張進華 朱樹方
摘 要:在初中數(shù)學的教學中,解決問題的方法往往不止一種,例如,數(shù)學歸納法、建立數(shù)學模型法、數(shù)形結合、分類討論,等等,而分類討論的方法是一種解決數(shù)學問題上一種常用的方法,是一種重要的數(shù)學思想。學生在學習數(shù)學的過程中往往會因為雜亂的知識點,就認為數(shù)學學習起來很困難,而分類討論思想可以將遇到的知識點分類,還可以解決一些問題,例如數(shù)字,可以將它細分為“自然數(shù)”“無限循環(huán)小數(shù)”“復數(shù)”等等。還有很多例如將代數(shù)式進行分類,分類討論思想可以將數(shù)學中的復雜問題簡單化,從而提高學生的學習興趣,同時能夠提高教師的教學有效性。
關鍵詞:初中數(shù)學;分類討論的思想;分類討論的應用
一、 引言
分類討論的思想就是,將一個復雜的難以解決的問題按照一定的規(guī)律拆成很多小問題,將這些小問題逐一分類,拆解的小問題肯定要比最開始的那個大問題簡單,學生解決了每一個小問題,然后不管多難的問題學習都能夠解決,而有一些問題,可能會有多種解決辦法,教師應該引導學生盡可能地考慮周到一點。在教學初中數(shù)學時,分類討論的思想的應用特別廣泛,在平常的課后作業(yè)、考試試卷上都存在,教師應注重培養(yǎng)學生應用分類討論的思想,將復雜的問題簡單化,教師應該閱讀足夠的書籍,掌握在這一方面的知識,并結合自身的教學經(jīng)驗,將生活中的一些分類實例帶到課堂上去,多樣化豐富自己的初中數(shù)學教學過程,讓學生在解決問題的同時獲得喜悅感和成就感,從而提高對學習數(shù)學的興趣,能夠都積極主動地參與到老師安排的教學活動中去。讓學生在學習數(shù)學的過程中進行分類討論思想的培養(yǎng),教師應該將書本上枯燥的例子轉變出一個個生動的場景,好好把握培養(yǎng)學生分類討論的思想的機會。
二、 教師培養(yǎng)學生分類討論思想的策略
首先,對于一個學生從來沒有接觸過的題型,教師可以引導學生將這個陌生的題,拆成學生熟悉的題,而又應該怎么做呢?
(一)對比自己熟悉的題,充分發(fā)揮自己的聯(lián)想能力
在解決陌生的題之前,學生應該對比自己做過的題目,充分發(fā)揮自己的聯(lián)想能力,回憶做題用的知識點和方法,還有結論,解決現(xiàn)在能夠解決的簡單問題,在復雜問題中多解決一點自己能夠解決的小問題,原來的復雜問題不就簡單了。
(二)充分理解題給條件,多考慮幾個方面
在數(shù)學中解決同一個問題的方法往往不止一個,可以通過很多種方法做出來。學生可以充分運用自己所學習過的知識和自己做題的經(jīng)驗,有助于學生更加了解這道題的題意,這樣更有利于學生尋找適合這道題的分析和解決方法,從而更快地解決問題。
(三)適當設置輔助參數(shù),降低題目難度
在初中數(shù)學題目中,同一種題目可以有很多種表現(xiàn)形式;而在題目條件和已知結論或問題之間,其實存在很多的聯(lián)系。所以適當設置輔助參數(shù),可以降低題目難度,建立問題、條件、已知結論的聯(lián)系橋梁,將學生不熟悉的復雜題,轉換為學生明白的簡單題。
在學生將題目條件和問題從多個方面分析清楚后,教師可以引導學習進行獨立解題,讓學生尋找問題簡單化的多條路徑,告訴學生簡單化的一種好辦法是“尋找中間環(huán)節(jié)”,在解題過程中學生可以去尋找一個復雜過程中的簡單的中間過程,教師可以引導學生多去尋找題目的中間過程,去分類討論中間過程。
三、 分類討論法在實際教學的應用
(一)在求解方程系數(shù)時,運用分類討論思想
(二)在求解代數(shù)式時,運用分類討論思想
代數(shù)式在初中數(shù)學的教學中是一大難點,代數(shù)式比解方程、幾何圖形、函數(shù)都難,是因為代數(shù)式的靈活性,學生不僅僅需要將代數(shù)式的性質(zhì)、概念、變換法則、公式弄懂,還要懂得靈活運用,所以在解決問題的時候需要學生能夠合理分析題目的所給條件,靈活應用分類討論思想,將分類討論思想變成打開這道題答案大門的鑰匙。
點評:這道題目考查了學生對于絕對值的理解、分析和運用,當絕對值符號中的值大于零,拆掉絕對值符號后,正常帶入其中的值,當絕對值符號中的值小于零,拆掉絕對值符號后,將其中的值改為負值。
(三)在求解點坐標位置題目時,運用分類討論思維
一些題目中的條件不夠明確,導致圖形題目的點坐標求出來不止一個,如果學生沒有考慮全面,會時常發(fā)生有的答案沒有解出,將會導致題目不能完全正確。
分析:通過題目所給的條件,可以知道交坐標的兩點分別是(2,0)、(0,-2),由于題目沒有明確指出A、B兩點那個點在x軸,那個點在y軸,就可以分別將(2,0)、(0,-2)設為A點、B點,可以明確知道的是AB是三角形的一條邊,但是不知道究竟是哪一條邊,同時也不知道C點的位置,這時應該運用分類討論法。
解:(1)當AB為三角形的底邊時,點C它一定在AB邊的中垂線上,而且一定與坐標原點重合,即(0,0);
(2)當AB為三角形的直角邊時,因為C點一定在坐標軸上,所以這時又分為兩種情況:
①點C在x軸上,可以找到(-2,0)這個點;
②點C在y軸上,可以找到(0,2)這個點。
綜上所述,滿足題給條件的C點有3個,分別是(0,0)、(-2,0)、(0,2)所以應該選擇B答案。
點評:學生應該充分挖掘題意,理解出題者的意圖,從多個角度分析題目條件,弄清楚滿足題目各種可能情況,圖形題目學生可以通過畫草圖的形式來加強對題目的理解,最好考慮方向時能夠按照一定的順序來,否則會有的答案沒有考慮到。
(四)在求函數(shù)題目時,運用分類討論思維
例4 為增強公民節(jié)水意識,合理利用水資源,某市采用“階梯收費”,標準如下表:
如果該用戶5、6月份共用水20m3(6月份用水量超過5月份用水量),共交水費64元,則該戶居民5、6月份各用水多少立方米?
分析:由于題目沒有指明用戶,這5月用了多少水,在6月用了多少水,但是交的水費是知道的,所以可以通過固定的水費來分類討論5月、6月各自的水費。應分情況討論:5月份不超過6m3,6月份10立方米以上;或5月份超過6m3,在6-10立方米之間;以及5月份在10m3以上分別分析即可得出答案。
解:(3)①當5月份用水不超過6m3時,設5月份用水xm2,則6月份用水(20-x)m3,
根據(jù)題意得出:
2x+2×6+4×4+8(20-x-10)=64,
解得:x=22/3>6,不符合題意舍去。
②當5月份用水超過6m3時,但不超過10m3時,設5月份用水xm3,
則2×6+4(x-6)+2×6+4×4+8x(20-10-x)=64,
解得:x=8<10符合題意。
③當5月份用水超過10m3時,根據(jù)6月份用水量超過5月份用水量,
故不合題意。
所以5月份用水8m3,6月份用水量為12m3。
點評:這道題主要考查的是學生理解題意、列方程的能力,在初中數(shù)學中函數(shù)是應該讓學生頭痛的類型,主要是因為函數(shù)需要考慮的角度實在是太多,一不注意就可能少一到兩點,教師應該加強學生對于解函數(shù)題目的能力。
四、 結語
綜上所述,教師應該先弄懂分類討論思想的作用,再通過專項訓練,來培養(yǎng)學生的分類討論思想,引導學生對于陌生的題目,對比自己熟悉的題,充分發(fā)揮自己的聯(lián)想能力,充分理解題給條件,多考慮幾個方面適當設置輔助參數(shù),降低題目難度,引導學生尋找中間環(huán)節(jié),實現(xiàn)復雜問題簡單化,使用分類思想,簡化已知條件,這樣解決陌生復雜的題目速度更快。讓學生在學習數(shù)學的過程中進行分類討論思想的培養(yǎng),教師應該將書本上枯燥的例子轉變出一個個生動的場景,好好把握培養(yǎng)學生分類討論的思想的機會。
參考文獻:
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作者簡介:張進華,湖北省仙桃市,仙桃市彭場挖溝小學;朱樹方,湖北省仙桃市,仙桃市彭場中學。