胡文麗，梁 林，包 弘

（楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南楚雄675000）

雙曲螺線的副法線曲面的相關(guān)性質(zhì)研究*

胡文麗，梁 林*，包 弘

（楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南楚雄675000）

本文以雙曲螺線生成的曲面為研究對(duì)象，討論了三維歐氏空間中雙曲螺線的副法線曲面的幾何性質(zhì)，獲得了雙曲螺線的副法線曲面的漸近曲線、曲率線、法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率、常高斯曲率曲線、極小軌跡等，并給出了簡單應(yīng)用。

雙曲螺線；副法線曲面；第一基本形式；第二基本形式；主曲率

微分幾何是以數(shù)學(xué)分析的方法為基礎(chǔ)來研究曲線、曲面的學(xué)科，主要討論曲線或曲面上某一點(diǎn)鄰域的幾何性質(zhì)。副法線曲面的性質(zhì)是近年來新的研究熱點(diǎn)［1-3］.袁媛、劉會(huì)立在文［2］中討論了特殊曲線的副法線曲面以及由此特殊性而得到的相關(guān)結(jié)論。受此啟發(fā)，本文討論了雙曲螺線的副法線曲面，給出了雙曲螺線的副法線曲面的相關(guān)幾何性質(zhì).

1.預(yù)備知識(shí)

副法線曲面是由曲線r→（t）的副法線生成的直紋面.設(shè)γ→（t）為曲線r→（t）上任意一點(diǎn)P的副法向量，則曲線r→（t）的副法線曲面∑為

相應(yīng)地，曲面r→＝r→（u，v）的第一基本形式、單位法向量、第二基本形式分別為

2.主要結(jié)論

定理1 雙曲螺線r→（t）＝｛a cosh t，a sinh t，at｝，a＞0的副法線曲面的微分方程為

證明 由r→（t）＝｛a cosh t，a sinh t，at｝得

r→′＝｛a sinh t，a cosh t，a｝，r→″＝｛a cosh t，a sinh t，0｝，r→′×r→″＝｛-a2sinh t，a2cosh t，-a2｝，

證明 由r→（t）＝｛a cosh t，a sinh t，at｝得

定理3 雙曲螺線的副法線曲面的第一基本形式為

定理4 雙曲螺線的副法線曲面的第二基本形式為

證明 由

定理5 雙曲螺線的副法線曲面的漸近曲線的方程為

證明 雙曲螺線的副法線曲面的漸近曲線為

定理6 雙曲螺線的副法線曲面的曲率線的微分方程為

證明 雙曲螺線的副法線曲面的曲率線所滿足的微分方程為

定理7 雙曲螺線的副法線曲面的法曲率為

定理8 雙曲螺線的副法線曲面的主曲率為

證明 由主曲率的計(jì)算公式有

記曲面的主曲率為k1和k2，由求根公式即得.

定理9 雙曲螺線的副法線曲面的高斯曲率為

證明 雙曲螺線的副法線曲面的高斯曲率K＝k1k2，由定理8和韋達(dá)定理即得結(jié)論。

定理10 雙曲螺線的副法線曲面的平均曲率為

定理11 雙曲螺線的副法線曲面的常高斯曲率曲線為

證明 設(shè)高斯曲率K＝-b2，由定理9有

定理12 雙曲螺線的副法線曲面的極小軌跡為

［1］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.高等教育出版社，2008.

［2］袁媛，劉會(huì)立.空間曲線的副法線曲面［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33（10）：1517—1520.

［3］崔風(fēng)午.雙曲螺線在一點(diǎn)的鄰近結(jié)構(gòu)［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，28（3）：1—5.

（責(zé)任編輯 李艷梅）

Binormal Surface Hyperbolic Spiral

HU Wenli，LIANG Lin＆BAO Hong
（School of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong，675000，Yunnan Province）

The hyperbolic spiral as the background，surface generation as the research object，discusses the geometric properties of the Euclidean space of hyperbolic spiral binormal surface.The hyperbolic spiral binormal surface asymptotic curves，lines of curvature，curvature method，principal curvature，Gaussian curvature，mean curvature，constant Gaussian curvature，minimal path，and gives a simple application.

Hyperbolic spiral；binormal surface；First basic form；Second basic form；principal curvature

O186.1

A

1671-7406（2015）09-0009-04

2015-07-10

梁 林（1967—），男，教授，研究方向：微分幾何。