陶然

【摘要】本文以一道中考題為例，在幾何解題教學(xué)中嘗試讓學(xué)生自己畫(huà)出解題所需要的圖形，學(xué)生在重新構(gòu)圖的過(guò)程中理解條件與結(jié)論的內(nèi)在邏輯關(guān)系，利用構(gòu)圖的先后順序找到推理的因果關(guān)系，作圖與推理同步進(jìn)行，不同的作圖順序?qū)?yīng)不同的解題思路.在這個(gè)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);幾何解題教學(xué);圖形作用

對(duì)于中考的較難題，南京市教研室提倡“一題一課”，即在初三的二輪復(fù)習(xí)中，用一節(jié)課的時(shí)間來(lái)解決一道題.本文則是作者以2018年南京中考第26題為例設(shè)計(jì)的一節(jié)復(fù)習(xí)課.主要探討了在幾何證明中，利用圖形重構(gòu)的方法（學(xué)生自己依據(jù)題目條件重新畫(huà)圖）探索幾何證明題的解題思路.

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

一、呈現(xiàn)題目

圖1如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，F(xiàn)，與AD相交于點(diǎn)G.

（1）求證△AFG∽△DFC;

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=1，求⊙O的半徑.

二、圖形的重構(gòu)

問(wèn)題1：你能否準(zhǔn)確地畫(huà)出該圖形？

追問(wèn)1：你畫(huà)圖的順序是什么？（先畫(huà)什么，再畫(huà)什么）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立的思考，能夠畫(huà)出下圖（圖2），即先畫(huà)出正方形ABCD，確定點(diǎn)E的位置，連接DE，過(guò)A作AF⊥ DE于F，從而確定點(diǎn)F的位置，連接CF.

追問(wèn)2：如何確定圓心O的位置？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生很容易回答出⊙O過(guò)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)，是△CDF的外接圓，要確定圓心O的位置，在線段CD，DF，F(xiàn)C中任選兩條作垂直平分線的交點(diǎn)即可（圖3）.

圖2 圖3 圖4

追問(wèn)3：（如圖4）點(diǎn)G是如何確定的？

設(shè)計(jì)意圖：G是⊙O與AD的交點(diǎn)，是由⊙O所確定的，這樣，△AFG的形狀也取決于⊙O，這個(gè)問(wèn)題能引導(dǎo)學(xué)生在思考△AFG∽△DFC時(shí)，考慮⊙O帶來(lái)的相關(guān)條件.

分析與解：從圖形上看，∠FAG與∠FDC均為從直角中“減掉”一個(gè)小角，故考慮證明它們相等.∠FCD是⊙O的圓周角，而∠AGF是⊙O的圓周角∠FGD的補(bǔ)角，應(yīng)建立它們之間的聯(lián)系.我們知道，兩組角相等可證相似，從而解決這個(gè)問(wèn)題.

解題反思：在解決第（1）小題的時(shí)候，從構(gòu)圖上看，我們先構(gòu)造出正方形，接著確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，然后過(guò)C，D，F(xiàn)確定⊙O，最后確定點(diǎn)G.從證明的思路上看，我們?cè)谇笞C△AFG∽△DFC的過(guò)程中，一定會(huì)用到⊙O，因?yàn)辄c(diǎn)G是⊙O與AD的交點(diǎn)，從構(gòu)圖的順序來(lái)看，⊙O的構(gòu)造是先于點(diǎn)G的，即⊙O是因、點(diǎn)G是果.你作圖的順序同時(shí)也是你解題的順序，構(gòu)圖序即解題序！

問(wèn)題2：如果AB=4，AE=1，你畫(huà)出的圖形是否唯一確定？

追問(wèn)1：把圖中你能計(jì)算的所有線段的長(zhǎng)度寫(xiě)下來(lái).

追問(wèn)2：⊙O的半徑在圖中可以是哪一條線段的長(zhǎng)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)依次對(duì)正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，⊙O與點(diǎn)G的構(gòu)圖（如圖5），學(xué)生能感受到圖中各點(diǎn)的位置都是確定的，從而圖中所有的幾何元素（線段、角）都是確定的，再由追問(wèn)，明確這些元素的計(jì)算方法，自然地把求⊙O的半徑轉(zhuǎn)化為求圖中線段OD（或OF，OC）的長(zhǎng)度.

圖6追問(wèn)3：連接OD，你準(zhǔn)備如何求OD的長(zhǎng)度？

分析與解：由于在構(gòu)圖的過(guò)程中我們采用了作線段中垂線的方法得到圓心O，那么要求圓的半徑則可以作如下輔助線（圖6），連接OD，過(guò)O作OI⊥CD于I，作OK⊥DE于K，OK分別交AD，BC于J，L.求⊙O的半徑，即求OD的長(zhǎng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求KD和KO的長(zhǎng)，DK=1[]2DF，KO=JO-KJ=1[]2JL-1[]2AF=1[]2DE-1[]2AF，而DE，DF，AF都可以輕松得到.

三、回顧、歸納與反思

在學(xué)生寫(xiě)完了整個(gè)題目之后，我又提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

在求解的過(guò)程中，你求出了很多條線段的長(zhǎng)度，按求出它們的先后順序把這些線段寫(xiě)下來(lái)，然后和你畫(huà)圖的順序比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

我們能發(fā)現(xiàn)，在解決第（2）小題的過(guò)程中，圖形的重構(gòu)依然起著非常重要的作用.在解答中，由已知條件，得AD=4，AE=1，從而得到DE，EF，AF等線段的長(zhǎng)度，在構(gòu)圖上有其對(duì)應(yīng)的表現(xiàn)，先畫(huà)出正方形，然后畫(huà)出點(diǎn)E和點(diǎn)F.而求半徑OD的過(guò)程在構(gòu)圖中則表現(xiàn)為由兩條中垂線OI和JL決定了點(diǎn)O的位置.同樣，解題序也是構(gòu)圖序.

四、換一種方式來(lái)思考

問(wèn)題3：如果先畫(huà)出⊙O，那么能否順利地構(gòu)造出整個(gè)圖形？

設(shè)計(jì)意圖：如圖7，先畫(huà)出⊙O，在⊙O上取一條弦CD，以CD為邊長(zhǎng)構(gòu)造出正方形ABCD，⊙O與AD，BC的交點(diǎn)分別為G，H，接下來(lái)應(yīng)該怎么畫(huà)呢？這里學(xué)生會(huì)有分歧.

如圖8，在AB邊上任取一點(diǎn)E，過(guò)A作AF⊥DE于F，發(fā)現(xiàn)F并不在⊙O上，構(gòu)圖與題設(shè)不符.若要求F在⊙O上（如圖9），連接AF，又不能保證AF與DE垂直，陷入了兩難.又該如何解決呢？

經(jīng)過(guò)思考，點(diǎn)F既要滿足在⊙O上，又要滿足AF⊥DE，點(diǎn)F應(yīng)該相當(dāng)特殊，只要將圖9略加變化為圖10（延長(zhǎng)AF），要滿足AF與DE垂直這一條件，圖10中∠1=90°，∠1為直徑所對(duì)的圓周角，∠1的邊與⊙O已有一個(gè)交點(diǎn)D，∠1的另一邊與⊙O的交點(diǎn)應(yīng)是⊙O的直徑DH的另一個(gè)端點(diǎn)H（如圖11），問(wèn)題就迎刃而解了，F(xiàn)點(diǎn)為AH與⊙O的交點(diǎn)，確定點(diǎn)F后，DF與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E.

分析與解：以⊙O為基礎(chǔ)構(gòu)造出整個(gè)圖形，使我們得到了一個(gè)更簡(jiǎn)潔的解法（如圖12），簡(jiǎn)述如下：易證△ADE≌△BAH，從而得到BH=AE=1，則CH=3，連接DH，利用勾股定理得直徑DH=CH2+CD2=5，繼而求出半徑為2.5.

五、梳理解題思路，提煉思想方法

本節(jié)課圍繞一道中考題的解法展開(kāi)，與以往不同的是，學(xué)生并沒(méi)有依賴(lài)題目本身所提供的圖形，而是自己從零開(kāi)始，根據(jù)題目條件本身的邏輯結(jié)構(gòu)一步一步地畫(huà)出了解題需要的整個(gè)圖形，按照構(gòu)圖的順序，逐步確定解題需要的元素，在圖形構(gòu)建完畢的同時(shí)得到了證明的思路.甚至從不同的起點(diǎn)開(kāi)始構(gòu)造圖形，得到的證明思路也完全不同.我們可以稱(chēng)這樣的解題方法為“圖形重構(gòu)”法.可以用下面這個(gè)結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示.

【教學(xué)思考】

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看，證明題的解法不僅僅體現(xiàn)了邏輯推理，證明題中包含的幾何圖形對(duì)學(xué)生的直觀想象能力也提出了要求.在幾何證明中，圖形的構(gòu)造與問(wèn)題的推理其實(shí)是同一個(gè)實(shí)質(zhì)的兩種不同表現(xiàn)，而圖形的重構(gòu)與思路的建立同步進(jìn)行，加深了它們之間的關(guān)系，圖形的構(gòu)建應(yīng)具有邏輯順序，而推理的過(guò)程則是圖形構(gòu)建的自然生成.

幾何課的教學(xué)與評(píng)價(jià)中，教師常常把作圖題和證明題看作兩個(gè)不同的題型，把作圖與證明人為地割裂開(kāi)，其實(shí)這樣不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體理解.作者認(rèn)為，幾何證明題的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)給學(xué)生充分的時(shí)間，鼓勵(lì)他們自己建構(gòu)解題需要的圖形.幾何解題需要一個(gè)準(zhǔn)確且漂亮的圖形，而這個(gè)圖形應(yīng)該由解題者自己構(gòu)建.因?yàn)楫?huà)圖的過(guò)程實(shí)際上也是一個(gè)先定性分析后定量分析的過(guò)程，如果能準(zhǔn)確作出圖形，那么該圖形的一切元素皆可求（定性）.而作圖的先后順序和確定圖形的約束條件，也正是邏輯推理的順序與材料（定量）.

《幾何原本》的第一個(gè)命題是“已知一條線段可以作一個(gè)等邊三角形”，歐幾里得先給出了作法，然后作出了圖形，最后給出了證明，這是一個(gè)既有數(shù)學(xué)思維又有美學(xué)意義的開(kāi)端.我們的幾何解題教學(xué)也應(yīng)回歸到這個(gè)主題上——數(shù)學(xué)推理不僅僅是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?，還應(yīng)該有“恰到好處的美”.

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