王艷 唐永

[摘? 要] 解題后的回顧反思和對比分析是提高教學(xué)效益的有效途徑.對一道解析幾何題的解答過程，反思其運算是否合理、細節(jié)處理是否到位、邏輯推理是否嚴謹;對比分析其不同方法的優(yōu)劣，優(yōu)化解題思路，促進學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 反思;對比;基本活動經(jīng)驗;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題，但數(shù)學(xué)習(xí)題“題海無邊”，若就題講題，則永遠也講不完，唯有“回頭是岸”. 羅增儒教授指出：“包括解題反思在內(nèi)的數(shù)學(xué)解題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容”.因此，只有加強解題后的回顧反思和對比分析，才能跳出題海，提高解題教學(xué)的效益.通過反思運算是否合理、細節(jié)處理是否到位、邏輯推理是否嚴謹;通過比較不同方法的優(yōu)劣，優(yōu)化解題思路，促進學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面對一道解析幾何題的解答過程進行反思和對比，談一些體會和做法，僅供大家參考.

案例呈現(xiàn)

（2019屆蘇州市高三數(shù)學(xué)期初測試題）已知橢圓C： + =1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為 ，點 P1， 為橢圓上一點.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）如圖1，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k ，直線BN的斜率為k ，若k =2k ，求直線l斜率的值.

我校高二期末考了這道題，學(xué)生得分率較低，普遍反映運算量大、難算.但此題又是不可多得的好題，區(qū)分度較高，蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，如方程思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)難得的知識載體.

學(xué)生思路展示及反思

思路1：（1） + =1（過程略）. 對于第（2）問，由于點A、點B已知，學(xué)生的基本思路是：先設(shè)出直線AM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由韋達定理求出M的坐標，同理求出N的坐標，根據(jù)M，C，N三點共線可得出關(guān)于k 或k 的一個等式，進而求出直線MN的斜率.下面是部分學(xué)生的解答過程.

解法1：設(shè)M（x ，y ），N（x ，y ）.設(shè)直線AM的方程為：y=k （x+2），聯(lián)立方程組y=k （x+2）， + =1，消去y得，（4k +3）x2+16k x+16k -12=0，由韋達定理得（-2）·x = ，x = ，y =k （x +2）= ，所以M ， .

設(shè)直線BN的方程為：y= （x-2），聯(lián)立方程組y= （x-2）， + =1，消去y得（k +3）x2-4k x+4k -12=0，由韋達定理得2·x = ，x = ，y = （x -2）= ，所以N ， .

由M，C，N三點共線，得k =k ， = ，化簡得，4k +6k +9k -9=0，學(xué)生就做不下去了.

反思1：解法1的思路比較自然，但其中化簡得出等式4k +6k +9k -9=0的過程運算量非常大，很少有學(xué)生能正確化出.即使化出來了，對這個等式4k +6k +9k -9=0又如何處理呢？一些學(xué)生想到因式分解：（4k -9）+（6k +9k ）=0，（2k +3）（2k -3）+3k （2k +3）=0，（2k +3）（2k +3k -3）=0，所以2k +3k -3=0，解得k = ，再代入k = 算，而代入這一步計算量很大，甚至無結(jié)果. 能否不求出k 呢？由2k +3k -3=0得，2k =3-3k ，代入k = = = = . 再進一步思考，由于是求值問題，要求的k = 表達式中“36k +54k ”與“36-16k ”一定存在倍數(shù)關(guān)系，所以根本不需要因式分解，由4k +6k +9k -9=0得6k +9k =9-4k ，所以k = = = = . 教學(xué)過程中，展示對等式4k +6k +9k -9=0的不同細節(jié)處理，滲透整體代入思想，在對比中碰撞思維，優(yōu)化解題過程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

思路2：解法1由于要求出M，N點坐標，運算量大、易出錯，故想到采用“設(shè)而不求”的方法，直接設(shè)直線MN的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由韋達定理得到x +x 和x x 兩個關(guān)系式. 將條件k =2k 化簡成關(guān)于x +x 和x x 的等式，把x +x 和x x 代入求出直線MN的斜率k.下面是部分學(xué)生的解答過程：

解法2：設(shè)M（x ，y ），N（x ，y ）.設(shè)直線MN的方程為：y=kx+1，聯(lián)立方程組y=kx+1， + =1，消去y得（3+4k2）x2+8kx-8=0，所以x +x =- ，x ·x =- . 因為k =? ，k = ，所以由k =2k ，得 = ，即 = ，（kx +1）（x -2）=2（kx +1）（x +2），化簡得kx x +（2+2k）x +（4k-1）x +6=0，即kx x +（2+2k）（x +x ）+（2k-3）x +6=0，將x +x = - 和x ·x =- 代入上式化簡得， +（2k-3）x =0， +（2k-3）x =0，即（2k-3） +x =0. 所以2k-3=0，k= ，直線l斜率的值為 .

反思2：解法2的困難之處在于：化簡到kx x +（2+2k）x +（4k-1）x +6=0這一步，式子中雖有x x ，但沒有出現(xiàn)x +x ，不能使用韋達定理，下一步該如何處理呢？不少學(xué)生做到這一步就放棄了.解法2就是采用配湊法，局部使用韋達定理得出結(jié)果.事實上，解法2有需要完善的地方，最后一步由（2k-3） +x =0得出2k-3=0存在邏輯漏洞，因為可能會出現(xiàn) +x =0但2k-3≠0這種情況，所以要驗證 +x ≠0. 若 +x =0，即x =- 時，因為k>1，此時（3+4k2）x +8kx -8=（3+4k2）-? +8k- -8= ≠0，則x 不是方程（3+4k2）x +8kx -8=0的解，不滿足題意，所以 +x ≠0. 在解題教學(xué)中，有時需要“檢驗”“驗證”等，不少教師僅僅強調(diào)甚至不強調(diào)“驗證”，至于為什么要“驗證”卻“避而不談”，學(xué)生對此環(huán)節(jié)不理解，有困惑. 為此，教師要放慢教學(xué)節(jié)奏，剖析學(xué)生的思維漏洞，提高學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng). 不妨再舉一例，體會其中要“驗證”的環(huán)節(jié).

例1：如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓 + =1（a>b>0）的右頂點和上頂點分別為點A，B，M為線段AB的中點，且 · =- b2.

（1）求橢圓的離心率;

（2）若a=2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥DC，記直線BC，AD的斜率分別為k ，k ，求證：k k 為定值.

解：（1）e= （過程略）.

（2）直線BC的方程為y=k x+1，聯(lián)立y=k x+1， +y2=1，消去y，得（4k +1）x2+8k x=0，解得x = ，所以C ， ，同理求得D ， . 由AB∥DC得，k =k ， = - ，化簡得（4k k -1）[2（k -k ）-（4k k +1）]=0. 若2（k -k ）-（4k k +1）=0，即4k k =2（k -k ）-1，則 - = =2× =2× =0，此時直線DC的斜率不存在，不符合題意，故2（k -k ）-（4k k +1）≠0. 所以4k k -1=0，即k k = .

反思3：解法2中由k =2k? ，得 = ，即 = ，這一步是根據(jù)點M（x ，y ）和N（x ，y ）在直線MN：y=kx+1上得到的.這也是學(xué)生的一種慣性思維，而點M和N又在橢圓 + =1上，那么能否利用點在橢圓上求解呢？由于橢圓的方程是二元二次方程，將其變形為y2=31- 或x2=41- ，所以要對等式 = 兩邊平方，這樣就有了解法3.

解法3：設(shè)M（x ，y ），N（x ，y ）. 設(shè)直線MN的方程為：y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1， + =1，消去y得，（3+4k2）x2+8kx-8=0，所以x +x =- ，x ·x =- .

因為k = ，k = ，所以由k =2k ，得 = ，則 = . 因為M（x ，y ），N（x ，y ）在橢圓上，所以y =31- ，y =31- . 所以 =? ，化簡得 = ，即3x x +10（x +x ）+12=0，3- +10- +12=0，整理得12k2-20k+3=0，解得k= 或k= . 因為k>1，所以k= .

與解法2比較，解法3運算量較小，具有明顯的優(yōu)勢. 解題過程中要充分重視方程的思想，不僅要利用“點在直線上”，更要利用“點在曲線上”. 不妨再舉一例，體會“點在曲線上”的妙用.

例2：已知斜率為k的直線l經(jīng)過點（-1，0）與拋物線C：y2=2px（p>0，p為常數(shù)）交于不同的兩點M，N，當(dāng)k= 時，弦MN的長為4 .

（1）求拋物線C的標準方程.

（2）過點M的直線交拋物線于另一點Q，且直線MQ經(jīng)過點B（1，-1），判斷直線NQ是否過定點？若過定點，求出該點坐標;若不過定點，請說明理由.

解：（1）拋物線C：y2=4x（過程略）.

（2）設(shè)M（t2，2t），N（t ，2t ），Q（t ，2t ），k = = ，所以直線MN的方程為y-2t= （x-t2），即2x-（t+t ）y+2tt =0. 同理可求得，直線MQ的方程為2x-（t+t ）y+2tt =0;直線NQ的方程為2x-（t +t ）y+2t t =0.

由點（-1，0）在直線MN上，得tt =1，即t= ①.

由點（1，-1）在直線MQ上，得2+（t+t ）+2tt =0，將①式代入得2+ +t + =0，即t t =-2（t +t ）-1②.

將②式代入直線NQ的方程，得2x-（t +t ）（4+y）-2=0.當(dāng)y=-4時，x=1，所以直線NQ過定點（1，-4）.

思路3：從圖形中發(fā)現(xiàn)，直線AM，BN與橢圓的交點也是直線MN，x軸與橢圓的交點，將兩條直線AM和BN的方程寫成一個二元二次方程，將此方程與橢圓方程聯(lián)立得到直線MN的方程，求出直線MN的斜率，于是得到解法4.

解法4：由題意得，直線AM的方程為y=k （x+2），即k （x+2）-y=0①，直線BN的方程為y=k （x-2），即k （x-2）-y=0②，①×②得，k k （x2-4）-y[（k +k ）x+2（k -k ）]+y2=0③，將x2=41- 及k =2k 代入③，化簡得y[（3-8k ）y-9k x-6k ]=0. 所以y=0為直線AB（x軸）的方程，（3-8k ）y-9k x-6k =0即為直線MN的方程. 因為直線MN過點C（0，1），則有3-8k -6k =0，即3-8k =6k . 此時直線MN的斜率k= = = .

反思4：聯(lián)想雙曲線 - =1的兩條漸近線方程 ± =0，可以表示為 +? - =0，即 - =0. 我們將兩條直線的一般式方程相乘得到關(guān)于x，y的二次方程，可以看成是一個曲線的方程，這樣就轉(zhuǎn)化成兩個曲線相交問題，再將橢圓標準方程變形x2=a21- 或y2=b21- 后代入上述曲線的方程，消去x2或y2項，并進行因式分解得到所要求的直線方程，達到簡化運算的目標.

幾點思考

1. 反思關(guān)鍵點，突破難點，積累基本活動經(jīng)驗.對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗通常是指在教學(xué)目標的指引下，經(jīng)歷了實際操作、直觀想象、抽象概況、邏輯推理等數(shù)學(xué)活動之后，所獲得的對于數(shù)學(xué)的體驗和認知. 它可以是使人受益終生的深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法，甚至經(jīng)歷的挫折等;也可以是從整體意義上對數(shù)學(xué)活動的領(lǐng)悟……解題經(jīng)歷是學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗的主要途徑，通過對“4k +6k +9k -9=0”“（2k-3） +x =0”“ = ”等關(guān)鍵點、困惑點的處理，幫助學(xué)生按照自己的想法走下去，而不是遇到困難“另起爐灶”，在反思頓悟中積累成功的解題經(jīng)驗，有助于學(xué)生碰到類似的問題，順利突破難點.

2. 比較思路，優(yōu)化解法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 解析幾何是高考重點考查內(nèi)容之一，對學(xué)生來說是成績好壞的“分水嶺”，對教師來說，是要使出渾身解數(shù)的地方. 盡管師生高度重視，但實際效果并不理想，其中一個重要原因是學(xué)生拿到題就迫不及待地開始算，“只顧埋頭拉車”的結(jié)果往往是“出師未捷身先死”.有了初步方案，最好慢一點，要有“思在算前”的意識，對方案進行預(yù)判，預(yù)估可能的困難，再對方案及時修正、優(yōu)化.思路1是常規(guī)思路，要聯(lián)立兩次，M，N的表達式已經(jīng)夠復(fù)雜了，再做下去會更繁，風(fēng)險太大，首先不考慮. 思路2是典型的設(shè)而不求，解法2中代數(shù)結(jié)構(gòu)不對稱，采用配湊法、局部使用韋達定理，解法3對解法2進行優(yōu)化，先利用橢圓方程化簡處理，簡化了運算. 思路3是聯(lián)想雙曲線的漸近線而產(chǎn)生的奇思妙想，是一種創(chuàng)新思維，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維具有重要意義.在實際教學(xué)中，教師要充分展示學(xué)生的各種解題思路，引領(lǐng)指導(dǎo)學(xué)生對不同思路進行差異分析，在對比中明晰每種思路的優(yōu)點和不足，優(yōu)化解題思路，提煉一類問題的最優(yōu)解法，使數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)在習(xí)題教學(xué)中落地生根.