胡毅

[摘? 要] 課堂討論是教學(xué)中常用的手段，但是往往會(huì)漫無(wú)邊際、離題較遠(yuǎn)、浮于表面，高效、有序的課堂討論可以幫助學(xué)生理清思維. 為了達(dá)到這個(gè)目的，教學(xué)過(guò)程中的課堂討論環(huán)節(jié)必須注意通過(guò)學(xué)生思維的發(fā)展過(guò)程引領(lǐng)討論的發(fā)展，學(xué)習(xí)單作為思維的媒介，在討論中起到了重要作用.

[關(guān)鍵詞] 課堂討論;數(shù)學(xué)思維;研究性學(xué)習(xí)

課堂討論是常見(jiàn)的教學(xué)環(huán)節(jié)，在教學(xué)中開(kāi)放性的討論有助學(xué)生的思維發(fā)展. 一方面，通過(guò)討論，學(xué)生需要將理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)確、有序地表達(dá)出來(lái)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維;另一方面，討論幫助學(xué)生從口頭表述數(shù)學(xué)，也有助學(xué)生多元智能的發(fā)展，在課堂討論所形成的頭腦風(fēng)暴中，學(xué)生更容易擦出思維的火花.

但在有些課堂討論中，會(huì)出現(xiàn)漫無(wú)邊際、離題較遠(yuǎn)的情況，或者討論不深入，浮于表面，不能抓住所研究課題的要害. 這些低效或者無(wú)效的課堂討論一方面反映了思維的低效或無(wú)序，一方面又阻礙了思維的進(jìn)一步發(fā)展. 如何通過(guò)高效、有序的課堂討論幫助學(xué)生理清思維，互通有無(wú)，相互提升，成為課堂討論環(huán)節(jié)在教學(xué)中成敗的關(guān)鍵.

本文以校本數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題“y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 的圖像與性質(zhì)的研究”為載體，探索在研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)過(guò)程中提高討論效率的方法和策略.

學(xué)情分析與教學(xué)任務(wù)

高一年級(jí)的學(xué)生在第一學(xué)期已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，但總體來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)仍然停留在對(duì)教材、教師明確給出的問(wèn)題的解答上，所研究的函數(shù)也往往是明確給出的函數(shù)，學(xué)生對(duì)于如何通過(guò)自主構(gòu)造函數(shù)，從特殊到一般歸納一類(lèi)新的函數(shù)性質(zhì)的創(chuàng)新性學(xué)習(xí)體驗(yàn)較少.

為此，在函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)之后，設(shè)計(jì)了研究性學(xué)習(xí)課題“y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 的圖像與性質(zhì)的研究”，主要的研究方法是實(shí)驗(yàn)法，通過(guò)控制變量的方式探索并總結(jié)圖像的一般規(guī)律，主要的研究工具是圖形計(jì)算器或作圖軟件. 對(duì)于初次在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)生，本課題的難點(diǎn)有兩個(gè)：一是如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，包括函數(shù)的設(shè)計(jì)和控制變量的設(shè)計(jì);二是如何從相關(guān)圖像中歸納、驗(yàn)證規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).

課堂討論環(huán)節(jié)的確立

針對(duì)本課題中設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案和歸納、驗(yàn)證規(guī)律兩個(gè)難點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)了兩次學(xué)生討論環(huán)節(jié).

第一次是討論函數(shù)中變量的控制，探究從相關(guān)圖像中總結(jié)出的圖像變換的規(guī)律. 在教師對(duì)函數(shù)y=x2-1和y= 的作圖演示結(jié)束后，教師要求學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行推廣，研究在一般情況下y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 具有哪些性質(zhì). 學(xué)生在選擇函數(shù)類(lèi)型后，討論選擇函數(shù)解析式中哪些是需要變換的變量，并討論對(duì)這些變量如何賦值. 各小組將具體函數(shù)和相應(yīng)的函數(shù)圖像填寫(xiě)在學(xué)習(xí)單中，并利用投影儀進(jìn)行交流.

第二次是根據(jù)具體函數(shù)的圖像，對(duì)y=f（x）與y= 圖像變化的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，每位學(xué)生將自己總結(jié)的性質(zhì)填寫(xiě)在學(xué)習(xí)單的相應(yīng)位置，然后進(jìn)行小組內(nèi)部的交流. 在小組內(nèi)的總結(jié)和交流結(jié)束后，各小組輪流上臺(tái)，每次交流一條自己總結(jié)的性質(zhì)，并進(jìn)行證明;其他小組可以對(duì)研究方法和結(jié)論進(jìn)行補(bǔ)充和評(píng)價(jià)，也可以舉出反例進(jìn)行反駁. 最后學(xué)生和教師歸納數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中變量控制的研究方法的要點(diǎn).

學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)單作為研究性學(xué)習(xí)過(guò)程中的文本記錄工具，一方面可以在記錄學(xué)生自主研究的內(nèi)容和中間結(jié)果，以學(xué)生的思維過(guò)程引領(lǐng)討論的開(kāi)展，確保每位學(xué)生言之有物，不會(huì)跑題或者無(wú)話(huà)可講;另一方面可以記錄學(xué)生在相互討論交流的過(guò)程中的相關(guān)信息，相互補(bǔ)充思考中不完善、不全面的地方，促進(jìn)思維的發(fā)展.

本課題的學(xué)習(xí)單由“自主研究”“小組交流”“歸納驗(yàn)證”“發(fā)言提綱”“交流評(píng)價(jià)”“自我評(píng)價(jià)”六個(gè)部分組成.

教學(xué)過(guò)程

1. 情境創(chuàng)設(shè)

教師活動(dòng)：復(fù)習(xí)函數(shù)圖像變換的知識(shí)，用描點(diǎn)法畫(huà)出y=x2-1的圖像，并引導(dǎo)學(xué)生思考能否從已知函數(shù)出發(fā)畫(huà)出y= 的草圖.

學(xué)生活動(dòng)：從實(shí)例出發(fā)，了解課題的意義.

設(shè)計(jì)意圖：從已知引入未知，增加學(xué)習(xí)的興趣.

2. 提出課題

教師活動(dòng)：（1）猜測(cè)：展示y=x2-1和y= 的圖像，猜測(cè)兩個(gè)函數(shù)圖像之間存在的關(guān)系.

（2）證明：說(shuō)明上述猜測(cè)的真?zhèn)?，加以證明.

（3）推廣：一般地，y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 有哪些性質(zhì)？

學(xué)生活動(dòng)：在教師的引領(lǐng)下，通過(guò)對(duì)范例的學(xué)習(xí)，了解從函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的一般模式，學(xué)習(xí)從“特殊到一般”的歸納方法.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師的示范，學(xué)生對(duì)通過(guò)函數(shù)圖像研究、歸納函數(shù)性質(zhì)的方法增進(jìn)了解，為后續(xù)的探究打下基礎(chǔ).

3. 組織學(xué)生進(jìn)行第一次研究和討論

教師活動(dòng)：（1）確定特殊函數(shù)：請(qǐng)各組確定研究的函數(shù)，可選一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和相關(guān)的復(fù)合函數(shù)，盡可能選取不同類(lèi)型的函數(shù);確定函數(shù)解析式的表達(dá)形式，比如選取二次函數(shù)的小組，是以y=ax2+bx+c的形式進(jìn)行研究還是以y=a（x-h）2+b的形式進(jìn)行研究？選取的理由是什么？

（2）確定研究變量，比如在y=a（x-h）2+b中，固定哪兩個(gè)參數(shù)，對(duì)準(zhǔn)備變換的參數(shù)賦值哪些可以畫(huà)出所有具有代表性的函數(shù)圖像？

學(xué)生活動(dòng)：（1）小組確定本小組研究的函數(shù)類(lèi)型，在學(xué)習(xí)單上加以記錄，并說(shuō)明選擇的理由. （2）小組成員確定控制變量和變量的具體值，并在小組內(nèi)結(jié)合圖像說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：教師可以首先請(qǐng)學(xué)生自行選擇研究的函數(shù)類(lèi)型，并將選擇相近類(lèi)型函數(shù)的學(xué)生分為一組，以利于后續(xù)的討論. 在分組時(shí)盡量遵循“組內(nèi)同質(zhì)，組間異質(zhì)”的原則，并以函數(shù)名稱(chēng)命名小組，指導(dǎo)小組成員選出小組長(zhǎng)引導(dǎo)討論，并對(duì)討論的過(guò)程和內(nèi)容提出要求. 對(duì)學(xué)習(xí)單的填寫(xiě)進(jìn)行指導(dǎo)，確保學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)單上反映出思維的過(guò)程.

4. 組織學(xué)生進(jìn)行第二次研究和討論

教師活動(dòng)：（1）記錄、觀察和歸納：通過(guò)圖形計(jì)算器畫(huà)出函數(shù)的圖像，加以記錄，并從定義域、奇偶性、單調(diào)性、值域、圖像所在區(qū)域等方面歸納可能的性質(zhì).

（2）驗(yàn)證猜想：指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組討論排除錯(cuò)誤的猜想，驗(yàn)證正確的結(jié)論.

（3）小組間介紹：請(qǐng)各小組代表從一個(gè)方面介紹本小組的研究過(guò)程和研究成果，包括研究了哪些具體函數(shù)、歸納的猜想、排除錯(cuò)誤猜想的結(jié)論和依據(jù)、正確猜想的證明.

（4）小組評(píng)價(jià)：請(qǐng)其他小組進(jìn)行補(bǔ)充和評(píng)價(jià).

學(xué)生活動(dòng)：（1）通過(guò)觀察和選擇，在學(xué)習(xí)單上記錄最后能夠較為準(zhǔn)確說(shuō)明性質(zhì)的若干組函數(shù)圖像，并歸納相關(guān)性質(zhì)，嘗試證明.

（2）小組輪流發(fā)言，介紹發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)和用于驗(yàn)證的函數(shù)圖像.

（3）小組間互為補(bǔ)充和評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖：（1）通過(guò)填寫(xiě)自己的學(xué)習(xí)單，每位學(xué)生都有獨(dú)立思考、獨(dú)立探究的機(jī)會(huì);通過(guò)交流，每位學(xué)生在小組中都能得到表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，這樣的以“獨(dú)立探究”為基礎(chǔ)的小組討論和合作，能使每位學(xué)生既有自己的學(xué)習(xí)空間，又能在合作中避免少數(shù)學(xué)生“一言堂”，多數(shù)學(xué)生主動(dòng)性不夠的情況出現(xiàn). （2）小組輪流發(fā)言，既能確保每個(gè)小組都有發(fā)言的機(jī)會(huì)，又能形成一定的競(jìng)爭(zhēng)，使課堂氣氛更為活躍.

5. 小結(jié)

教師活動(dòng)：（1）總結(jié)：學(xué)生和教師共同總結(jié)研究的方法和思路.

（2）作業(yè)布置：反思研究過(guò)程，思考進(jìn)一步的課題.

學(xué)生活動(dòng)：函數(shù)中應(yīng)用變量控制法時(shí)應(yīng)注意每個(gè)控制變量對(duì)圖像變換的作用是單一清晰的.

設(shè)計(jì)意圖：評(píng)價(jià)和總結(jié)是提升學(xué)生思維層次的重要環(huán)節(jié)，既要對(duì)研究的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，也要對(duì)研究的方法和過(guò)程進(jìn)行總結(jié).

總結(jié)

課堂討論是基于學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，同時(shí)對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)又具有重要的提升作用. 本節(jié)課通過(guò)兩次學(xué)生討論幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中“控制變量”的研究方法，進(jìn)行“從特殊到一般”的不完全歸納法的探究過(guò)程. 由于有學(xué)習(xí)單作為思維的腳手架和討論的框架，學(xué)生交流積極，基本沒(méi)有出現(xiàn)討論和交流偏題較遠(yuǎn)的情況. 對(duì)于課后作業(yè)，大部分學(xué)生也能模仿課堂研究過(guò)程，提出自己的假設(shè)和論證. 通過(guò)兩次課堂討論，總結(jié)出在研究性學(xué)習(xí)中提高課堂討論效率的一些方法：

1. 幫助學(xué)生學(xué)會(huì)記錄自己探究的過(guò)程，為討論提供材料和框架

通過(guò)在學(xué)習(xí)單上的記錄，每位學(xué)生都擁有自己參與討論的材料，討論內(nèi)容充實(shí);同時(shí)，由于每位學(xué)生在討論之前都經(jīng)歷了獨(dú)立思考的過(guò)程，使得討論是以“獨(dú)立探究”為基礎(chǔ)的討論. 在第一次討論前，通過(guò)填寫(xiě)學(xué)習(xí)單上的第一張表格，學(xué)生至少畫(huà)出了3對(duì)函數(shù)圖像，通過(guò)對(duì)每對(duì)函數(shù)圖像關(guān)系的研究，學(xué)生或多或少都能歸納總結(jié)出若干條變換的規(guī)律，通過(guò)相互印證，每個(gè)小組都能找到比較完整的性質(zhì).

2. 討論的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具有一定的開(kāi)放程度

第一次討論問(wèn)題的答案不是唯一的，學(xué)生想到的大多數(shù)函數(shù)都能夠通過(guò)合理地選擇參數(shù)完成后續(xù)的探究工作，由于可供選擇函數(shù)的類(lèi)型較多，有一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)等，每種函數(shù)控制變量又不唯一，因此在兩位學(xué)生使用完全一樣的函數(shù)進(jìn)行研究的情況幾乎不會(huì)出現(xiàn). 這樣問(wèn)題開(kāi)放性就降低了討論交流時(shí)發(fā)言的重復(fù)性，每位學(xué)生的交流都是不同角度的闡述，既增加了學(xué)生對(duì)其他同學(xué)研究結(jié)論的興趣，也幫助學(xué)生更完整地理解研究的問(wèn)題.

3. 幫助學(xué)生學(xué)會(huì)記錄和分析討論過(guò)程和結(jié)論

課堂討論的結(jié)束不應(yīng)當(dāng)是學(xué)生思維的停止符，而是學(xué)生通過(guò)討論的過(guò)程和結(jié)果的整理，對(duì)自己研究的內(nèi)容、研究的過(guò)程、研究的方法、研究的結(jié)果進(jìn)一步深化和提升的起點(diǎn). 因此，在學(xué)習(xí)單上還設(shè)計(jì)了對(duì)于小組內(nèi)討論的記錄和其他小組交流的記錄，通過(guò)記錄和評(píng)價(jià)，促使學(xué)生在課堂討論的基礎(chǔ)上，理解、反思他人的思維過(guò)程，從而完善自身對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

總之，學(xué)生通過(guò)研究性學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，逐步掌握研究方法、學(xué)會(huì)如何進(jìn)行合作學(xué)習(xí). 學(xué)習(xí)單的使用為探究過(guò)程搭建了一個(gè)框架，同時(shí)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)如何理清自己的思維過(guò)程，使討論言之有物，從而提高課堂討論的效率，讓課堂討論的方向能夠集中在主要的討論問(wèn)題上;通過(guò)學(xué)習(xí)單的記錄，思考、評(píng)價(jià)其他同學(xué)的思維過(guò)程，使討論能夠切實(shí)幫助學(xué)生的思維提升.