姚春明

【摘要】數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng)是核心素養(yǎng)下課堂教學研究的一個重要課題.教師應根據(jù)數(shù)學抽象思維發(fā)展的規(guī)律，運用學生認知結構的發(fā)展和認知心理的原理，遵循科學教學規(guī)律，確定策略和實施方案.實施數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng)有以下五個策略：1.循“序”漸進的策略;2.表征積累策略;3.要素突顯策略;4.數(shù)學符號化、形式化策略;5.互化訓練策略.

【關鍵詞】一核;四層;四翼;數(shù)學抽象思維;表征;數(shù)學符號化;數(shù)學形式化

一、序言

（一）抽象思維培養(yǎng)的意義

教育部考試中心制定的《中國高考評價體系》一書，是指導高考的綱領，也是中學教學的指揮棒.高考評價體系主要由“一核”“四層”“四翼”三部分內容組成（如右圖所示），其中的“四層”強調了抽象思維能力的重要性.

（二）數(shù)學抽象思維發(fā)展的基本規(guī)律

數(shù)學抽象思維的教學實施一般通過以下四個步驟完成：

1.研究教材和教學內容;2.確定待抽象的數(shù)學事物即知識點、數(shù)學概念等;3.用數(shù)學符號或形式抽象地表示本質屬性，建構抽象物的表征和圖式;4.應用表征和圖式進行數(shù)學推理分析，由抽象到具體，還原抽象物的數(shù)學本質，從而解決實際問題.

本文以高中數(shù)學必修一（新教材）“集合”“對數(shù)函數(shù)”為載體，研究和實施數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng).本文立足于抽象思維能力在高中數(shù)學教學中的實施，結合教學實際，從高處著眼，小處著手，研究日常教學中數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng)，以近期的教學內容為切入點，深入、具體地探究如何培養(yǎng)學生的抽象思維能力.

二、新課中培養(yǎng)數(shù)學抽象思維能力的步驟與策略

（一）研究教材和教學內容

集合是抽象的，沒有一個確切的定義（因為集合不能下定義），因此怎樣讓學生真正理解集合的概念需要教師動動腦筋.新編人教版的教材處理得非常得當，由具體到抽象，層層深入.對數(shù)的概念以及對數(shù)的運算比較抽象，學生很難理解，所以教師在教學時應該遵循認知規(guī)律，循序漸進，結合學生已有知識，從學生的最近發(fā)展區(qū)域出發(fā)，溫故而知新.

教材開篇即從小學和初中的認知開始，如，自然數(shù)的集合、同一平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合（即圓）等.然后教材提出“為了更有效地使用集合語言，我們需要進一步了解集合的有關知識”，接著以“1～10之間的所有偶數(shù)、立德中學今年入學的全體高一學生”等六個集合為例，給出集合的含義，然后闡述集合的有關概念以及元素與集合的關系，再引出表示集合的自然語言法、列舉法、描述法等方法.集合的三種表示法中，描述法是最為抽象的，也是教學難點.對數(shù)概念的引入是從已學知識——指數(shù)開始的，通過多個特殊的求指數(shù)的值的實例，引出非特殊值如何求指數(shù)，讓學生意識到這是一種新的運算，并由此引出對數(shù)的概念.

（二）確定數(shù)學抽象分布的位置以及具體的待抽象的數(shù)學事物，即知識點、數(shù)學概念

集合的描述法確定為待抽象的數(shù)學對象，教師教學時應遵循循序漸進的原則，從學生熟悉的一元一次不等式的解集入手.

不等式x-7<3的解集是x<10，因為滿足x<10的實數(shù)有無數(shù)個，所以x-7<3的解集無法用列舉法表示.但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實數(shù)，且x<10，把解集表示為

{x∈R|x<10}.

又如，整數(shù)集Z可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集，對于每一個x∈Z，如果它能表示為x=2k+1（k∈Z）的形式，那么x除以2的余數(shù)為1，它是一個奇數(shù);反之，如果x是一個奇數(shù)，那么x除以2的余數(shù)為1，它能表示為x=2k+1（k∈Z）的形式.所以，x=2k+1（k∈Z）是所有奇數(shù)的一個共同特征，于是奇數(shù)集可以表示為

{x∈Z|x=2k+1，k∈Z}.

對數(shù)的意義和對數(shù)的表達形式是待抽象的數(shù)學對象.因為對數(shù)是一種新的運算和新的概念，所以教學宜從學生熟知的加、減、乘、除、乘方、指數(shù)的運算以及運算符號開始對比研究.學生已經(jīng)學習過的基本運算有：加法運算、減法運算、乘法運算、除法運算，這四種運算的運算符號為：+，-，×，÷;開方運算也有運算符號，而且運算符號具有了結構性的特征，即根指數(shù)和被開方數(shù)的位置有明確的要求;至于乘方運算，它沒有明顯的運算符號出現(xiàn)，只是通過底數(shù)和指數(shù)的位置結構來表達;對數(shù)運算（概念）也是如此，并且表現(xiàn)形式更為抽象和復雜.

（三）建構抽象物的表征和圖式

上面對概念的引入教材處理得很好，教師教學時應重視這個過程，不能跳躍得太快.例如，對“描述法”的教學，教師應啟發(fā)學生對這個數(shù)學對象從結構上進行分析，以豎線為界，分析其結構和含義，體會和領悟用描述法表示集合的關鍵，然后給出“描述法”的說法，建構“描述法表示集合”的表征和圖式，如教材所示：

有時也用冒號或分號代替豎線，寫成

{x∈A：P（x）}或

{x∈A;P（x）}.

一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為

{x∈A|P（x）}，

這種表示集合的方法稱為描述法.

然后，教材應用表征和圖式進行數(shù)學推理分析，解決問題.這里尊重教材，采用教材上的例2.

例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合A;

（2）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B.

解：（1）設x∈A，則x是一個實數(shù)，且x2-2=0.因此，用描述法表示為

A={x∈R|x2-2=0}.

方程x2-2=0有兩個實數(shù)根2，-2，因此，用列舉法表示為

A={2，-2}.