范艷華

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)測(cè)試是對(duì)學(xué)生六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)綜合性測(cè)試，作為畢業(yè)測(cè)試卷的命題人員，既要關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，也要關(guān)注學(xué)生對(duì)于基本數(shù)學(xué)思想的習(xí)得情況。同時(shí)，一份好的數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，應(yīng)該具有明確的思維導(dǎo)向，給小學(xué)數(shù)學(xué)教師平時(shí)的教學(xué)提供關(guān)于學(xué)生思維培養(yǎng)的目標(biāo)指引。筆者從教研員的視角，選取了小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試題中一些較為典型的題例，給出有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)命題中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面的導(dǎo)向的一些建議。

【關(guān)鍵詞】畢業(yè)測(cè)試 推理 變與不變 動(dòng)態(tài)思維 導(dǎo)向

小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)測(cè)試是對(duì)學(xué)生六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)綜合性測(cè)試，通過(guò)測(cè)試可以讓學(xué)生評(píng)價(jià)自身在六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是否能獨(dú)立、綜合地運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)深入分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。通過(guò)檢測(cè)可以讓教師看到作為教者在自身的六年教學(xué)中給學(xué)生留下了什么，是否真正促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。因此，作為畢業(yè)測(cè)試卷的命題人員，既要關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，也要關(guān)注學(xué)生對(duì)于基本數(shù)學(xué)思想的習(xí)得情況。一份好的數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，應(yīng)該具有明確的思維導(dǎo)向，給小學(xué)數(shù)學(xué)教師平時(shí)的教學(xué)提供關(guān)于學(xué)生思維培養(yǎng)的目標(biāo)指引。筆者從教研員的視角，選取了近幾年所在區(qū)域蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試題中一些較為典型的綜合性較強(qiáng)的題例，分析其在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面的導(dǎo)向作用。

一、由此及彼，學(xué)會(huì)推理

推理一般分為演繹推理與合情推理，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的推理是合情推理，演繹推理可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際思維水平進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透，因?yàn)楫?dāng)學(xué)生升入初中以后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將以演繹推理為主。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是合情推理還是演繹推理，都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷中可以適當(dāng)設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)單的推理題，讓學(xué)生調(diào)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理，但是對(duì)學(xué)生推理過(guò)程的表述則不作要求。

例1：（如圖1）從一張等腰梯形紙的一個(gè)角上，沿梯形的一條高折去一個(gè)三角形。已知梯形高3cm，下底長(zhǎng)10cm，陰影部分的面積是（ ）cm2，原梯形的面積是（ ）cm2。

例1中，一個(gè)等腰梯形的底角是45，當(dāng)梯形的一個(gè)底角沿著高向內(nèi)翻折，由三角形的內(nèi)角和知識(shí)，得出折角的陰影部分為一個(gè)等腰直角三角形，從而推理得出這個(gè)等腰三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度等于梯形的高3cm。進(jìn)而推理得出陰影部分三角形的面積為3×3÷2=4.5（cm2），原梯形的面積為陰影部分面積的2倍加上空白部分平行四邊形的面積：4.5×2+（10-6）×3=21（cm2）;或者通過(guò)邊與邊之間的關(guān)系推理得出梯形的上底為4cm，因此梯形的面積為：（4+10）×3÷2=21（cm2）。

這道題給學(xué)生帶來(lái)的思維導(dǎo)向是：要抓住題中已知的關(guān)鍵信息，分析其與所求問(wèn)題之間的關(guān)系。特別是根據(jù)題中等腰梯形底角為45°推理出陰影部分是個(gè)等腰直角三角形。這一步是推理出陰影部分面積和原梯形面積的關(guān)鍵思維點(diǎn)。同時(shí)，這道題給教師平時(shí)教學(xué)帶來(lái)的思維導(dǎo)向是：教師可以經(jīng)常在數(shù)學(xué)問(wèn)題中設(shè)置一些間接條件，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“順藤摸瓜”、由此及彼的簡(jiǎn)單推理，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力。

二、緊扣本質(zhì)，在“變”中尋求“不變”

“變與不變”是一種重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中已知信息可以順著一定的線(xiàn)索進(jìn)行變化，如果只看到題中“變化”的量而找不到“不變”的量，常常會(huì)找不到解決問(wèn)題的突破口。因此抓住數(shù)學(xué)信息中的不變量進(jìn)行分析，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思考方法。

例2：沙漏也叫做沙鐘，是古時(shí)候一種計(jì)量時(shí)間的裝置?？梢愿鶕?jù)所計(jì)時(shí)間的長(zhǎng)短設(shè)定不同的計(jì)時(shí)沙漏?，F(xiàn)將一沙漏倒置，過(guò)了幾分鐘發(fā)現(xiàn)漏下的占未漏下的[18]，又過(guò)了13分鐘后，漏下的占未漏下的[23]，請(qǐng)問(wèn)：這是一個(gè)（ ）分鐘沙漏。

例2中，已知信息是沙漏在不同的時(shí)間漏下的占未漏下量的分率，以及涉及時(shí)間的“又過(guò)了13分鐘”這個(gè)信息。而就這些信息表面很難推理出這是一個(gè)幾分鐘沙漏，必須找到這兩個(gè)分率與“13分鐘”的關(guān)系。通過(guò)分析，可以知道：雖然沙子不停地往下漏，但是“沙漏中上下兩部分沙子的總量”是不變的，這就找到了解決問(wèn)題的突破口。由第一時(shí)段“漏下的占未漏下的[18]”可推理出，漏下的占沙子總量的[19]，由“又過(guò)了13分鐘后，漏下的占未漏下的[23]”可推理出，13分鐘后，漏下的占沙子總量的[25]。這樣就可以通過(guò)兩個(gè)時(shí)段漏下沙子的差占總數(shù)的“[25] - [19]=[1345]”，得出這是一個(gè)45分鐘的沙漏。

例2的命題者根據(jù)沙漏的特點(diǎn)，即容器上下兩部分加起來(lái)的沙子總數(shù)是不變的，再結(jié)合分?jǐn)?shù)實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)了這道題。這道題給平時(shí)的教學(xué)帶來(lái)的思維導(dǎo)向是：教師要善于設(shè)計(jì)變化的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，并且在“變化”中蘊(yùn)設(shè)一個(gè)“不變”的量，讓學(xué)生在變化中尋找出“不變”的量，分析和建立數(shù)量間的相等關(guān)系，找到解決問(wèn)題的“突破口”和”“巧妙路徑”，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)于“變與不變”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

三、沖破定式，打開(kāi)新的思維路徑

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有時(shí)由于知識(shí)應(yīng)用的單一性，常常會(huì)形成一些思維定式。即當(dāng)條件的呈現(xiàn)方式發(fā)生變化時(shí)，不會(huì)變通思考，在固有的思維圈子里不知所從。如關(guān)于如何求圓的面積，學(xué)生固有的思維是：要求圓的面積，必須知道圓的半徑，然后用S=πr2求出圓的面積。然而對(duì)于已知r2的題，學(xué)生則不會(huì)變通，鉆在固有的思維里走不出來(lái)。

例3：（如圖2）已知正方形的面積是16平方厘米，求圓的面積。因?yàn)?6這個(gè)平方數(shù)學(xué)生會(huì)用湊數(shù)的方法進(jìn)行開(kāi)方，得到圓的半徑是4厘米，所以圓的面積可以求出。但是，如果換成正方形的面積是8平方厘米，那多數(shù)學(xué)生就會(huì)覺(jué)得無(wú)所適從，因?yàn)闆](méi)法得到圓的半徑。在這里學(xué)生往往不會(huì)直接根據(jù)r2求出圓的面積來(lái)。

例4：（如圖3）已知圓的面積是64平方厘米，求圓的面積。學(xué)生如果沒(méi)有打破思維定式，即如果已知半徑的平方（即以圓的半徑為邊長(zhǎng)構(gòu)成的正方形的面積），就能直接求出圓的面積，那么這道題更加讓學(xué)生無(wú)所適從。如果學(xué)生打破了這個(gè)思維定式，那就會(huì)想辦法去構(gòu)造以半徑為邊長(zhǎng)的正方形，就會(huì)想到把這個(gè)正方形以它的內(nèi)切圓圓心為中心點(diǎn)平分為四個(gè)小正方形（如圖4），每個(gè)正方形的面積為：64÷4=16（平方厘米），即r2=16，從而得到圓的面積為16π平方厘米。

上面的例3、例4中，之所以學(xué)生走不出固有的思維定式，要求圓的面積，必須要知道圓的半徑，究其原因其實(shí)也是教師在平時(shí)教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)一直是按照這個(gè)方法引導(dǎo)的，并且在所涉及這部分內(nèi)容的練習(xí)中也沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)已知r2求圓的面積的變式題。

因此，這道題給教師平時(shí)教學(xué)帶來(lái)的思維導(dǎo)向是：要善于進(jìn)行變式，防止學(xué)生形成僵化的思維定式。同時(shí)教師在教學(xué)中要善于打通知識(shí)的界限，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的眼光分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如例3、例4兩題中，就是引導(dǎo)學(xué)生將正方形和圓聯(lián)系起來(lái)，找出圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而靈活地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

四、滲透動(dòng)態(tài)思維，在“動(dòng)”中尋找規(guī)律

在小學(xué)六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了圖形的變換初步知識(shí)中關(guān)于圖形的軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)平移的內(nèi)容，其他一般都是對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下的數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維，很少涉及對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維。但是學(xué)生一旦升入初中，在平面幾何與函數(shù)的領(lǐng)域，特別是在一些綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題里，經(jīng)常要用到動(dòng)態(tài)思維。因此，在小學(xué)里適當(dāng)滲透一些運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維是非常有必要的，一方面為中學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，另一方面也讓學(xué)生嘗試在動(dòng)中尋找規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

例5：（如圖5）直線(xiàn)l1和l2互相平行，三角形ABC的面積是6cm2。（1）如果A點(diǎn)沿直線(xiàn)l1向右移動(dòng)到A1處，C點(diǎn)沿直線(xiàn)l2向右移動(dòng)到C1處，三角形A1BC1的面積是9cm2，這時(shí)線(xiàn)段BC1∶線(xiàn)段BC=（ ）∶（? ? ）;

（2）如果A點(diǎn)繼續(xù)沿直線(xiàn)l1向右移動(dòng)到A2處，C點(diǎn)沿直線(xiàn)l2向右移動(dòng)到C2處，這時(shí)線(xiàn)段BC2∶線(xiàn)段BC=4∶1，那么三角形A2BC2的面積是多少平方厘米？

例5這道題之所以用動(dòng)點(diǎn)的形式呈現(xiàn)，主要是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)用動(dòng)態(tài)的視角和思維來(lái)觀(guān)察、思考題目，找出題目中所蘊(yùn)含的規(guī)律：因?yàn)槠叫芯€(xiàn)之間的距離處處相等，所以像這樣無(wú)論點(diǎn)A和點(diǎn)B向右或者向左移動(dòng)到哪里，在這個(gè)移動(dòng)的過(guò)程中AC點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與B點(diǎn)所形成的三角形的高始終是不變的，移動(dòng)后所形成的三角形與原三角形的面積比就是它們的底邊之比。由于問(wèn)題呈現(xiàn)方式的改變，看似是一個(gè)涉及“動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題，但是對(duì)于小學(xué)六年級(jí)的學(xué)生而言卻完全可以“夠得著”。重要的是這樣的題目讓學(xué)生的視域得到了拓展，也使其思維得到了提升。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)測(cè)試雖然不是選拔性的考試，但是一份好的小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，可以讓學(xué)生對(duì)自己在分析問(wèn)題時(shí)的思維方式、習(xí)得的數(shù)學(xué)思想有一個(gè)提煉、應(yīng)用的過(guò)程。同時(shí)，對(duì)于教師而言，一份好的數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，通過(guò)分析試題內(nèi)容以及學(xué)生的答卷情況，定將會(huì)對(duì)自己之前的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行深入的反思，也會(huì)給未來(lái)的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)更加合理的思維導(dǎo)向。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)教師發(fā)展中心）