孫 謙

開(kāi)展數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，教師應(yīng)致力于尋找知識(shí)之間的連接點(diǎn)，將碎片化的知識(shí)連成線、織成網(wǎng)、筑成塊、構(gòu)成體，讓學(xué)生整體感悟?qū)W習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)進(jìn)程，建構(gòu)自己整體的思維體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種動(dòng)態(tài)建構(gòu)的過(guò)程，是教師基于對(duì)課程與課標(biāo)的理解以及對(duì)學(xué)理的分析和學(xué)情的調(diào)研，著力將教材改編為學(xué)材，即教師根據(jù)自己對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的專業(yè)化理解，設(shè)計(jì)連接學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的“真實(shí)”情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，找到相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)元素，從而建構(gòu)起自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

一、組織基于真實(shí)情境的學(xué)習(xí)過(guò)程，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系、與學(xué)生學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，抽象概括。教師應(yīng)努力挖掘隱藏于生活中的學(xué)習(xí)素材，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活素材理解數(shù)學(xué)，同時(shí)將所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)從“真實(shí)”情境中來(lái)，到“真實(shí)”問(wèn)題中去，基于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)的了解和分析，整合教材資源，創(chuàng)新設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)和學(xué)習(xí)過(guò)程。

例如：教學(xué)蘇教版下“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，首先，教師以學(xué)生真實(shí)的生活情境——測(cè)量黑板的長(zhǎng)度引入，將生活與數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，延展開(kāi)去，聚焦測(cè)量的本質(zhì)——數(shù)與量的產(chǎn)生，開(kāi)啟了學(xué)生對(duì)數(shù)的發(fā)展過(guò)程的整體認(rèn)識(shí)；其次，轉(zhuǎn)向生活中常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)形態(tài)——面積的均分，從顯而易見(jiàn)的可視化表征中抽象出用分?jǐn)?shù)表達(dá)平均分的實(shí)質(zhì)；再次，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷測(cè)量的過(guò)程，感受分?jǐn)?shù)作為一種“數(shù)”，與學(xué)過(guò)的整數(shù)、小數(shù)一樣，不僅可以表示量的多少、數(shù)的大小，還可以表示一些計(jì)數(shù)單位不斷累加的結(jié)果；最后，從另一種角度看待面積均分產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)，深入挖掘分?jǐn)?shù)表示“率”的又一深刻內(nèi)涵。整個(gè)過(guò)程前后呼應(yīng)，于“變”中求“不變”，轉(zhuǎn)換連續(xù)而自然，抓住分?jǐn)?shù)不同方面的意義，既有聯(lián)系又有區(qū)別，讓學(xué)生真實(shí)而深刻地感受到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性和必然性。

二、開(kāi)發(fā)動(dòng)靜結(jié)合的學(xué)習(xí)材料，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)

“分?jǐn)?shù)的意義”建構(gòu)過(guò)程中重要的一點(diǎn)，是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)作為一種“數(shù)”的實(shí)質(zhì)。也就是說(shuō)，它與其他數(shù)一樣，都能在數(shù)射線上找到自己的位置。張奠宙先生曾多次強(qiáng)調(diào)在數(shù)射線上對(duì)分?jǐn)?shù)作幾何解釋的重要性。然而，數(shù)射線的抽象程度較高，學(xué)生不易掌握，如何設(shè)計(jì)易于學(xué)生操作和理解的學(xué)材，幫助學(xué)生突破這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)呢？不少研究都表明，從細(xì)長(zhǎng)的條形塊這一幾何模型出發(fā)，逐漸抽象出數(shù)射線，更加符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)。

基于此，教師設(shè)計(jì)了一根一米長(zhǎng)的軟尺，利用這個(gè)學(xué)材，組織學(xué)生開(kāi)展了一系列“做中學(xué)”的活動(dòng)，如量一量、圈一圈、比一比等。首先，引導(dǎo)學(xué)生用軟米尺測(cè)量黑板的長(zhǎng)度，從中感悟到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必然性。然后，用軟米尺圈出一個(gè)圓，動(dòng)線成面，化直為曲，將面積均分與計(jì)量單位均分聯(lián)系起來(lái)。無(wú)論是長(zhǎng)條軟米尺的均分還是圓的均分，都可以看成是對(duì)現(xiàn)實(shí)存在的“物”的均分，這是分?jǐn)?shù)的重要意義之一。軟米尺和圓中扇形的色塊一一對(duì)應(yīng)，可以讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)的不同表征形式之間的轉(zhuǎn)換和聯(lián)系。最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生利用軟米尺測(cè)量窗戶的長(zhǎng)度，化曲為直，讓學(xué)生親眼見(jiàn)證比1小的數(shù)和比1大的數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)表示，整數(shù)與分?jǐn)?shù)可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化。軟米尺自然與數(shù)射線融通，變成了一個(gè)可以無(wú)限延展的數(shù)射線。在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的多層含義的過(guò)程中，可靜可動(dòng)的學(xué)材發(fā)揮了巨大的作用。

三、呈現(xiàn)元素聯(lián)結(jié)的變式材料，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野

數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化教學(xué)主要通過(guò)元素的聯(lián)結(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)。這就要求教師深刻把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵和豐富外延，不斷分解和重組學(xué)習(xí)材料，變化表征形式，讓原本孤立無(wú)關(guān)的材料變成聯(lián)系緊密的變式材料，達(dá)到”橫看成嶺側(cè)成峰“的效果，最終促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)概念?！胺?jǐn)?shù)的意義”之所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，其中一個(gè)重要的原因，就是雖然分?jǐn)?shù)問(wèn)題通過(guò)分割操作可能轉(zhuǎn)化為整數(shù)問(wèn)題，但與整數(shù)不同，分?jǐn)?shù)是一個(gè)表示兩個(gè)量倍比關(guān)系的相對(duì)量，或者說(shuō)是一個(gè)比例，這種認(rèn)知沖突有時(shí)會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，分割計(jì)數(shù)產(chǎn)生分?jǐn)?shù)是易于理解的，分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系是較難理解的。在教學(xué)中，教師要注意從學(xué)生已有的利于他們理解的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，靈活變換，螺旋上升，提高學(xué)生對(duì)概念的整體認(rèn)知。教師可以將學(xué)生熟悉的正方形和人民幣作為研究對(duì)象，不斷變換表征形式（如下頁(yè)圖1），拓展學(xué)生的思維，激發(fā)其對(duì)于分?jǐn)?shù)表示倍比關(guān)系的思考，深化其對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。

師：現(xiàn)在變成了這樣（1 元、2 元、5 元、10 元人民幣各一張），你還能看出分?jǐn)?shù)嗎？

圖1 以正方形和人民幣為例探究“分?jǐn)?shù)的意義”

一些學(xué)生臉上露出了困惑的表情。

以上以“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)為例，分析了結(jié)構(gòu)化教學(xué)中學(xué)材開(kāi)發(fā)和學(xué)程設(shè)計(jì)的實(shí)施要點(diǎn)——在“真實(shí)”情境中，注重運(yùn)用多元表征，創(chuàng)新應(yīng)用模型，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展合作探究，實(shí)現(xiàn)實(shí)際意義的關(guān)聯(lián)建構(gòu)，發(fā)展抽象、推理、模型等綜合能力，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在想象、修正、反思中提高認(rèn)知水平，在對(duì)話、操作、合作中促進(jìn)心智發(fā)展。