關建昌

【摘要】在初中數(shù)學教學中，分類討論思想是重要的教學方法之一，有助于促進學生思維發(fā)展、提高學生解題效率;這種不斷滲透的教學方式，將初中新課標下九年義務教育的要求充分體現(xiàn)了出來，其反映出隨時代變化，社會對人才素質要求的提高.

【關鍵詞】數(shù)學;初中;新課標;分類討論思想

前 言

分類討論思想體現(xiàn)了數(shù)學的內在特征，是數(shù)學教學中重要的解題方法.以往傳統(tǒng)教學模式雖然具有較長應用歷史，但卻存在著明顯缺陷，其以教師為中心，注重基礎知識的傳授、講解，忽略培養(yǎng)學生實際處理數(shù)學問題的能力，影響教學成果[1].對此，在新課標下，教師要積極學習先進教學模式，充分運用分類討論思想，提高教學質量.

一、分類討論思想定義及其理論依據(jù)

（一）定義

初中數(shù)學具有嚴謹?shù)闹R體系與邏輯結構，差別于語文、英語等其他學科，數(shù)學知識一般是明確真理與客觀存在的，并非學生主觀感受“仁者見仁”.因此，相比于其他學科，初中數(shù)學的教學較為復雜，大量的教學內容需要分類討論，如幾何圖形的位置關系、不同條件下數(shù)學公式變形等.如何提高初中教學質量，促使學生更好地去掌握數(shù)學知識要點，正確、科學的教學方法與途徑顯得至關重要.分類討論思想根據(jù)數(shù)學知識點的關鍵因素、內部特征，劃分成多個類別進行分析討論.分類討論思想教學方式，在教學過程中可條理清晰、一一列舉出問題的各種解決方法，同時可保證解決方案的概括性與全面性，避免遺漏重要知識點，改善數(shù)學教學質量，幫助初中學生更好地掌握數(shù)學知識要點.

（二）理論依據(jù)

從邏輯層面來看，分類討論其子項外延的總和與母項外延相等;且整個劃分過程只有一個基本標準;最終劃分出的子項一定要完全列出來;同時劃分操作必須依照某類從屬關系逐級落實，決不能出現(xiàn)隨意越級的問題.

對于該思想而言，其根本是分類，倘若分類錯誤，就無法得到正確的討論結果.而分類本質上則是邏輯上的劃分.劃分是一種展現(xiàn)概念外延的重要邏輯方式，其原則就是劃分依據(jù)，也可以說是該思想中分類的主要標準.對此，明確劃分依據(jù)則是實現(xiàn)正確分類討論的關鍵所在.

劃分規(guī)則通常包含這幾項：一是劃分之后的所有子項之間都應該是互不相容的，比如長方形、正方形、菱形都是平行四邊形;二是必須窮盡母項，比如自然數(shù)可以分成偶數(shù)和奇數(shù)兩類;三是每一次的劃分都要按照同一標準，比如將三角形按照角進行劃分，可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形，將其按照邊分，就分為三邊都不相等的三角形和有兩邊相等的三角形.

二、分類討論引起原因

在整個初中數(shù)學教學中，分類討論思想貫穿全部，一般可將其歸結為以下幾個原因：（1）分類討論根據(jù)實際問題具體分析，如實際應用題、組合問題、排列問題等;（2）通過分類討論思想對數(shù)學問題中的不確定結論、不確定的圖形位置或形狀、不確定的數(shù)量關系等進行分析[2];（3）在數(shù)學問題中遇到參數(shù)（含有字母系數(shù)）問題，需要通過分類討論思想對參數(shù)區(qū)間、取值范圍等進行分析;（4）數(shù)學問題中涉及法則、運算性質或公式、數(shù)學定理等分類給出或給出有條件范圍需要通過分類討論思想分析;（5）如絕對值這類，數(shù)學問題概念本身存在分類定義[3].

三、初中數(shù)學教學中分類討論思想的應用

一般，在解答分類討論類問題時需要按照一定步驟開展：一是確定出具體的分類對象;二是針對問題當中的某些條件進行分類，在同一標準之下實施合理分類;三是逐類進行討論;四是對各類的討論結果進行整理歸納，最終得出相關結論.實際使用該思想解決問題的時候需要在正確分類的前提下盡可能減少分類，從而使問題解決更為簡便.

（一）在函數(shù)或方程中的應用

對于涉及函數(shù)、代數(shù)式或方程的題目來說，我們在使用該思想進行解決的時候，可以根據(jù)字母的不同取值，分別在其不同取值范圍當中進行討論，最終順利解決問題.

比如，在求解y=（a-1）x2+ax+1和x軸的交點坐標時，由于該問題條件具有眾多可能性，所以該函數(shù)也會有很多可能的情況.具體將其分為兩類，也就是函數(shù)是一次函數(shù)或者是二次函數(shù).兩種情況最終得出的結果為：第一，當該函數(shù)是一次函數(shù)的時候，a=1，函數(shù)和x軸的交點坐標為（-1，0）.第二，當該函數(shù)是二次函數(shù)的時候，a≠1，Δ=（a-2）2，①當Δ>0，即a≠2的時候，與x軸有兩個交點，即（-1，0）和? 1[]1-a，0;②當Δ=0，即a=2的時候，與x軸有一個交點，即（-1，0）;③當Δ<0，即（a-2）2<0時，a的取值不存在.在這樣的討論過程中最終就能夠得到正確答案，即當a=1的時候，該函數(shù)和x軸的交點為（-1，0）;當a≠1且a≠2的時候，該函數(shù)和x軸的交點為（-1，0）和1[]1-a，0;當a≠1，且a=2的時候，該函數(shù)和x軸的交點為（-1，0）.

或者在解|3-x|+|x+2|=5這類含有絕對值的方程時，可以先把絕對值當中的對象分為負數(shù)、正數(shù)和零三種情況，然后進行分類討論.在該題目當中，對于|3-x|來說，能夠分為x<3、x=3以及x>3三種情況;對于|x+2|來說，則可以分為x=-2、x<-2以及x>-2三種情況.同時將分類好的范圍表示在數(shù)軸當中，從而轉為這三種基本情形：第一，x<-2，這時候原本的方程可以直接轉化為3-x-（x+2）=5，那么最終x就能夠得出為-2，這一點與x<-2是互相矛盾的，所以在該情形之下，原方程無解;第二，-2≤x≤3，這時候原本的方程就可以直接轉化為3-x+x+2=5，方程恒成立，最終在-2≤x≤3內的所有實數(shù)都是該方程的解;第三，x>3，這時候原本的方程就可以直接轉化為-（3-x）+x+2=5，最終解出x=3，這一點和x>3是相互矛盾的，所以在該情形下原方程無解.那么最終就能夠得到該題目的結果為-2≤x≤3.

我們通過這一案例分析能夠發(fā)現(xiàn)，一旦遇到這類問題，必須先進行審題，充分理解題意.教師還要促使學生在日常養(yǎng)成嚴謹審題的好習慣，進而避免因為審題不認真而引起重復或者漏解的問題.

（二）在實踐課題中的應用

數(shù)學是一門中學必修課，可鍛煉學生的理解能力、學習能力、思維能力;同時初中數(shù)學相比其他課程，如英語、語文、歷史等，對于學生的綜合分析能力、邏輯思維能力要求較高;相比其他課程，初中數(shù)學學習難度、教學難度相對較高.因此，在新課標下，將分類討論思想運用于實踐課題教學，對提高學生學習能力、綜合分析能力等至關重要.在初中教學中，教師可通過分類討論思想為學生設計題目.如，某面粉加工廠現(xiàn)有面粉9噸，若廠家直接在市場銷售面粉，每噸獲利500元;制成面條銷售每噸額外可多獲利700元;制成面包銷售，每噸額外可多獲利1500元;該工廠每天可加工生產3噸面條;制成面包每天可生產1噸;由于工廠規(guī)模有限，兩種產品無法同時加工;受市場環(huán)境影響，這批面粉需要在4天內銷售或加工完成.對于此題目，教師可引導學生對影響工廠加工的因素進行綜合性分析，并從利益最大化角度出發(fā)，指定設計方案.初中數(shù)學教師可以通過這種教學模式，將分類討論思想融入教學之中，從而提高學生的數(shù)學能力.

（三）將分類討論思想應用于幾何教學中

初中數(shù)學與小學階段數(shù)學存在巨大差別，初中數(shù)學正式接觸幾何知識，不僅學習難度增加，同時其包含的圖形知識對學生思維能力提出更高要求.為更好地幫助學生理解、掌握幾何知識，在教學中，教師應充分運用分類討論思想，對幾何圖形知識進行全面剖析.

初中數(shù)學當中圓的對稱性、圓和直線、圓與圓，甚至圓和正多邊形的關系都是非常重要的內容.并且在圓的對稱性與位置關系的相關問題解決當中，分類討論思想應用最多，它能夠促使學生更加明確題目當中的各項變量和兩個圖形之間的距離等內容.

1.確定點和圓的位置關系，直線與圓的關系，可通過作圖表示，當點或者直線運動過程中，它們和圓的位置關系會出現(xiàn)不同的情況，進而進行分類討論.

2.在探討圓周角與圓心角的大小關系時，教師可以借助幾何畫板制作圖形（如圖1所示），通過移動點B，會出現(xiàn)以下三種情況，讓學生總結歸納，從而培養(yǎng)學生分類討論思想.在證明過程中，教師要引導學生從特殊情況入手進行證明，并讓學生思考：其他兩種情況能否轉化為第一種情況？如何轉化？在教學過程中，教師要有意識地向學生滲透解決問題的策略以及轉化、分類、歸納等數(shù)學思想方法.

3.幾何動點題型體現(xiàn)分類思想：如圖2：已知射線DE與y軸、x軸分別交于點E與點D，動點C以1個單位長度/秒的速度從點M（5，0）沿x軸勻速向左運動;同時動點P以同樣速度從點D勻速沿射線方向運動，假設運動時間為t秒.（1）以點C為圓心，12t個單位長度為半徑的⊙C與x軸相交于點A、點B（A點在B點左側），連接PA，PB;①當△PAB為等腰三角形時，求t值;②當射線DE與⊙C有公共點時，求t的取值范圍.（2）請用含t的代數(shù)式，表示出點P與點C的坐標.對于以上數(shù)學問題，雖然相對其他科目難度頗高，但只要學生主動積極學習，充分掌握中學數(shù)學知識，具有一定的類比技巧與聯(lián)想技能，知道數(shù)學問題最基本的解決方法，透過其復雜外表，看到問題的根本，再根據(jù)自己所學知識，有效地構造出問題的新特征，合理進行知識遷移，尋找問題解決路徑與思路，就能解答此問題，并能提高其數(shù)學能力，培養(yǎng)其邏輯思維，使其形成良好的獨立的思維習慣，避免過度依賴他人.教師在教學過程中利用分類討論思想進行教學，可提高學生的理解能力，促進學生思維發(fā)展.

四、經驗總結

首先，教師應當找準時機，將分類的思想方法滲透給學生，比如可以在概念學習當中進行滲透;也可以在法則探究當中進行滲透;或者在圖形求解當中進行滲透.

其次，教師進行啟發(fā)誘導，將該思想的本質揭露出來，比如具體依照問題的需求去分類;在分類的時候必須要有相對比較明確的標準.

最后，教師進一步加大對這類思想方法在問題應用中的研究，比如可以依照取值范圍進行分類;或者直接依照幾何圖形的位置關系進行分類.

結 語

總體來說，初中數(shù)學題目雖然靈活多變，但有跡可循.在教學中，教師充分運用先進教學模式，將分類討論思想融入初中數(shù)學教學中，有助于提高學生分類討論能力，提高課堂的趣味性，強化學生解題效率，提高學生數(shù)學成績.

【參考文獻】

[1]楊雪蓮.試論分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的應用[J].時代教育，2017（8）：149.

[2]張福生.初中數(shù)學分類討論思想的教學建議[J].中學數(shù)學教學參考，2016（33）：28-29.