方愿捷，呂厚義，王駿杰，袁嘯林，張 炯，江佳琦，劉婷婷，陳孟元

(1.巢湖學院 電子工程學院，安徽 合肥 238000；2.國網(wǎng)安徽電力有限公司臨泉供電公司，安徽 阜陽 236400；3.中國科學院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031；4.安徽工程大學 電氣工程學院，安徽 蕪湖 241000)

火電機組已經(jīng)廣泛地參與到電網(wǎng)的調(diào)峰控制中，隨著核電機組的控制技術(shù)日趨成熟，核電機組的負荷跟蹤控制將是未來重要的調(diào)峰方式。核電機組負荷跟蹤控制的關鍵是反應堆功率控制，基于經(jīng)典的PID及其優(yōu)化改進方法得到了大量關注。文獻[3]采用了優(yōu)化模糊PID的控制器實現(xiàn)了對反應堆功率的控制；文獻[4]研究了模糊PID控制器及PID控制器在反應堆功率控制中的切換問題；文獻[5]研究了反應堆堆芯功率在不同階段下模糊系統(tǒng)與PID控制器的切換方法；文獻[6]探討了采用分數(shù)階PID對反應堆的功率進行控制的可行性等。毫無疑問，PID控制是經(jīng)典控制理論中的最典型應用，但是在控制性能越來越高的要求下，傳統(tǒng)PID控制環(huán)節(jié)中缺少了對提升控制性能的考量。模型預測控制(MPC)首先在工業(yè)界得到應用，在學術(shù)界得到穩(wěn)定性證明后，該方法被廣泛應用到非線性系統(tǒng)中。模型預測通過在控制器中內(nèi)置預測模型與目標優(yōu)化函數(shù)參與到系統(tǒng)的反饋控制中，可以劃分為動態(tài)矩陣方法(DMC)、模型算法控制(MAC)以及廣義預測控制(GPC)。近年來多有研究者將模型預測控制應用到反應堆的功率控制中。文獻[8]針對反應堆堆芯功率系統(tǒng)構(gòu)建預測控制函數(shù)，并利用二次規(guī)劃求解方法實現(xiàn)了目標函數(shù)的求解；文獻[9]對反應堆的模型預測控制的控制量為棒速的增量控制；文獻[10]考慮了模型不確定性情形下反應堆功率的預測控制。大量研究表明，預測控制對反應堆堆芯功率這一非線性模型的控制有著卓越的控制效果。但是，在反應堆預測控制的反饋校正環(huán)節(jié)，未考慮到反饋的量測環(huán)節(jié)的噪聲影響。

量測噪聲廣泛存在于控制環(huán)節(jié)中，其中在辨識環(huán)節(jié)、控制環(huán)節(jié)、傳感器檢測環(huán)節(jié)均有大量學者對其進行研究。反應堆中子檢測器是檢測反應堆堆芯中子密度的重要設備，各文獻均對其穩(wěn)定工作等開展了研究。但在核電的閉環(huán)設計中，需要對反饋環(huán)節(jié)的量測噪聲進行綜合考慮設計。

相關的反應堆功率控制還有許多相關的研究正在得到關注，例如反應堆的backstepping控制、內(nèi)模控制等，研究將對反應堆堆芯量測噪聲下的模型預測控制實現(xiàn)及其性能進行分析。

1 包含量測噪聲的反應堆功率模型

核電站反應堆通過鏈式反應不斷產(chǎn)生中子，中子是激發(fā)下一次鏈式反應的關鍵。反應堆中的中子密度從某種程度上表征了反應堆的功率。為了實現(xiàn)可控的裂變過程，在反應堆中裝備了可以吸收中子的控制棒，通過控制棒在反應堆的移動中實現(xiàn)中子密度的控制，進而控制反應堆的功率。反應堆的功率受到冷卻劑的溫度影響，冷卻劑不斷將堆芯功率帶出，在蒸發(fā)器中實現(xiàn)熱交換，因此反應堆模型還包含熱工水力學模型。同時因為控制棒的運動帶來反應性的變化，所以整個反應堆功率模型包含中子動力學模型、熱工水力學模型與反應性模型。

反應堆堆芯實際模型中涉及上述多種機理模型，整體呈現(xiàn)出非線性耦合的復雜特征。使用單組緩發(fā)中子等效可以替代多組緩發(fā)中子，使得模型簡化。進一步利用非線性模型在平衡點處線性化可以將反應堆堆芯功率系統(tǒng)等效成線性參數(shù)變化模型(LPV模型)。等效LPV模型可以改寫為：

(1)

式中，狀態(tài)向量

χ

(

t

)=[

δn

,

δC

,

δT

,

δT

,

δρ

]，算子

δ

表示在平衡點的偏移量，例如，

δn

=

n

-

n

；狀態(tài)變量中

n

表示反應堆中子密度;

C

表示等效單組緩發(fā)中子份額;

T

表示燃料溫度;

T

表示冷卻劑出口溫度;

ρ

表示控制棒移動帶來的反應性；

u

(

t

)表示控制棒的棒速；

w

(

t

)表示量測噪聲為符合均方為0的白噪聲；

η

(

t

)表示輸出量，即反應堆中子密度。

同時，式(1)中矩陣滿足：

E

=[1]。中子密度是觸發(fā)反應堆鏈式反應的關鍵。反應堆的功率

P

與中子密度

n

近似成線性關系，即

P

=

nP

，反應堆的控制實際可以等同于中子密度的控制。系統(tǒng)矩陣中的參數(shù)如表1所示。

表1 反應堆狀態(tài)空間物理參數(shù)[9]

反應堆的實際狀態(tài)空間中不可避免存在著大量量測噪聲，中子探測器在量測過程中反饋中子密度會被傳感器的噪聲所污染，而非線性系統(tǒng)中對擾動的影響較為敏感，故研究對狀態(tài)空間建模了均方為0的白噪聲

w

(

t

)。噪聲

w

(

t

)將直接影響到被量測的功率值，進一步給構(gòu)建閉環(huán)的反應堆控制系統(tǒng)帶來困難。

2 模型預測控制策略

模型預測控制基本原理為：在MPC控制器中內(nèi)置一個接近真實系統(tǒng)的預測模型(預測模型)，遵循與參考軌跡偏差最小與控制信號能量最優(yōu)的目標函數(shù)求解計算獲得控制序列(滾動優(yōu)化)，計算出來的控制信號被作用于真實系統(tǒng)中，被控對象在輸入量的作用下產(chǎn)生新的輸出量反饋于控制系統(tǒng)實現(xiàn)反饋作用(反饋校正)。

2.1 預測模型綜合

結(jié)合模型預測控制方法，相應的反應堆模型預測控制系統(tǒng)框架如圖1所示。根據(jù)式(1)構(gòu)建預測模型，預測模型的狀態(tài)空間需先進行離散化。因為噪聲在建模中無法預測，因此在MPC控制器內(nèi)的預測模型不包含噪聲，這使得模型與實際無法做到完全匹配，影響控制效果，控制器的預測模型如式(2)所示。

圖1 反應堆功率模型預測控制系統(tǒng)框圖

(2)

根據(jù)模型預測理論，通過求解問題，施加特定的控制序列

U

(

k

)=[

u

(

k

),

u

(

k

+1),…,

u

(

k

+

Nc

)]會在預測模型(2)中計算出預測的

N

步后的軌跡，可以得到：

(3)

將模型的遞推結(jié)果改寫成矩陣形式：

Y

(

k

)=

Fχ

(

k

)+

ΦU

(

k

),

(4)

2.2 滾動優(yōu)化

基于上述預測推理，關鍵問題是在線滾動求解控制序列

U

(

k

)。設式(3)

N

步預測軌跡

Y

與給定的期望軌跡

Y

差值最小，同時考量控制量能量最小的原則。目標函數(shù)表達如下：

J

=‖

Y

-

Y

‖

P

+‖

U

‖

Q

,

(5)

式中,

P

與

Q

為適當維數(shù)的權(quán)重系數(shù)矩陣;此處

P

、

Q

均為單位矩陣，權(quán)重矩陣用以表達不同分量在目標函數(shù)的重要程度。在本系統(tǒng)下，實際期望目標函數(shù)

J

為最小值，即為

minJ

。

為實現(xiàn)函數(shù)式(5)最小的目標，通常需要將其轉(zhuǎn)化為對應的二次規(guī)劃問題進行求解。根據(jù)凸優(yōu)化理論，需要使得目標函數(shù)僅包含控制變量的解析式，對式(4)進行展開，轉(zhuǎn)化成二次規(guī)劃標準型：

(6)

根據(jù)標準二次規(guī)劃問題的要求，將式(4)代入式(5)，保留與決策量

U

有關的，易得新的目標函數(shù)：

(7)

根據(jù)反應堆中棒速控制機理，控制棒的棒速上界為0.019 05

m/s

，故式(7)在求解過程中還應當添加二次規(guī)劃的約束條件：|

u

(

k

) |<0.019 05,

k

=1,2,3,…,

N

。將其改寫成線性不等式形式：

A

U

≤

U

,

(8)

2.3 反饋校正

中子探測器容易受到噪聲干擾，中子密度檢測的誤差給功率控制帶來了困難，同時也使得模型預測控制下預測模型與系統(tǒng)真實模型不能完全匹配。在上節(jié)的滾動優(yōu)化方法中，可以獲得控制時域

Nc

步的控制序列

U

向量的第一個控制信號

u

(

k

)，施加到有噪的反應堆對象中如式(9)所示。

(9)

實際系統(tǒng)式(9)與預測模型式(2)的區(qū)別在于真實系統(tǒng)中增加了中子密度檢測的噪聲

w

(

k

)，這造成了預測模型與真實模型系統(tǒng)的不匹配。因為每時刻的輸出量

η

(

k

)及實際的狀態(tài)量

χ

(

k

)更新了預測模型式(4)，因此整個系統(tǒng)實際工作在閉環(huán)的模式下。更新的輸出量

η

(

k

)實際是

δn

，它會將系統(tǒng)遷移至新的平衡點

n

(

k

)，式(9)的輸出方程可以得到噪聲

w

(

k

)，也將直接影響系統(tǒng)的平衡點，因此在實際系統(tǒng)應用中，該噪聲不能被忽略。

2.4 控制算法綜合

根據(jù)以上模型預測控制的原理，算法流程如圖2所示。在反應堆的模型預測控制中，實際是預測模型(理想無噪)與有量測噪聲的物理模型之間的狀態(tài)量與平衡點的流轉(zhuǎn)，并通過接近真實模型的預測模型求解控制量來實現(xiàn)跟蹤參考軌跡

Y

。

圖2 具有量測噪聲的反應堆模型預測控制算法

預測模型式(4)與有噪系統(tǒng)式(9)兩者雖然有差異，但是由于量測噪聲通常是均方為0的白噪聲(即期望

E

{

w

(

k

)}=0)，利用預測模型式(4)生成的控制序列對實際有噪系統(tǒng)式(9)進行控制，可以達到期望的控制效果。

3 仿真實驗及分析

利用MATLAB平臺使用模型預測控制對有噪系統(tǒng)式(9)進行仿真研究，同時與PID控制算法進行對比。鑒于模型預測算法的目標是實現(xiàn)目標優(yōu)化函數(shù)最小，其在軌跡追蹤、控制量能耗等性能方面優(yōu)于PID控制算法。下面通過仿真實驗進行驗證說明。

模型預測控制算法的預測時域的步長

N

與控制時域

N

步長分別選為25和8。權(quán)重系數(shù)

P

、

Q

均為適當維數(shù)的單位矩陣，保證權(quán)重平均。仿真過程設置初始中子密度

n

為0.50,即為50%

P

，功率變化軌跡為50%-70%-60%，噪聲信號

w

(

k

)(見圖3)為[-0.05%,0.05%]的額定功率區(qū)間。在軌跡變化過程中，參考曲線以1%額定功率每秒的速率實現(xiàn)遞增或遞減，模型預測控制跟蹤參考軌跡的效果圖如圖4所示。對應相同噪聲情形和狀態(tài)初值，使用PID控制方法，選擇對應的一組PID參數(shù)為：

k

=0.55;

k

=0.07;

k

=0.9，控制效果如圖4所示。

圖3 期望為0的噪聲w(t)序列 圖4 MPC與PID響應參考軌跡曲線圖

噪聲

w

(

k

)范圍為[-0.05%,0.05%],整體變化范圍為0.1%，但是其變化對應的功率增量變化范圍為

ΔP

=0.1%*

P

=2.5 MW,此功率增量

ΔP

是較大的，但是閉環(huán)控制是基于中子探測器的探測結(jié)果(中子密度

n

)進行輸出，對于中子探測器相應的誤差是常見的，所以考慮該噪聲信號是有實際意義的。

由圖4可知，PID控制策略整體能夠?qū)崿F(xiàn)閉環(huán)非線性的反應堆控制系統(tǒng)的軌跡跟蹤，但是效果要遠低于MPC的控制策略；MPC模型預測控制策略在整體上完整跟蹤了系統(tǒng)參考軌跡，同時，在噪聲影響下，其超調(diào)量也遠低于PID控制策略。

為了進一步分析兩種控制效果，其余4個狀態(tài)量(

δ

,

δT

,

δT

,

δρ

)偏離各自平衡點的軌跡分別如圖5、圖6、圖7、圖8所示。從圖5～圖8中可以看出，虛線所展示的PID控制效果變化劇烈程度均高于MPC控制算法。同時可以觀察到整個反應堆的反應性在PID控制策略下，動態(tài)范圍整體較大，而MPC控制策略下，其反應性變化較為平緩，縱觀整個狀態(tài)量的控制性能可以得出MPC算法控制效果較優(yōu)異。

圖5 MPC與PID的先驅(qū)核濃度 圖6 MPC與PID的燃料平均溫度

圖7 MPC與PID的冷卻劑出口溫度 圖8 MPC與PID的反應性

在模型預測控制的優(yōu)化函數(shù)中，同時約束了控制量的能量，即在控制能量有界的情形下，其控制能量應當代價最小,PID與MPC控制算法的控制信號

u

(

k

)如圖9所示。模型預測控制策略產(chǎn)生的控制序列

u

(

k

)(每次計算控制序列

U

中被實施的控制量)較PID控制算法的控制能量要小得多。

圖9 PID與MPC控制算法的控制信號u(k)

4 結(jié)論

從代表功率水平的中子濃度的量測中誤差的實際出發(fā)，MPC控制策略應用無噪的預測模型，也能做到優(yōu)異的軌跡跟蹤效果。對比MPC與PID不同的控制策略，模型預測控制因其聚焦了軌跡誤差最小與控制能量最低的目標函數(shù)，其功率軌跡跟蹤、控制信號

u

(

k

)的性能均優(yōu)于PID的控制策略，但是在線計算控制序列，造程計算繁雜，同時產(chǎn)生的

N

步的控制時域的控制序列僅有第1個元素應用于控制系統(tǒng)，造成了一定的計算冗余。但總體而言，基于無噪聲預測模型的MPC控制方法可以應用于有噪聲(均方為0)的反應堆功率控制系統(tǒng)，并能獲得較為優(yōu)異的控制效果。