王麗娜

【摘要】轉(zhuǎn)化思想是當(dāng)問(wèn)題難以解決的時(shí)候，可采用的一種解題思路.本文通過(guò)具體實(shí)例介紹如何應(yīng)用補(bǔ)形思想合理轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形，如何應(yīng)用換元思想有效解決方程問(wèn)題，如何應(yīng)用簡(jiǎn)化思想處理復(fù)雜分式題干，如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想分析難題，如何應(yīng)用問(wèn)題變更思想靈活變換解題思路，論述了轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，為學(xué)生提供一條化繁為簡(jiǎn)、巧妙解題的新路徑.

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化;數(shù)學(xué);解題;化繁為簡(jiǎn);應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想就是指從不同的角度思考，另辟蹊徑地將新知識(shí)與舊知識(shí)聯(lián)系到一起.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)化思想是學(xué)生解決數(shù)學(xué)習(xí)題的有效途徑.學(xué)生靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，解決某些難以入手的證明題、計(jì)算題，能提高學(xué)習(xí)信心.

一、應(yīng)用補(bǔ)形思想，合理轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形

利用轉(zhuǎn)化思想解決的數(shù)學(xué)題型中，幾何題無(wú)疑是典型題型.一些幾何例題的圖形不規(guī)則，學(xué)生無(wú)法用學(xué)到的理論知識(shí)解析題目，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的規(guī)則圖形.數(shù)學(xué)教師可以利用多媒體課件引入不規(guī)則圖形習(xí)題，展示補(bǔ)形的解題策略，從而展示補(bǔ)形轉(zhuǎn)化的優(yōu)勢(shì).

以蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第9章“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”中第4節(jié)“矩形、菱形、正方形”的習(xí)題教學(xué)為例，教師可以講解以下習(xí)題：有三個(gè)正方形，邊長(zhǎng)分別為9、6、x，并且按照?qǐng)D一所示的方式排列在一起，如果有一條直線將A、B兩點(diǎn)連在一起，所分成的兩個(gè)部分面積相等，試求x的數(shù)值.學(xué)生看到這道題時(shí)往往會(huì)感到無(wú)從下手，因?yàn)檫@條直線分成的兩個(gè)圖形形狀不規(guī)則，無(wú)法用已知的幾何知識(shí)點(diǎn)解決.此時(shí)，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想：“看到直線AB將圖形的面積對(duì)分，可以與哪個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系到一起？”學(xué)生通過(guò)思考，很容易發(fā)現(xiàn)這與“矩形的對(duì)角線平分矩形的面積”類似.學(xué)生可以將圖形補(bǔ)成矩形ADBC（如圖1），根據(jù)矩形對(duì)角線的特點(diǎn)，得知△ACB的面積必然與△ADB的面積相等.根據(jù)題干，兩個(gè)不規(guī)則圖形的面積是相等的，那么從兩個(gè)三角形中減去不規(guī)則圖形，就能得出小矩形1與小矩形2的面積相等.學(xué)生可以列出方程（9-x）x=（9-6）×6，經(jīng)過(guò)整理得到x2-9x+18=0，最后得出x 1=3、x 2=6.通過(guò)本題的講解分析，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想中的補(bǔ)形轉(zhuǎn)化有所感悟，再遇到這類習(xí)題時(shí)，就能結(jié)合題干內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)聯(lián)想，合理、有效地應(yīng)用自己掌握的數(shù)學(xué)理論知識(shí).

二、應(yīng)用換元思想，有效解決方程問(wèn)題

方程是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，有時(shí)涉及多個(gè)變量.因此，學(xué)生要應(yīng)用換元思想，將多個(gè)變量轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量，這樣就能根據(jù)已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析，化繁為簡(jiǎn).要應(yīng)用換元轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生就要具備敏銳的觀察力，發(fā)現(xiàn)換元的切入點(diǎn).在解析方程時(shí)，忌過(guò)于直來(lái)直往，要懂得變通.

以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第5章“二次函數(shù)”的教學(xué)為例，教師講解以下這道習(xí)題：如果存在方程x2-2xy-3y2=0，試求xy的數(shù)值.這道題屬于二元二次方程，許多學(xué)生在解題時(shí)會(huì)產(chǎn)生疑惑，認(rèn)為超出初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)范圍.但如果經(jīng)過(guò)細(xì)致分析，就可以看出這道題并非讓學(xué)生求出x和y的具體數(shù)值，而是求x和y的比值.這就說(shuō)明可以將這個(gè)比值看成一個(gè)整體，將原方程進(jìn)行適當(dāng)換元轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的方程形式.

根據(jù)題干信息進(jìn)行分析，如果xy這個(gè)數(shù)值可求，那么就證明y≠0.在此基礎(chǔ)上，假設(shè)m=xy，原方程左右兩邊可以同時(shí)除以y2，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后，就變成（xy）2-2xy-3=0，將m代入，原方程就變成m2-2m-3=0，求解方程，可以得出m 1=3、m 2=-1，因此本題所求xy的值為3或-1.學(xué)生在面對(duì)這類習(xí)題時(shí)，要明白出題人不會(huì)無(wú)緣無(wú)故地出超綱題，凡涉及多元、多次的題目，所求的數(shù)值又以比值、平方或代數(shù)式的方式為主，可以嘗試應(yīng)用換元轉(zhuǎn)化思想，將多元多次題目形式轉(zhuǎn)化成一元一次或一元二次題目，再解答問(wèn)題.

三、應(yīng)用簡(jiǎn)化思想，處理復(fù)雜分式題干

越復(fù)雜的習(xí)題內(nèi)容，越需要進(jìn)行簡(jiǎn)化，化繁為簡(jiǎn)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法之一.在分式方程的學(xué)習(xí)中，這一轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用廣泛.前文所講的換元轉(zhuǎn)化在本質(zhì)上屬于化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)方法.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，學(xué)生要具有良好的觀察能力，迅速找到換元的切入點(diǎn).但簡(jiǎn)化思想在分式方程中應(yīng)用廣泛，考驗(yàn)學(xué)生的基礎(chǔ)能力，如約分、通分是轉(zhuǎn)化思想中化繁為簡(jiǎn)的常用方式.

以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第10章“分式”一章的教學(xué)為例，教師給出以下例題：（1）當(dāng)x=（ ）時(shí)，分式3x+9x+4有意義;（2）當(dāng)x=（ ）時(shí)，3x+9x+4無(wú)意義;（3）當(dāng)x=（ ）時(shí)，3x+9x+4的值為零.這道題考查的是學(xué)生對(duì)分式基礎(chǔ)概念的理解，要想使這個(gè)分式有意義，就要保證分母不為零.相反，若分式無(wú)意義，則分母必然為零.若要使分式數(shù)值為零，則要同時(shí)保證分子為零、分母不為零.因此，經(jīng)過(guò)解答可以得知，（1）題答案為x≠-4，（2）題答案為x=-4，（3）題答案為x=-3.如果解題過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，那么（3）題要有驗(yàn)證過(guò)程，將x=-3代入分母中，得出答案不為零，滿足題干要求.

再如以下例題：計(jì)算（x-y）x2y+xy2÷x2-y2xy。應(yīng)先將分式轉(zhuǎn)化成乘法的形式，再將原式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，變?yōu)椋▁-y）xy（x+1）2×xy（x+y）（x-y）;最后約分，得出答案為x-y（x+1）（x+y）.

四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)圖像分析難題

在初中數(shù)學(xué)方程題中，方程的解就是其函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).數(shù)學(xué)教師在解題時(shí)應(yīng)當(dāng)結(jié)合題干內(nèi)容，理解題意，引導(dǎo)學(xué)生將解題思路與函數(shù)圖像結(jié)合到一起，利用方程與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系解題.如果要準(zhǔn)確計(jì)算一些方程題的結(jié)果，那么計(jì)算步驟將十分復(fù)雜.這類方程題往往不屬于計(jì)算題，如選擇題.面對(duì)這類習(xí)題時(shí)，學(xué)生要換一個(gè)角度思考，從數(shù)形結(jié)合的角度尋求突破口.

以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第11章“反比例函數(shù)”的教學(xué)為例，教師可以引入以下例題：如果存在某實(shí)數(shù)n，滿足方程n2+2+4n=0，下列哪個(gè)選項(xiàng)對(duì)n的估值正確？A.12 D.0

摻雜了一元二次函數(shù)與反比例函數(shù)，

比較特殊，如果直接求解，計(jì)算過(guò)程將十分煩瑣.如果應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，將方程轉(zhuǎn)化成n2+2=-4n，然后令m 1=n2+2，m 2=-4n，就將題目轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)不同的函數(shù)圖像.根據(jù)兩個(gè)圖像的性質(zhì)，m 1的函數(shù)圖像必然在一、二象限，m 2的函數(shù)圖像應(yīng)在二、四象限.因此，兩個(gè)函數(shù)圖像只能在第二象限中有重合點(diǎn)，可知n不可能大于0.由此，選項(xiàng)B為正確答案.當(dāng)面對(duì)多種函數(shù)類型摻雜的題目時(shí)，學(xué)生需要細(xì)心判斷，將復(fù)雜的方程以直觀的函數(shù)圖像形式展示出來(lái)，在解非證明、非計(jì)算的題型時(shí)變換解題思維，才能更好地節(jié)約做題時(shí)間，提高自身的解題效率.

五、應(yīng)用問(wèn)題變更思想，靈活變換解題思路

在解題的過(guò)程中，如果一條思路行不通，學(xué)生就要將問(wèn)題進(jìn)行變更，尋找更加有效的解析思路.想要達(dá)成思維訓(xùn)練的目的，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，讓學(xué)生牢記各種概念、定理.除此之外，教師要注重解題后的復(fù)習(xí)與鞏固，讓學(xué)生經(jīng)常回顧做錯(cuò)的習(xí)題，糾正自己容易犯錯(cuò)的細(xì)節(jié).這樣才能幫助學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用規(guī)律，避免在解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤.

以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱圖形——圓”的教學(xué)為例，引入以下例題：如圖2所示，如果在矩形ABCD中，滿足AD=8，而點(diǎn)O在直線AD上不斷運(yùn)動(dòng)，如果△OBC為等腰三角形，并且滿足這個(gè)條件的點(diǎn)O只有三個(gè)，試求AB的長(zhǎng)度.許多學(xué)生在面對(duì)這類習(xí)題時(shí)會(huì)習(xí)慣性地按照等腰三角形的基本概念進(jìn)行思考，即OB=OC，OB=BC，OC=BC.但在解析時(shí)，學(xué)生不知怎樣滿足“點(diǎn)O只有三個(gè)”這個(gè)條件.對(duì)此，可以適當(dāng)變更問(wèn)題.首先，在矩形ABCD中，根據(jù)矩形的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)O為AD中點(diǎn)時(shí)，OB=OC必然滿足題干條件.而關(guān)于OB=BC，OC=BC的解析，可以從圓的半徑入手解答.如以B、C分別作為圓心，令BC為半徑進(jìn)行畫圓.如果BC的長(zhǎng)度小于AB，那么兩個(gè)圓與直線AD不會(huì)形成交點(diǎn)，不滿足題意.若BC等于AB，那么點(diǎn)O剛好能與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合，在加上AD的中點(diǎn)，正好滿足“點(diǎn)O只有三個(gè)”這個(gè)條件，此時(shí)BC=8.若BC長(zhǎng)度大于AB，那么兩個(gè)圓會(huì)在AD直線上分別形成兩個(gè)交點(diǎn)，加上AD中點(diǎn)，共有五個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.但當(dāng)兩個(gè)圓都剛好經(jīng)過(guò)AD中點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)就變成了三個(gè).此時(shí)，根據(jù)勾股定理，AB2=OB2-AO2=BC2-AO2=82-42，可以得出AB=43.

結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)解題思想從接觸到應(yīng)用，再到熟練掌握，需要進(jìn)行長(zhǎng)期的實(shí)踐練習(xí)、鞏固內(nèi)化.教師要為學(xué)生引入例題分析，加強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想思考，讓學(xué)生在面對(duì)難題時(shí)能迅速找到解題的切入點(diǎn)，采用補(bǔ)形轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、化繁為簡(jiǎn)、數(shù)形結(jié)合、問(wèn)題變更等方法，完成習(xí)題的解析與論證.

【參考文獻(xiàn)】

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