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        論出射光線與入射光線平行的充要條件
        ——對(duì)2020年7月浙江省物理高考第13題的嚴(yán)格論證

        2021-06-07 09:06:52閆二斌景銀安王偉民郝晨凱
        物理教師 2021年5期
        關(guān)鍵詞:玻璃磚折射角法線

        閆二斌 景銀安 楊 洋 王偉民 郝晨凱

        (1.宜川縣中學(xué),陜西 延安 716200;2.太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽 卓陽 236652;3.阿房路三校,陜西 西安 710016)

        例題.(單選)如圖1所示,圓心為O、半徑為R的半圓形玻璃磚置于水平桌面上,光線從P點(diǎn)垂直界面入射后,恰好在玻璃磚的圓形表面發(fā)生全反射;當(dāng)入射角θ=60°時(shí),光線從玻璃磚圓形表面出射后恰好與入射光線平行.已知真空中的光速為c,則

        圖1

        1 試題剖析

        此題考查全反射、折射定律、平行玻璃磚、折射率、光在介質(zhì)中的傳播速度、臨界角等知識(shí),以及數(shù)學(xué)能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,難度較大.

        解答此題時(shí),首先不難畫出垂直入射時(shí)的光路圖,如圖2所示.設(shè)玻璃磚的折射率為n,在圓形界面恰好發(fā)生全反射時(shí)的入射角為C,則根據(jù)折射定律有

        圖2

        而入射角θ=60°時(shí)的光路圖不好畫,因?yàn)殡y以找到光在玻璃磚中的出射點(diǎn).這也是此題最難突破的地方.但是如果根據(jù)已知“出射光線與入射光線平行”并且想到“光入射平行玻璃磚時(shí),出射光線與入射光線平行”,再加上圓的簡單幾何性質(zhì),則容易判斷出此時(shí)的出射點(diǎn)就是半圓玻璃磚的頂點(diǎn),因?yàn)榘雸A頂點(diǎn)處的切線與OP平行,相當(dāng)于“平行玻璃磚”.此時(shí)的光路圖如圖3所示.設(shè)在P點(diǎn)折射時(shí)的折射角為θ2,則易知在頂點(diǎn)折射時(shí)的入射角也為θ2,則有

        圖3

        回看上述解答過程,部分心細(xì)的學(xué)生可能會(huì)在好奇心的驅(qū)使下心存疑慮:如果第2次光不是從玻璃磚的頂點(diǎn)射出,則出射光線有沒有可能也會(huì)平行于入射光線?如何來論證這個(gè)問題?此時(shí)有兩種情況,出射點(diǎn)偏左如圖4所示和出射點(diǎn)偏右如圖5所示.對(duì)于圖4中的情形,根據(jù)圓周角和三角形外角的知識(shí)(如圖6所示),易知θ3<θ2,則此時(shí)出射光會(huì)更加靠近法線,但是相比于從頂點(diǎn)出射,法線向左偏轉(zhuǎn)了,所以不能排除出射光與入射光平行的情況.同理,對(duì)于圖5中的情形,也不能排除出射光與入射光平行的情況.這些困難是由于光進(jìn)入玻璃磚第二次折射時(shí)的入射角、法線、折射角都在變化,而且圓中的幾何比較復(fù)雜造成的.如果能夠從中提煉出“光射入非平行玻璃磚時(shí),出射光線與入射光線一定不平行”或者說“當(dāng)且僅當(dāng),光射入平行玻璃磚時(shí),出射光線才平行于入射光線”的論斷,然后再證明這個(gè)論斷,問題就會(huì)變得明朗起來.

        圖4

        圖5

        圖6

        圖7

        2 充要性論證

        根據(jù)上面的分析,我們已經(jīng)將問題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到尋求出射光線與入射光線平行的充要條件上來.易知,若光入射平行玻璃磚,則一定有出射光線與入射光線平行(證明略),如圖8所示.而若光入射某玻璃磚,發(fā)現(xiàn)出射光線與入射光線平行,則這個(gè)玻璃磚一定是平行玻璃磚嗎?答案是肯定的,證明如下.

        圖8

        方法1.采用反證法.如圖9,光入射某玻璃磚(界面不平行),且出射光線與入射光線平行,設(shè)玻璃磚的折射率為n,第一次折射時(shí)的入射角為θ1,折射角為θ2,第2次折射時(shí)的入射角為θ3,折射角為θ4,則根據(jù)折射定律,有

        圖9

        再過第2次折射點(diǎn),做第1次折射時(shí)的法線的平行線,設(shè)第1次折射時(shí)的法線與第2次折射時(shí)的法線的夾角為α,如圖10所示.則根據(jù)平行關(guān)系,易知

        圖10

        將(5)式代入(4)式,有

        圖11

        方法2.如圖12所示,設(shè)光線第一次折射時(shí)順時(shí)針偏轉(zhuǎn)α1,第2次折射時(shí)逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)α2,則易知出射光線平行于入射光線的充要條件是α1=α2.做出法線,設(shè)此時(shí)出射光線平行于入射光線,α1=α2=α,且設(shè)出各角如圖13所示.則由折射定律可得

        圖12

        圖13

        應(yīng)用兩角和公式對(duì)(7)式進(jìn)行化簡,可得tanθ1=tanθ2,即θ1=θ2,而這便意味著兩次折射的法線平行,即為平行玻璃磚.即命題得證.

        方法3.想象實(shí)驗(yàn)法.如圖14,光射入平行玻璃磚,出射光線與入射光線平行,現(xiàn)在假設(shè)通過一種實(shí)驗(yàn)操作將玻璃磚的上界面改變到圖14中虛線的位置,則易知出射光線的方向一定會(huì)改變,因?yàn)榘l(fā)生第2次折射前的光路沒有任何變化,玻璃的折射率沒有變,而玻璃磚的上界面發(fā)生了變化,所以出射光線的方向一定會(huì)發(fā)生變化,而之前其與入射光線平行,變化之后則一定不平行,所以不平行玻璃磚的出射光線與入射光線一定不平行,命題得證.

        圖14

        綜上所述,根據(jù)所證明的“光入射玻璃磚時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)出射界面與入射界面平行時(shí),出射光線才平行于入射光線”,不難得知光線必須從圓形玻璃磚的頂點(diǎn)出射,才能滿足題意.

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