學(xué)生能輕而易舉地發(fā)現(xiàn)，對同樣大的物體進行比較時，平均分的份數(shù)越多，其中一份的數(shù)反而越小。經(jīng)過試講，發(fā)現(xiàn)學(xué)生由圖與數(shù)的結(jié)合確實一眼就能看出兩個分?jǐn)?shù)的大小，但卻不能很好利用數(shù)學(xué)語言進行說明，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生盡量運用數(shù)學(xué)的語言來進行說明，但不作統(tǒng)一要求。另外，此環(huán)節(jié)尤其注重生生互評，讓學(xué)生在評價中提升自己的學(xué)好數(shù)學(xué)能力。

4.小結(jié)

師：我們通過平均分認(rèn)識了像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的分?jǐn)?shù)，還知道了分?jǐn)?shù)各部分名稱，會比較分?jǐn)?shù)的大小?，F(xiàn)在大家能否用所學(xué)知識解決問題呢？

（三）解決問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

1.教材第91頁“做一做”（出示課件）

第1題是配合例1和例2的練習(xí)，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示圖形中涂色部分，可以幫助學(xué)生進一步理解幾分之一的含義，使學(xué)生直觀看到：不論一個圖形形狀如何，只要是把它平均分，其中的一份就是它的幾分之一。

第2題安排了兩組幾分之一的分?jǐn)?shù)進行比較，分?jǐn)?shù)對應(yīng)的直觀圖比較抽象，分?jǐn)?shù)對應(yīng)的線段圖呈上下排列，便于學(xué)生觀察比較。

2.教材第94頁第1、2、3題（出示課件）

這三道題以“闖關(guān)”形式串聯(lián)出現(xiàn)，目的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上得到個性發(fā)展，受到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教育。

3.拓展作業(yè)

讓學(xué)生用圓形折出自己喜歡的分?jǐn)?shù)，并將其中的一份或幾份涂上自己喜歡的顏色，說說這個分?jǐn)?shù)是多少。

[設(shè)計意圖]作業(yè)的內(nèi)容包羅了整節(jié)課所學(xué)知識，或許在學(xué)生的創(chuàng)作中還會出現(xiàn)后面學(xué)習(xí)的幾分之幾的知識，既鞏固了新知，又拓展了知識，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)奠定了基礎(chǔ)，達到了“課雖盡而趣無窮”的效果。

（四）總結(jié)收獲，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗

師：同學(xué)們通過“學(xué)”認(rèn)識了1/2，通過“想”知道了1/4、1/3、1/5等分?jǐn)?shù)，通過“折”理解了分?jǐn)?shù)的基本含義，通過“比”知道了分?jǐn)?shù)的大小。大家對自己在這節(jié)課的表現(xiàn)滿意嗎？

[設(shè)計意圖]引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，反思自己數(shù)學(xué)建模的過程，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)方法，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗和愉悅的情感體驗。

二、強化模型思想培養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

建模思想是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。在本節(jié)課設(shè)計過程中，教師以《熊出沒》熊大過生日的生活情境為線索，從數(shù)學(xué)的角度思考，抓住了生活數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)生活化的有機聯(lián)系，充分體現(xiàn)了從“講”（教師講解）到“學(xué)”（自主學(xué)習(xí)）到“動”（動手操作）到“評價”（多元評價）再到“撥”（教師點撥）的循環(huán)過程。讓學(xué)生經(jīng)歷感悟知識、體驗過程、理解概念，形成建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用模型解決實踐問題。

（一）在體驗中經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程

就許多小學(xué)內(nèi)容來說，本身就是一種數(shù)學(xué)模型。在這個意義上，我們每堂課都在建立數(shù)學(xué)模型。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是起始概念，是學(xué)生在認(rèn)識整數(shù)后認(rèn)識分?jǐn)?shù)，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)的認(rèn)識的一次重要擴展，也是學(xué)生認(rèn)識數(shù)的概念的一次質(zhì)的飛躍?！皫追种弧边@節(jié)課的內(nèi)容是本單元知識最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，教師基于三年級學(xué)生的認(rèn)知特點，巧妙而靈活地設(shè)計教與學(xué)的全過程，讓學(xué)生在體驗中經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（分?jǐn)?shù)）的全過程。

（二）在活動中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，就是將數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實際問題的過程。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題是在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所必需的。在新課程理念下，解決問題的練習(xí)設(shè)計也要注入新的內(nèi)涵，在進行基本訓(xùn)練的同時，努力讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，受到不同的數(shù)學(xué)教育。教師的練習(xí)設(shè)計分三個層次：第一個層次是面向全體練習(xí)的基本題。第二個層次是通過三道題以“闖關(guān)”形式串聯(lián)出現(xiàn)，目的是讓學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題。第三個層次是拓展練習(xí)，目的讓學(xué)生在活動中，愉快地理解、掌握知識，達到課雖盡而趣無窮的效果。三個層次的練習(xí)，面向全體，使學(xué)生人人品嘗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功的快樂。

（三）在總結(jié)中積累建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗

在“總結(jié)收獲，積累經(jīng)驗”環(huán)節(jié)，教師借助板書內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并進行總結(jié)提升。學(xué)生經(jīng)歷感知數(shù)學(xué)模型建構(gòu)表象，感悟建構(gòu)數(shù)學(xué)模型過程，體驗建構(gòu)模型經(jīng)驗，強化了模型思想培養(yǎng)。這樣，學(xué)生在梳理知識、反思學(xué)習(xí)中，領(lǐng)會學(xué)習(xí)方法、積累建構(gòu)數(shù)學(xué)模型經(jīng)驗，為后續(xù)知識學(xué)習(xí)起到“導(dǎo)學(xué)”的作用。

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的核心問題是數(shù)學(xué)建模與用模問題。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)教學(xué)有著相互制約、相互促進的關(guān)系。而數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)建模促進了教學(xué)觀念更新、教學(xué)方法改革。所以，數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是應(yīng)用建立的數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，關(guān)系到學(xué)生的終身發(fā)展。