彭定輝
(江西省南豐縣第一中學(xué),江西 撫州 344500)
“獵犬追上狐貍的時間”問題是一道經(jīng)典的中學(xué)物理競賽題,不僅可以用微元法或微積分方法求解,還可用MATLAB等專業(yè)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬分析.[1-3]本文將另辟蹊徑,用假想虛力做功的新方法來求解獵犬追上狐貍的時間.現(xiàn)將原題陳述如下:
例題.有一只狐貍以不變的速率v沿直線AB奔跑,獵犬以不變的速率u追擊,其運動方向始終對準(zhǔn)狐貍.如圖1所示,某時刻狐貍在F處,獵犬在D處,F(xiàn)D⊥AB,且FD=L,設(shè)u>v,問獵犬追上狐貍需多長時間?
圖1
圖1 題目圖片
為簡化問題,選擇狐貍為參考系,并借助矢量描述獵犬的運動情況.如圖2所示,可知在運動過程中獵犬除了有始終指向狐貍的分速度u,還有相對狐貍由B指向A的分速度 ,即獵犬合運動的速度為u+.
圖2 獵犬相對狐貍運動的兩個分速度圖
假設(shè)獵犬在運動中受到某個虛構(gòu)的作用力——虛力δf,若此虛力做功的功率恒定,且又能知道其做功的大小,則無需計算獵犬的具體位置變化,可直接用公式W=Pt求時間.
由于獵犬的速度為u+ ,故構(gòu)造一個虛力
其中k為比例常量,則其做功功率為定值,即
如圖3所示,該虛力由兩個分虛力δf1=k u和δf2=-k組成.其中分虛力δf1與分速度u成正比,為一大小恒定的有心力,其方向始終沿矢徑指向F點,力場如圖4中實線所示.易知此力做功與路徑無關(guān),僅與徑向位移有關(guān).[4]因此在獵犬從D運動到F的全過程中,分虛力δf1做功為
圖3 獵犬所受虛力圖
另一分虛力δf2與分速度 成正比,為水平向右的恒力,力場如圖4中虛線所示.由于獵犬運動的總位移DF與該分力垂直,故分虛力δf2做功為0,即
圖4 兩個分虛力力場的分布圖
因此虛力δf做的總功為
獵犬追上狐貍的時間為
這個解與其他方法計算的結(jié)果是一致的.
結(jié)束語:與微元法、微積分方法等相比,這種假想虛力做功的方法直接避開了對獵犬運動的細(xì)節(jié)處理,計算過程十分簡潔.它作為“獵犬追上狐貍時間”問題的一種補充解法,對此類物理問題的視角選擇和模型構(gòu)建有一定的參考價值.