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        一題多解探驪高中物系相關(guān)速度分析

        2021-06-07 09:06:56孫朝暉
        物理教師 2021年5期
        關(guān)鍵詞:方法

        孫朝暉

        (寧波市北侖中學(xué),浙江 寧波 315800)

        例題.木棒A端靠在豎直墻壁上,B端在水平地面上,當(dāng)木棒A端沿墻壁自有下滑至棒與水平面成θ角瞬間,如圖1所示,求A、B兩端速率之比vA∶vB.

        圖1

        答案:vA∶vB=cotθ.

        國內(nèi)外中學(xué)物理競賽中多見求解物系相關(guān)速度,或解題的“瓶頸”卡在物系相關(guān)速度的試題.這類問題往往敘述簡潔而條件隱蔽,情景相像而方法各異,使解題者思路混亂,無從下手.對于上述這道典型的物系相關(guān)速度問題,通過對該題進(jìn)行一題多解,能對剛體物系相關(guān)速度有深刻認(rèn)識;同時加深對下述7種解法思路的理解,在碰上其他涉及物系相關(guān)速度的問題時,靈活選取合適的方法往往能事半功倍.

        方法1:速度分解法.

        充分利用物系相關(guān)速度之間的關(guān)系簡捷求解.對于本題,如下結(jié)論很有用:剛性桿、繩上個點(diǎn)在同一時刻具有相同的沿桿、繩方向的分速度.因此,就本題而言,A、B兩點(diǎn)在沿棒方向上具有相同的速率,即vAsinθ=vBcosθ(速度分解前后大小如圖2所示),從而化簡可得vA∶vB=cotθ.

        圖2

        方法2:速度 位移轉(zhuǎn)化法.

        極短且相同的時間內(nèi),物體的末速度為瞬時速度,可用極短時間內(nèi)的平均速度代替瞬時速度.而運(yùn)動時間相同,故物體的位移比等于速度比.如圖3,木棒在極短時間Δt內(nèi),上端由A點(diǎn)滑落到A′點(diǎn),下端由B點(diǎn)滑落到B′點(diǎn).由幾何關(guān)系,木棒長度不變AB=A′B′,極短時間對應(yīng)Δθ→0.過A′作A′A″⊥AB 交于A″,過B作BB″⊥A′B′交于B″.

        圖3

        AB=AA″+A″O′+O′B=AA′sinθ+A′O′cosΔθ+O′B;

        而AB=A′B′=A′O′+O′B″+B″B′=A′O′+O′B cos Δθ+BB′cos(θ-Δθ).極短時間對應(yīng)Δθ→0,故cosΔθ=1,cos(θ-Δθ)=cosθ.可得AA′sinθ=BB′cos(θ-Δθ)=BB′cosθ,從而vAΔt sinθ=vBΔt cosθ,最終解得vA∶vB=cotθ.

        方法3:平動-轉(zhuǎn)動復(fù)合法.

        剛體運(yùn)動具有這樣的特征:剛體各質(zhì)點(diǎn)自身轉(zhuǎn)動角速度總相同且與基點(diǎn)的選擇無關(guān).因此木棒A點(diǎn)的運(yùn)動可看做水平向右速度為vB的平動和點(diǎn)A繞點(diǎn)B的逆時針轉(zhuǎn)動(角速度為ωA=ω)的復(fù)合;木棒B點(diǎn)亦可同樣處理(圖4).由A點(diǎn)合速度vA和分速度ωL和vB的關(guān)系可知:vA=ωL sinθ,vB=ωL cosθ,從而得到vA∶vB=cotθ.

        圖4

        方法4:瞬心法.

        一個剛體做平面運(yùn)動時,有且只有一個點(diǎn)是瞬時靜止不動的,這一點(diǎn)稱為瞬心(瞬時轉(zhuǎn)動中心),木棒上所有點(diǎn)關(guān)于瞬心作圓周運(yùn)動的角速度都相等.因此瞬心必定在各點(diǎn)速度矢量的垂線上,且各點(diǎn)的速度大小與其距離成正比.由此很容易確定瞬心的位置,同時利用瞬心知識來解題有時候特別方便.

        如圖5所示,過點(diǎn)A、B分別作速度v A和v B方向的垂線,兩垂線交于點(diǎn)C,則可證明C為木棒沿墻壁下滑的瞬心.此時木棒上的點(diǎn)A、B均繞C作圓周運(yùn)動,兩者角速度相等,記為ω.也可認(rèn)為該時刻三角形ABC繞點(diǎn)C逆時針做角速度為ω的圓周運(yùn)動.于是,v A=ωAC,v B=ωBC,而BC/AC=tan∠CAB=tanθ,最終可解得v A∶v B=cotθ.

        圖5

        方法5:微分法.

        如圖6所示,設(shè)AO=y,BO=x,則x2+y2=L2,y/L=sinθ.以下通過對x、y對時間的微分將路程轉(zhuǎn)化為速率.

        圖6

        微分法變形AO=y=Lsinθ,BO=x=Lcosθ.以下通過對Lsinθ、Lcosθ對時間的微分將路程轉(zhuǎn)化為速率.

        方法6:三角函數(shù)轉(zhuǎn)化法.

        如圖7,木棒在極短時間Δt內(nèi),上端由A點(diǎn)滑落到A′點(diǎn),下端由B點(diǎn)滑落到B′點(diǎn).用極短時間Δt內(nèi)在AA′和BB′的平均速度分別代替點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的瞬時速度,可得

        圖7

        方法7:幾何特征法.

        當(dāng)木棒沿墻壁自由下滑,由直角三角形斜邊上的中線長度是斜邊的一半可知:木棒中心的軌跡是一段圓?。ㄟ@是木棒運(yùn)動的幾何特征).以O(shè)為圓心,L/2為半徑畫圓,交AB于O1,交A′B′于O2,則O1為木棒在AB位置的中心,O1Y1⊥AO交于Y1,O2Y2⊥AO交于Y2,O1X1⊥BO交于X1,O2X2⊥BO交于X2,O1X1⊥O2Y2交于O3,如圖8所示.

        圖8

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