丁洪

[摘 要]針對“重演繹，輕歸納”的傳統(tǒng)教學方式，教材設(shè)置了“探索規(guī)律”的專題教學。掃描和透視教學誤區(qū)，提煉和解讀應(yīng)對策略，不但可以正本清源、厘清本質(zhì)，提升認識，還能得心應(yīng)手、張弛有度，助力實踐，最終，實現(xiàn)“探索規(guī)律”的課堂凸顯探索的味道，使得學生探索的關(guān)鍵能力真正得到提升，探索的必備品格初步形成。

[關(guān)鍵詞]探索規(guī)律;教學誤區(qū);應(yīng)對策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）11-0001-04

從本質(zhì)上看，數(shù)學也可以看成是一門探索規(guī)律的學科。規(guī)律一般可以分為兩種類型，即“顯性的規(guī)律”和“隱性的規(guī)律”。其中，顯性的規(guī)律注重“觀察與比較”，側(cè)重運動與變化過程中不變因素的普遍確認;隱性的規(guī)律注重“猜想與驗證”，側(cè)重事物之間“原因與結(jié)果”或“本質(zhì)與現(xiàn)象”的關(guān)系確定。不同版本的教材的編寫都體現(xiàn)了這樣的認知和理解。以蘇教版教材為例，規(guī)律探索除了蘊含于例題中、散落在練習里，還有專門設(shè)置的相關(guān)專題。應(yīng)該說，“探索規(guī)律”專題是對 “重演繹，輕歸納” 傳統(tǒng)教學的一種積極回應(yīng)，它面世的時間雖然不長，但是意義重大。因此，教師應(yīng)掃描和透視教學誤區(qū)，提煉和解讀應(yīng)對策略，進而提升“探索規(guī)律”專題教學的有效性。

一、教學誤區(qū)的掃描和透視

1.結(jié)果目標與過程目標的人為割裂

課程標準指出，“課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系。”也就是說，沒有過程的結(jié)論猶如空中樓閣，晦澀難懂，尤其是隨著年級的增高，相應(yīng)的數(shù)學規(guī)則和結(jié)論的表達越發(fā)簡潔，如果僅是單調(diào)傳輸和單向傳遞，結(jié)果可想而知，厭學心理的產(chǎn)生、學習質(zhì)量的下滑等負面情況將接踵而至;當然，如果教學過程轟轟烈烈，但不引導學生進行必要的觀察、對比和優(yōu)化，也容易出現(xiàn)所得結(jié)論“詞不達意”的狀況，零散而且不系統(tǒng)，同樣不利于學生后續(xù)學習和思維發(fā)展。這樣看來，過程目標和結(jié)果目標的和諧統(tǒng)一是教學的底色和底線，如果人為割裂，則結(jié)果覆水難收。

具體到“探索規(guī)律”專題的教學，課程標準要求：第一學段是“發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的簡單規(guī)律”;第二學段是“探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢”?？剂俊鞍l(fā)現(xiàn)”和“探索”的詞性，兩者都屬于描述過程目標的行為動詞，這就預示著本專題教學的側(cè)重點是引導學生經(jīng)歷探究的全過程，最終得到樸素的“猜想—驗證”的科學方法論。但是，很多教師往往用短、平、快的方式把結(jié)論灌輸給學生，強調(diào)了“你就跟著這樣做”，忽視了“你應(yīng)學著這樣想”，只是把重心放在檢測反饋上，以應(yīng)試的視角衡量教學的得失。顯然，這種本末倒置的行為只會使學生解決問題時淺嘗輒止，題目的情境稍加變換，他們便會寸步難行，知識遷移、能力素養(yǎng)淪為鏡中月、霧里花，看似有，實則無。

2.自主開放與有序開放的預期背離

課程標準指出，“學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程……學生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！币簿褪钦f，教學需要改變課堂結(jié)構(gòu)，減少不必要的重復，將擠出的時間還給學生，為他們?nèi)硇牡赝度雽W習創(chuàng)設(shè)平臺;需要改變學習方式，讓有意義的接受“牽手”自主探究和合作交流，在多種方式共同作用下，促進學生認知立體和精神豐盈;需要凸顯主體地位，驅(qū)使學生調(diào)動先擁經(jīng)驗，自由、舒展和靈動地展現(xiàn)個性思維。

具體到“探索規(guī)律”專題的教學，自主開放的情形變多了，活動的效果反而降低了。比如，五年級下冊的“和與積的奇偶性”，很多教學不能完成既定任務(wù)，而且探索效果不明顯。究其原因，問題出在加數(shù)的個數(shù)變成3個及以上的環(huán)節(jié)中盲目提倡學生自主探索。學生不知道“干什么”，活動已經(jīng)開始了;也不知道要“干到什么程度”，“被合作”發(fā)生了;“你一言我一語”還沒說上幾句話，匯報登場了?？上攵?，結(jié)果只能是面面相覷。如果能夠?qū)?個非零自然數(shù)和的奇偶性活動經(jīng)驗自然遷移，即“在‘偶數(shù)類的基礎(chǔ)上有序增加偶數(shù)，和還是偶數(shù);在‘奇數(shù)類的基礎(chǔ)上有序增加奇數(shù)，加數(shù)的個數(shù)是3個、5個、7個等奇數(shù)個的情況下，和是奇數(shù)，加數(shù)的個數(shù)是2個、4個、6個等偶數(shù)個的情況下，和是偶數(shù)”，并順勢總結(jié)出“和的奇偶性取決于奇數(shù)的個數(shù)”，“奇偶類”探索和結(jié)論與前面一致。顯然，自主開放并不等于完全放手，預期的背離源于過度放大了學生的自主能動性，忽視了板塊知識的整體聯(lián)動性，還割裂了探索方法的內(nèi)在傳遞性。

3.合情推理與演繹推理的組合錯位

課程標準指出，“合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成;合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論?！币簿褪钦f，貫穿于教學過程的推理不可以一概而論，要根據(jù)學習的內(nèi)容和知識的屬性，選擇合適的推理方式或?qū)⑺鼈兘M合運用。否則，“推”而不“理”，“理”而不“順”，舊問題沒解決，反而催生了新問題的產(chǎn)生。

具體到“探索規(guī)律”專題的教學，也有一些優(yōu)秀案例。比如，五年級上冊“釘子板上的多邊形”的教學，首先要求學生算出圖形的面積，并數(shù)出邊上釘子的總數(shù)，然后將數(shù)據(jù)對應(yīng)填入表格，初步引導學生發(fā)現(xiàn)“多邊形的邊上的釘子數(shù)越多，多邊形的面積就越大”“圖形邊上的釘子數(shù)是4，面積是2平方厘米……”“這些多邊形的面積的平方厘米數(shù)是它們邊上的釘子數(shù)的一半”，并通過“多邊形內(nèi)只有1枚釘子，它的面積與它邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？”的問題，驅(qū)動學生概括出“當多邊形內(nèi)只有1枚釘子時，用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，那么S=n÷2”的規(guī)律。顯然，這個板塊側(cè)重歸納類型的合情推理。當多邊形內(nèi)只有2枚釘子時，仍然延續(xù)這種探索過程，在得到“S=n÷2+1”的規(guī)律后，可通過追問“相比較而言，這里加的1在圖形的哪部分？為什么這時候要加1呢？”引導學生解構(gòu)圖形，發(fā)現(xiàn)每一個多邊形都可以分割成兩部分，一部分是內(nèi)部為1枚釘子的圖形，另一部分是面積為1的圖形。顯然，在這個板塊中，合情推理和演繹推理并重。當然，隨著多邊形內(nèi)釘子數(shù)的增加，面積與它邊上的釘子數(shù)的關(guān)系，以及多邊形內(nèi)沒有釘子的探究，相對而言適合經(jīng)驗遷移，點到為止即可。顯然，這個板塊側(cè)重類比類型的合情推理。但是，實際情況事與愿違，很多教師一味追求學生深刻理解知識，往往不自覺地提高演繹推理的比重。

4.具象表征與抽象表達的對接短路

課程標準指出，“建立符號意識有助于學生理解符號的使用，是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式?！币簿褪钦f，符號對數(shù)學學習具有重要意義，可以幫助學生數(shù)學地表達自己的觀念，提煉和固化數(shù)學的思維過程，使得數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律能以簡潔的樣式建構(gòu)和呈現(xiàn)。但是，需要注意的是，引入符號、使用符號、理解符號以及傳播符號，需要根據(jù)學生的實際情況，考慮他們的接受程度，這不是一蹴而就和一朝一夕的事情，只有順其自然，學習才能自然而然。

具體到“探索規(guī)律”專題的教學，要求用數(shù)學式子表達的有四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”、五年級上冊“釘子板上的多邊形”、六年級上冊“表面涂色的正方體”和六年級下冊“面積的變化”，這些專題的素材都是數(shù)學現(xiàn)象。如果以五年級上冊“用字母表示數(shù)”的學習為分水嶺，那么“多邊形的內(nèi)角和”的規(guī)律一般用“多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°”來表達，不要人為拔高，以免造成不必要的認知障礙;其他規(guī)律表達因為有了字母引入，可以用含有字母的式子來表示。另外，不需要用數(shù)學式子表達的有三年級上冊“間隔排列”、四年級上冊“簡單的周期”、三年級下冊“有趣的乘法計算”和五年級下冊“和與積的奇偶性”。前面兩個專題關(guān)注身邊現(xiàn)象，規(guī)律相對簡單，無須抽象表達，口頭講述、擺放學具或畫出圖形即可;后面兩個專題聚焦數(shù)學現(xiàn)象，規(guī)律相對復雜，無法抽象表達，那數(shù)學語言描述、分類舉例解釋也行。顯然，定位好“用什么方式表達規(guī)律？”就不會忽視準確性與簡潔性，把握好“規(guī)律表達到什么程度？”就不會偏離階段性與適切性。

5.評價導行與評價導思的功能紊亂

課程標準指出，“評價不僅要關(guān)注學生的學習結(jié)果，更要關(guān)注學生在學習過程中的發(fā)展和變化。應(yīng)采用多樣化的評價方式，恰當呈現(xiàn)并合理利用評價結(jié)果，發(fā)揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心?！币簿褪钦f，評價首先指向?qū)W習過程，教師必須扮演“事前諸葛亮”，對學生可能出現(xiàn)的問題充分預設(shè)，并有針對性地做好預案，以增強現(xiàn)場研判的力量和質(zhì)量;然后評價指向?qū)W習結(jié)果，這既是過程評價的“后續(xù)動作”，也是必要的階段性反思。顯然，過程評價和結(jié)果評價缺一不可、各有側(cè)重。

具體到“探索規(guī)律”專題，有很多教學關(guān)注結(jié)果評價，忽視過程評價。在過程評價中，又總是拘泥于外在行為——關(guān)注“學生做了什么”，忽略了內(nèi)在數(shù)學思維——分析“學生是怎么想的”。比如，四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”的教學，在四邊形的內(nèi)角和探究環(huán)節(jié)，學生習慣性地去測量或撕拼，有的教師“視而不見”，甚至是“不屑一顧”：“你們怎么還用這種老方法，太麻煩了！”對此，評價應(yīng)該改為“你們能聯(lián)系舊知解決問題，真好！”，給予肯定，然后提出：“我們既然已經(jīng)知道了一個三角形的內(nèi)角和是180°，你能想辦法將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形，換個角度求它的內(nèi)角和嗎？”在其他多邊形的內(nèi)角和探究環(huán)節(jié)，除了從頂點出發(fā)的分割，還出現(xiàn)了從邊上一點或圖形中一點出發(fā)的分割，教師可先用“這樣做也能將多邊形分成獨立的三角形，你真會思考！”來肯定學生，然后用“仔細觀察這三種分割方法，你能找到它們之間的聯(lián)系和區(qū)別嗎？”來驅(qū)動學生思考。顯然，不同的評價將會引領(lǐng)學生經(jīng)歷不同的風景。剖析行為表象、驅(qū)動思維生長，才是評價的真諦，才能幫助學生遇見“最美的自己”。

二、應(yīng)對策略的提煉與解讀

1.精心設(shè)計“問題鏈”——規(guī)劃探索板塊

“問題鏈”是指教師圍繞課堂教學目標，依據(jù)學生的知識經(jīng)驗和認知水平，結(jié)合數(shù)學學科的知識內(nèi)容和能力要求，智慧設(shè)計而成的具有層次性、系統(tǒng)性和啟發(fā)性，以環(huán)環(huán)相扣的鏈狀結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)，有效實現(xiàn)學生學習能級增益的問題序列。精心設(shè)計問題鏈旨在規(guī)劃探索板塊，實現(xiàn)知識技能、過程方法和情感態(tài)度與價值觀的有效解構(gòu)和有力重構(gòu)。比如，三年級上冊“間隔排列”的教學，可以設(shè)計“探索不封閉情境中的間隔規(guī)律”“探索封閉情境中的間隔規(guī)律”“探索兩種情境中間隔規(guī)律的聯(lián)系”三個板塊。其中，第一個板塊先“收”再“放”，“收”借助“蘑菇與兔子”“夾子與手帕”和“木樁與籬笆”等情境，引導學生經(jīng)歷數(shù)個數(shù)、比數(shù)量的過程，側(cè)重從特殊走向一般的歸納;“放”分為兩個層次，第一層次是基于兩端物體相同，體驗數(shù)量雖然在變化，但是“兩端物體比中間物體多1”的規(guī)律始終沒有變，是一種針對性的變式訓練，第二層次是基于兩端物體不同，體驗數(shù)量雖然在變化，但是“間隔的物體數(shù)量相等”的規(guī)律始終沒有變，是一種對比式的變式拓展。第二個板塊則完全放手，提供諸如“間隔排列的手鏈”等情境，驅(qū)動學生自主經(jīng)歷數(shù)一數(shù)和比一比的探索過程，并在對比中建構(gòu)“間隔排列的物體個數(shù)相等”的規(guī)律模型。第三個板塊側(cè)重對比聯(lián)系，可以從封閉的情境自然切換到不封閉的情境，例如將手鏈從某一處剪開后拉直，就可以得到“兩端物體不同的間隔排列”，當然也可以反其道而行之。顯然，“問題鏈”是教師的智慧預設(shè)，是課堂的行動指南，更是育人的尺度表征。

2.引導經(jīng)歷“全過程”——凸顯探索主線

教學講究引導學生經(jīng)歷知識的生成、生長和生根，探索規(guī)律專題也不例外。不過，需要注意的是，探索規(guī)律不應(yīng)該等同于普通知識的教學，它側(cè)重的是“猜想—驗證”樸素科學方法論的滲透，這才是它真正的使命、歸宿和價值。比如，六年級上冊“表面涂色的正方體”的教學，首先通過對簡單的正方體表面進行涂色以及分割，了解到小正方體“三面涂色”“兩面涂色”和“一面涂色”的基本事實;其次引導學生自主操作，獲得一些基本數(shù)據(jù)，并借助問題“觀察填好的表格，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”驅(qū)動學生有理有據(jù)的猜想發(fā)生，得出“3 面涂色的小正方體都在大正方體頂點的位置，都是8個?！薄?2面涂色的小正方體的個數(shù)都是12的倍數(shù)?！薄?面涂色的小正方體的個數(shù)都是6的倍數(shù)?！薄? 個面都不涂色的小正方體個數(shù)分別是0、13、23、33……”的基本規(guī)律;接著引導學生運用含有字母的式子簡潔表征規(guī)律，并舉例進一步驗證;最后通過整理和回顧，幫助學生積累“找各種小正方體時，要注意它們在大正方體上的位置?！薄案鞣N小正方體的個數(shù)與大正方體頂點、面和棱的個（條）數(shù)有關(guān)?！薄耙颜?、數(shù)、算等方法結(jié)合起來，并根據(jù)圖形的特征進行思考?！钡奶剿鹘?jīng)驗。顯然，完整經(jīng)歷“感知事實、定量描述、猜想規(guī)律、建構(gòu)模型、舉例驗證和經(jīng)驗內(nèi)化”的探索過程，能有效助力學生探索意識的充分喚醒、探索路徑的基本塑化和探究能力的初步達成。

3.推理演繹“巧聯(lián)結(jié)”——豐富探索認知

雖然“探索規(guī)律”專題是針對世弊應(yīng)運而生的產(chǎn)物，但不能從一個極端走向另一個極端，即只重視“跟著感覺走”的直覺思維，忽視了必要的理性思維培養(yǎng)，畢竟單一的思維形式略顯單薄，難以支撐探索規(guī)律的全部內(nèi)涵。比如，三年級下冊“有趣的乘法計算”的教學，是否能用“兩頭一拉，中間相加”表征“兩位數(shù)×11”這類算式規(guī)律的全部內(nèi)涵？是否能用“積的末兩位等于兩個乘數(shù)個位上的數(shù)相乘”“積的末兩位前面的數(shù)等于乘數(shù)十位上的數(shù)乘比它大1的數(shù)的積”表征“同頭尾合十”這類算式規(guī)律的全部內(nèi)涵？諸如此類，都是值得深思的問題。應(yīng)該說，初步探究得出如此結(jié)論，可以算作是階段性成果，但是如果把這種形式的結(jié)論當成最終的數(shù)學建構(gòu)，顯然有失偏頗、不接地氣。不妨讓探索規(guī)律先“生動”起來，讓學生通過觀察、比較和分析，歸納或類比出形式化的見解，只要“合情”就肯定和悅納;接著讓探索規(guī)律再“深刻”起來，引導學生分析形式化背后的數(shù)學實質(zhì)，即從算法的推理走向算理的推演，適度和必要的“合理”闡釋，不但不會拖累“合情”流暢，反而能為“合情”表征注入底氣和活力。顯然，兩類推理不應(yīng)該刻意回避對方，人為造成“老死不相往來”的現(xiàn)狀，只要按需側(cè)重、適度融合和有機聯(lián)結(jié)，就能立體架構(gòu)探索過程，豐富學生的探索認知和體驗。

4.規(guī)律表達“重實質(zhì)”——注重探索優(yōu)化

因為認知特征、表征形式、抽象水平等實際情況的存在，規(guī)律表達一般呈現(xiàn)多姿多彩、因人而異的生態(tài)樣式，有的是口頭表達，有的是舉例說明，還有的是抽象建模，這些都是學生的自然流露，是可以被理解和尊重的，體現(xiàn)了個體經(jīng)驗的內(nèi)在自洽。比如，六年級下冊“面積的變化”的教學，學生通過具體的測算活動，得到正方形、三角形和圓形變化前后的基本數(shù)據(jù)，即“長度比”和“面積比”，然后通過問題“比較每個圖形放大后與放大前的長度比和面積比，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”驅(qū)動學生尋找兩者之間的顯性聯(lián)系。學生的表達一般有三種類型：第一種是白描型，“正方形放大后與放大前的邊長比是3∶1，面積比是9∶1”“三角形放大后與放大前的邊長比是2∶1，面積比是4∶1”“圓形放大后與放大前的邊長比是4∶1，面積比是16∶1”，學生關(guān)注的只是具體形狀，思維在淺層水平游走;第二種是歸納型，“兩個比的后項都是1，面積比的前項是長度比前項的平方?！睂W生漸漸超越具體情況走向一般概括，思維水平有所提升;第三種是建模型，借助“如果把一個圖形按n∶1的比例放大，放大后與放大前圖形的面積比是（ ）∶（ ）”引領(lǐng)學生嘗試用含有字母的比表達規(guī)律，建構(gòu)形如“n2∶1”的數(shù)學模型，促使學生的思維水平有更進一步的提升。顯然，這樣的規(guī)律表達從局部到整體、從粗糙到精致、從生動到深刻，形式雖然多樣，但都緊扣實質(zhì)，有效催生了數(shù)學思維的梯度優(yōu)化和良性發(fā)展。

5.評價導向“多維度”——激活探索智趣

評價是把雙刃劍，用得好可以幫助探索，否則可能阻礙探索。實踐表明，要想發(fā)揮評價的正向功能和積極影響，往往需要明確評價方向、選擇評價手段和考量評價標準，并在此基礎(chǔ)上，實施多維度的評價策略。比如，四年級上冊“簡單的周期”的研究盆花規(guī)律環(huán)節(jié)，在學生給出圖形、文字和符號三種表征方式時，教師可以用“感謝你們的精彩表現(xiàn)，真會思考！”來點評，情感維度的評價能增強學生探索的信心;當出現(xiàn)“豎著擺”能清楚表征規(guī)律時，可以用“還能換個角度思考問題，為你點贊！”來點評，方法維度的評價促進了結(jié)構(gòu)對應(yīng);當計算得出第19盆花的顏色時，可以用“第7組第一個確定了位置，每組的第一個都是藍花，確定了顏色。思考有序！”來點評，操作維度的評價明確了程序要點。在探索總結(jié)環(huán)節(jié)，對比算式中被除數(shù)對應(yīng)總量，除數(shù)對應(yīng)“每組有幾個”，商對應(yīng)“有這樣的幾組”，以及“余數(shù)是幾，顏色與每組的第幾個對應(yīng)相同”，可以用“一一對應(yīng)思考問題，規(guī)律特征自然顯現(xiàn)，真會學習！”來點評，思想維度的評價達成了模型建構(gòu)。在自我創(chuàng)造環(huán)節(jié)，出現(xiàn)了不同規(guī)律的作品，至少擺兩組才能清晰表達規(guī)律，可以用“周而復始，不期而遇，真會創(chuàng)造！”來點評，素養(yǎng)維度的評價內(nèi)化了活動經(jīng)驗。顯然，評價可以激活學生興趣，驅(qū)動他們“愿意學”，還可以激活學生潛力，驅(qū)動他們“學得透”，進而實現(xiàn)探索的“智趣”相融。

綜上所述，對于“探索規(guī)律”專題教學，教師需要“另眼相看”，不能忽視它的獨特性;需要“緊扣目標”，不能忽視它的功能性;需要“塑化路徑”，不能忽視它的基礎(chǔ)性;需要“發(fā)展思維”，不能忽視它的價值性;等等。唯有如此，認識上才能正本清源、厘清本質(zhì)，實踐時才能得心應(yīng)手、張弛有度，最終，讓“探索規(guī)律”的課堂真正凸顯探索的味道。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題“基于問題鏈驅(qū)動的小學生數(shù)學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）。]

（責編 金 鈴）