高一凌,龔本剛,張孝琪

(安徽工程大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

由于決策問題的復(fù)雜性和決策環(huán)境的不確定性等原因，決策者在實(shí)際決策過程中往往難以獲取精確的評估參數(shù)。為了更好地刻畫決策信息的模糊性，Zadeh于1965年提出模糊集理論，之后Atanassov引入非隸屬度將其進(jìn)一步完善，建立了直覺模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets)。直覺模糊集拓展了模糊集中“非此非彼”的思想，為決策者提供了更豐富的手段來描述不確定性評價(jià)信息。因而，自提出以來在管理決策領(lǐng)域得到快速發(fā)展和應(yīng)用，相關(guān)研究集中在集結(jié)算子、得分函數(shù)、不確定性測度、相似度度量和直覺模糊熵等方面。

直覺模糊集理論通過隸屬度和非隸屬度以及猶豫度來靈活地刻畫評估信息。然而，在實(shí)際決策過程中，該理論在引入新參數(shù)的同時(shí)，也給決策矩陣和數(shù)據(jù)收集增加了不確定性。在模糊集中，熵可以作為不確定性的一種度量方式。由此，直覺模糊集的熵引起了相關(guān)學(xué)者的關(guān)注，在Burillo提出最初的直覺模糊熵和Szmidt給出其公理化定義后，直覺模糊熵及其公理化定義不斷地得到拓展。如Verma在Atanassov直覺模糊集理論基礎(chǔ)上提出了一種指數(shù)直覺模糊熵測度；趙飛認(rèn)為直覺模糊集的不確定性由未知信息的直覺不確定性和已知信息的模糊不確定性共同構(gòu)成，并且直覺模糊熵應(yīng)是唯一的，由此提出一種直覺模糊熵的公理化定義并構(gòu)造了新的度量方法；高明美從直覺模糊集的隸屬度與非隸屬度之間的距離以及猶豫度對直覺模糊熵的貢獻(xiàn)角度出發(fā)，改進(jìn)公理化定義并構(gòu)造新的直覺模糊熵的計(jì)算公式。

在考慮直覺模糊多屬性決策的情形下，Yuan給出一類新直覺模糊熵并將其與幾種傳統(tǒng)直覺模糊熵定義的權(quán)重結(jié)果進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明權(quán)重不僅依賴于熵的定義，而且依賴于備選方案和屬性的個(gè)數(shù)；陳業(yè)華提出一類改進(jìn)的直覺模糊熵并將其應(yīng)用于應(yīng)急決策中;王堅(jiān)強(qiáng)將直覺模糊熵運(yùn)用到直覺語言集中去，構(gòu)建最優(yōu)權(quán)重模型，并通過直覺語言加權(quán)算術(shù)平均算子實(shí)現(xiàn)對評價(jià)信息的集結(jié);江文奇針對準(zhǔn)則值為區(qū)間直覺模糊數(shù)且準(zhǔn)則權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多準(zhǔn)則決策問題，提出基于二元聯(lián)系數(shù)的區(qū)間直覺模糊型多準(zhǔn)則決策方法。

證據(jù)推理方法是對D-S(Dempster-Shafer)證據(jù)理論的發(fā)展，它在處理不確定性、模糊性的多屬性決策問題中具有明顯優(yōu)勢，并得到廣泛應(yīng)用。該方法通過正交和運(yùn)算將多源評價(jià)信息進(jìn)行集結(jié)得到結(jié)果。代文鋒將Burillo提出的直覺模糊熵和證據(jù)推理方法相結(jié)合，提出多屬性群決策方法;Bao考慮決策者對猶豫不決度的偏好，定義了直覺模糊集的熵和交叉熵測度,提出了一種基于前景理論和證據(jù)推理方法的直覺模糊決策方法。因此，采用證據(jù)推理方法對含有較強(qiáng)猶豫性、模糊性和不確定性的決策信息進(jìn)行集結(jié)，能較好地保證決策信息的完整性。

綜上所述，上述學(xué)者分別從不同角度提出了直覺模糊熵的公理化定義，有利于實(shí)現(xiàn)直覺模糊多屬性決策。然而現(xiàn)有的公理化定義描述部分直覺模糊集的不確定性特征并不準(zhǔn)確或者不全面，例如不能區(qū)分(0.5,0.5)、(0.4,0.4)這類隸屬度與非隸屬度相等直覺模糊集的模糊性，導(dǎo)致部分文獻(xiàn)定義的直覺模糊熵公式在某些情形下不能精確度量熵值，進(jìn)而影響多屬性決策結(jié)果。于是，研究首先分析了現(xiàn)有直覺模糊熵公式與不確定性的匹配度，在完善直覺模糊集不確定性度量問題的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了直覺模糊熵公理化定義，進(jìn)而構(gòu)造一類改進(jìn)的直覺模糊熵公式，提出一種基于改進(jìn)直覺模糊熵和證據(jù)推理的多屬性群決策方法，最后利用算例分析闡明方法的有效性。

1 直覺模糊熵的改進(jìn)

1.1 直覺模糊熵的概念與分析

定義

1 若

E

滿足如下準(zhǔn)則，稱實(shí)值函數(shù)

E

:

IFS

(

X

)→[0,1]為直覺模糊熵。條件1：

E

(

A

)=0當(dāng)且僅當(dāng)

A

是經(jīng)典集；條件2：

E

(

A

)=1當(dāng)且僅當(dāng)?

x

∈

X

，有

μ

(

x

)=

υ

(

x

)；條件3：

E

(

A

)=

E

(

A

)；條件4：當(dāng)

μ

(

x

)≤

υ

(

x

)時(shí)，有

μ

(

x

)≤

μ

(

x

),

υ

(

x

)≥

υ

(

x

)；或當(dāng)

μ

(

x

)≥

υ

(

x

)時(shí)，有

μ

(

x

)≥

μ

(

x

),

υ

(

x

)≤

υ

(

x

)，則都有

E

(

A

)≤

E

(

B

)成立?；谝陨铣Ｓ玫闹庇X模糊熵的定義，Szmidt，Verma，Yuan，陳業(yè)華和王堅(jiān)強(qiáng)等給出了不同的直覺模糊熵公式，分別記為

E

(

A

)-

E

(

A

)，具體公式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

E

(

A

)-

E

(

A

)均根據(jù)上述公理化定義構(gòu)造，部分學(xué)者對約束條件做出了改進(jìn)，如趙飛、高明美將改進(jìn)的直覺模糊熵記為

E

(

A

)和

E

(

A

)，如式(6)、式(7)所示。

(6)

(7)

上述的

E

(

A

)-

E

(

A

)在一定范圍內(nèi)具有適用性，但還存在部分缺陷，具體分為兩個(gè)方面。

(1)最大直覺模糊熵的取值問題。根據(jù)定義1中條件2，直覺模糊集中的隸屬度等于非隸屬度時(shí)不確定度最高，直覺模糊熵達(dá)到最大值。忽略了實(shí)際決策時(shí)支持與反對信息雖然相同，但依舊包含著部分有效信息的情況。因此將定義1中條件2修改為，當(dāng)隸屬度與非隸屬度相等且為0時(shí)，直覺模糊熵達(dá)到最大值更為合理。

(2)忽略猶豫度的影響。猶豫度相等時(shí)，直覺模糊熵與隸屬度和非隸屬度的差值負(fù)相關(guān)，即差值越小表示不確定程度越高，熵值越大；隸屬度與非隸屬相等且不為0時(shí)，猶豫度越大代表不確定性越大，熵值也越大。另外，直覺模糊集的不確定性除了來自未知信息，即猶豫度的影響，還包括直覺模糊集中已知信息的模糊度。因此直覺模糊集的不確定性必定不會小于猶豫度?？蓪⒍x1的條件擴(kuò)展以便更好地描述直覺模糊熵。

1.2 改進(jìn)直覺模糊熵的提出

綜上分析，對已有的直覺模糊熵公理化定義做出以下改進(jìn)與拓展。

定義

2 若

E

滿足如下準(zhǔn)則，稱實(shí)值函數(shù)

E

:

IFS

(

X

)→[0,1]為直覺模糊熵。條件1：

E

(

A

)=0，當(dāng)且僅當(dāng)

A

是一個(gè)分明集；條件2：

E

(

A

)=1，對?

A

∈

IFS

(

X

),當(dāng)

μ

(

x

)=

υ

(

x

)=0時(shí)成立；條件3：當(dāng)

π

(

x

)=

π

(

x

)時(shí)，若|

μ

(

x

)-

υ

(

x

)|≤|

μ

(

x

)-

υ

(

x

)|，則

E

(

A

)≥

E

(

B

)；或當(dāng)|

μ

(

x

)-

υ

(

x

)|=|

μ

(

x

)-

υ

(

x

)|時(shí)，若

π

(

x

)≥

π

(

x

)，則

E

(

A

)≥

E

(

B

)；條件4：當(dāng)

μ

(

x

)≤

υ

(

x

)時(shí)，有

μ

(

x

)≤

μ

(

x

),

υ

(

x

)≥

υ

(

x

)；或當(dāng)

μ

(

x

)≥

υ

(

x

)時(shí)，有

μ

(

x

)≥

μ

(

x

),

υ

(

x

)≤

υ

(

x

)，則

E

(

A

)≤

E

(

B

)；

條件6：

E

(

A

)=

E

(

A

)。由此基于定義2，研究構(gòu)造一類改進(jìn)直覺模糊熵公式，以便較好區(qū)分直覺模糊集的模糊性。對于任意的直覺模糊集{[

x

,

μ

(

x

),

υ

(

x

)]|

x

∈

X

,

i

=1,2,…,

n

}，

π

(

x

)=1-

μ

(

x

)-

υ

(

x

)代表猶豫度。定義直覺模糊熵：

(8)

(9)

下面證明研究提出的熵符合定義2中的6個(gè)約束條件：

若

μ

(

x

)=

υ

(

x

)=0，則可得

E

(

A

)=1，因此

E

(

A

)=1。

當(dāng)

μ

(

x

)≤

υ

(

x

)時(shí)，有

μ

(

x

)≤

μ

(

x

),

υ

(

x

)≥

υ

(

x

)，

f

(

μ

(

x

),

υ

(

x

))≤

f

(

μ

(

x

),

υ

(

x

))；同理，當(dāng)

μ

(

x

)≥

υ

(

x

)時(shí)，有

μ

(

x

)≥

μ

(

x

)，

υ

(

x

)≤

υ

(

x

)，

f

(

μ

(

x

),

υ

(

x

))≤

f

(

μ

(

x

),

υ

(

x

))。因此，當(dāng)

A

≤

B

時(shí)，則有

E

(

A

)≤

E

(

B

)，故

E

(

A

)≤

E

(

B

)成立。

(6)條件6：

A

={[

x

,

υ

(

x

),

μ

(

x

)]|

x

∈

X

,

i

=1,2,…,

n

}，故

E

(

A

)=

E

(

A

)。

1.3 改進(jìn)直覺模糊熵的優(yōu)勢說明

綜上分析，改進(jìn)直覺模糊熵公式符合拓展及修改后的直覺模糊熵公理化定義。從算例和圖像兩個(gè)方面來說明改進(jìn)的直覺模糊熵的有效性，進(jìn)而指出其他公式可能存在的缺陷。

(1)從算例來看，分別用

E

(

A

)～

E

(

A

)與研究提出的

E

(

A

)計(jì)算以下直覺模糊集(

A

～

A

)，結(jié)果如表1所示。從表1可以看出：①

E

(

A

)和

E

(

A

)沒有將猶豫度考慮進(jìn)去，用

E

(

A

)計(jì)算猶豫度相等的直覺模糊集(如

A

、

A

與

A

)，結(jié)果均相等；用

E

(

A

)計(jì)算隸屬度與非隸屬度差值相等的直覺模糊集(如

A

和

A

)，結(jié)果相等。根據(jù)定義2中條件3可知，

E

(

A

)>

E

(

A

)>

E

(

A

)，

E

(

A

)>

E

(

A

)結(jié)果合理。②用

E

(

A

)～

E

(

A

)計(jì)算隸屬度與非隸屬相等且不為0的直覺模糊集(如

A

、

A

與

A

)，計(jì)算結(jié)果均為最大值。根據(jù)定義2中條件2和條件3可知，

E

(

A

)<

E

(

A

)<

E

(

A

)，結(jié)果合理。③

E

(

A

)和

E

(

A

)存在對部分直覺模糊集無法區(qū)分的缺陷，如

E

(

A

)對

A

和

A

、

E

(

A

)對

A

和

A

在區(qū)分不確定度時(shí)失效。但

E

(

A

)可清晰區(qū)分。

表1 不同直覺模糊熵值的比較

(2)從圖像來看，

E

(

A

)～

E

(

A

)與研究提出的

E

(

A

)的三維圖像如圖1～圖8所示。由圖1～圖8可以看出：①當(dāng)

μ

(

x

)=

υ

(

x

)=0時(shí)，

E

(

A

)～

E

(

A

)及

E

(

A

)都取得最大值1，并且

E

(

A

)～

E

(

A

)及

E

(

A

)的圖像都具有對稱性。②從圖1～圖6可以看出，它們都有兩個(gè)及兩個(gè)以上的點(diǎn)對應(yīng)著最大值1或最小值0，因此可能存在對不同的直覺模糊集的不確定性度量不精準(zhǔn)的問題。而圖7、圖8較為類似，但

E

(

A

)在區(qū)分隸屬度或非隸屬度為0.5的直覺模糊集時(shí)失效，而由圖8可以看出不同的直覺模糊集所對應(yīng)的

E

(

A

)均不同，表明

E

(

A

)具有較好的區(qū)分性，不會出現(xiàn)熵值相同情況。

圖1 E1(A)三維函數(shù)圖 圖2 E2(A)三維函數(shù)圖

綜上所述，根據(jù)修改后的直覺模糊熵公理化定義構(gòu)建的

E

(

A

)可較好彌補(bǔ)上述公式的不足，區(qū)分直覺模糊集的模糊性時(shí)具有合理性和有效性。

圖3 E3(A)三維函數(shù)圖 圖4 E4(A)三維函數(shù)圖

圖5 E5(A)三維函數(shù)圖 圖6 E6(A)三維函數(shù)圖

圖7 E7(A)三維函數(shù)圖 圖8 E8(A)三維函數(shù)圖

2 直覺模糊多屬性群決策方法

針對決策信息為直覺模糊數(shù)，且屬性權(quán)重與專家權(quán)重完全未知或?qū)傩詸?quán)重與專家權(quán)重部分已知的多屬性決策問題,首先，依據(jù)改進(jìn)的直覺模糊熵對決策矩陣中屬性的不確定性進(jìn)行度量，求出屬性權(quán)重和專家權(quán)重，利用證據(jù)推理方法進(jìn)行信息的融合，并根據(jù)與理想解的Hamming距離進(jìn)行排序。具體決策過程如下：

Step 1 屬性權(quán)重的求解。

越小的直覺模糊熵值意味著更小的不確定程度和更多的確定性信息，屬性的權(quán)重應(yīng)使得所有屬性的總熵值最小，

H

表示屬性權(quán)重已知的約束條件集合，由此建立權(quán)重優(yōu)化模型如下:

(10)

在屬性權(quán)重完全未知的情況下，得到屬性權(quán)重為：

(11)

(12)

Step 2 基于證據(jù)推理的綜合直覺模糊集的形成。

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Step 3 基于綜合直覺模糊熵值的專家權(quán)重求解。

(20)

Step 4 最終直覺模糊集形成。

依據(jù)Step 2求得方案

x

的支持度

β

(

x

)及未分配等級的

β

(

x

)，可得最終決策矩陣

Q

=(

q

)×1，

q

=(

β

(

x

),

β

(

x

))。具體公式如下：

(21)

(22)

(23)

Step 5 計(jì)算各方案與理想解的相對貼近度，最后選擇最佳方案。

正理想點(diǎn)記為

X

=(1,0)，負(fù)理想點(diǎn)記為

X

=(0,1)。方案

x

的最終直覺模糊值與正、負(fù)理想方案之間的Hamming距離為：

(24)

(25)

式中，

d

(

X

,

β

(

x

),

β

(

x

))∈[0,1]，0≤

β

(

x

)+

β

(

x

)≤1，0≤

β

(

x

)≤1，0≤

β

(

x

)≤1，1≤

i

≤

m

。各方案與理想解的相對貼近度

S

如式(26)所示。

(26)

按照相對貼近值從大到小對方案進(jìn)行排序，相對貼近度越大的方案越好。

3 算例分析

采用文獻(xiàn)[16]的案例數(shù)據(jù)來驗(yàn)證研究方法的合理性，3個(gè)專家(

P

～

P

)對4個(gè)候選人(

x

～

x

)，從工作態(tài)度、學(xué)術(shù)能力、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和品德4個(gè)方面(

C

～

C

)進(jìn)行打分，最終挑選出最優(yōu)者。

運(yùn)用式(10)～式(12)計(jì)算不同專家的屬性權(quán)重，結(jié)果如表2所示。

表2 各專家決策信息及屬性權(quán)重

根據(jù)表3，運(yùn)用式(13)～式(25)求得最終決策結(jié)果與排序，并與文獻(xiàn)[16]方法做比較，結(jié)果如表3所示。由表3可以看出：①研究方法求得最佳的候選人是

x

，其次是

x

，與文獻(xiàn)[16]相比兩種方法求得的最優(yōu)候選人結(jié)果是一致的，說明研究方法的可行性。②研究方法與文獻(xiàn)[16]比較而言，

x

和

x

評價(jià)結(jié)果有所差別，差異的原因是兩種方法采用的直覺模糊熵不同，導(dǎo)致求得屬性和專家權(quán)重不同從而影響排序結(jié)果。文獻(xiàn)[16]方法中采用了1.1中所提到的

E

(

A

)，但由1.3中表1與三維函數(shù)圖像分析表明，

E

(

A

)在區(qū)別隸屬度與非隸屬相等且不為0的直覺模糊集(如

A

(0.5,0.5)、

A

(0.4,0.4)和

A

(0.25,0.25))時(shí)失靈，研究方法采用的

E

(

A

)在特定情形下對直覺模糊集不確定程度的度量要優(yōu)于

E

(

A

)，因此,研究方法在解決直覺模糊多屬性決策問題時(shí)比文獻(xiàn)[16]方法更為合適。

表3 研究方法與文獻(xiàn)[16]決策結(jié)果的比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證方法的科學(xué)性和合理性，將研究方法與文獻(xiàn)[6]中算例進(jìn)行對比。通過3個(gè)專家依據(jù)5個(gè)評價(jià)指標(biāo)對4家供應(yīng)商進(jìn)行選擇，兩種方法進(jìn)行求解的計(jì)算結(jié)果如表4所示。通過決策結(jié)果可以看出，研究方法與文獻(xiàn)[6]方法挑選的最優(yōu)供應(yīng)商都是

x

。文獻(xiàn)[6]方法是利用算子解決直覺模糊多屬性決策問題，研究方法是從直覺模糊熵來刻畫不確定性，再利用證據(jù)理論對不確定信息融合的方法解決直覺模糊多屬性決策問題。雖然兩者方法不同，但是最優(yōu)結(jié)果相同，從一定程度上說明了研究方法的可行性和合理性。

表4 研究方法與文獻(xiàn)[6]決策結(jié)果的比較

4 結(jié)論

為解決決策信息為直覺模糊數(shù)且屬性權(quán)重或?qū)＜覚?quán)重完全未知與部分已知的多屬性決策問題，提出一種基于改進(jìn)的直覺模糊熵和證據(jù)推理的決策方法。研究在進(jìn)一步完善了直覺模糊熵公理化定義的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一類改進(jìn)的直覺模糊熵公式，克服了在某些情形下不能區(qū)分和度量直覺模糊集的不確定性問題，為解決直覺模糊多屬性問題提供思路，最后通過與文獻(xiàn)[16]的比較說明了研究方法的可行性。研究模型沒考慮區(qū)間型和梯形的直覺模糊數(shù)，針對這兩種直覺模糊熵的度量也是未來進(jìn)一步研究的方向。