倪秀靜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。

由此引發(fā)思考，可否借助幾何直觀把復(fù)雜的圖形變換問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，提煉出有助于探索解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生找到這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)。

一、問(wèn)題探究

我們先從例1的解法談起。

例1：如圖，將△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是?_______。

【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角相等。

先根據(jù)圖形可知點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)中心在線(xiàn)段AA′的垂直平分線(xiàn)上，也在線(xiàn)段BB′的垂直平分線(xiàn)上，那么兩垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心。

【解答】解：∵△ABC繞P點(diǎn)順時(shí)針得到△A′B′C′，

∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，

作線(xiàn)段AA′和CC′的垂直平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)為P（1，2），

∴旋轉(zhuǎn)中心P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）.

二、提煉模型——讓“動(dòng)”起來(lái)的圖形“靜”下來(lái)

通過(guò)例1，我們發(fā)現(xiàn)在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，關(guān)鍵點(diǎn)是要抓住圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，由此推斷出旋轉(zhuǎn)中心必在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)AA′和CC′的垂直平分線(xiàn)上。那我們能不能進(jìn)一步思考，如果我們將旋轉(zhuǎn)中心P和對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，那么此時(shí)構(gòu)成的三角形△PAA′、△PBB′、△PCC′會(huì)是什么性質(zhì)呢？在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)角可以用圖形中哪個(gè)角來(lái)表示呢？

【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知PA=PA′，PB=PB′，PC=PC′

所以首先可以判定△PAA′、△PBB′和△PCC′是等腰三角形。

由旋轉(zhuǎn)的定義可知，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角可以用∠APA′，∠BPB′，∠CPC′來(lái)表示。

因?yàn)樾D(zhuǎn)圖形的整體性，所以圖形上每一個(gè)點(diǎn)繞P點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度都相同。

即∠APA′=∠BPB′=∠CPC′

由圖可知此時(shí)∠CPC′=90°，∴∠APA′=∠BPB′=∠CPC′=90°

可以判定△PAA′、△PBB′和△PCC′是等腰直角三角形。

從這一分析過(guò)程，我們不難發(fā)現(xiàn)，在例1里，由于旋轉(zhuǎn)角為90°，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成的三角形不僅是等腰三角形，而且還是等腰直角三角形。這是由對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等這一性質(zhì)決定的。

那么這一結(jié)論，是不是也適用于其他旋轉(zhuǎn)的圖形呢？

由之前的問(wèn)題分析可知：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等這一性質(zhì)始終存在，那么結(jié)論是否成立就取決于旋轉(zhuǎn)角度了。不難想象，如果旋轉(zhuǎn)角為180°時(shí)，這時(shí)兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心三點(diǎn)共線(xiàn)，是不能構(gòu)成三角形的。由中心對(duì)稱(chēng)的概念和性質(zhì)可知，這時(shí)旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)，如圖。

而只要旋轉(zhuǎn)角度小于180°，這時(shí)這三點(diǎn)必可構(gòu)成三角形，而這個(gè)三角形由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)決定了其只能是等腰三角形。至于是什么樣的等腰三角形又取決于旋轉(zhuǎn)角（等腰三角形的頂角）的大小，即旋轉(zhuǎn)角（頂角）為90°時(shí)，為等腰直角三角形;旋轉(zhuǎn)角（頂角）為60°時(shí)，為等邊三角形。我們將該結(jié)論提煉為如下的模型：

三、模型應(yīng)用

例2：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點(diǎn)F，求△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和是多少。

【分析】根據(jù)模型思想，關(guān)注兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成的三角形△BCD。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角∠CBD=60°，BC=BD，則△BCD必為等邊三角形。再利用三角形周長(zhǎng)定義得到△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和=AC+CD+AB+BD，接著由△BCD為等邊三角形得到CD=BC=BD=12，于是就可以計(jì)算出△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和。

例3：如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AA′，若∠1=20°，則∠B的度數(shù)是? ? ? 。

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A′C，然后判斷出△ACA′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAA′=45°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠A′B′C，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B=∠A′B′C。

【解答】解：∵Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，

∴AC=A′C，

∴△ACA′是等腰直角三角形，

∴∠CAA′=45°，

∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B=∠A′B′C=65°。

當(dāng)然，解決圖形變換問(wèn)題的方法還有很多。本文只是拋磚引玉，用意在引導(dǎo)學(xué)生找到問(wèn)題本質(zhì)，把復(fù)雜的圖形變換問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，從共性的條件中提煉模型，讓模型為自己所用，積累數(shù)學(xué)分析經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)模型思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

參考文獻(xiàn)：

中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.