陳朝敏

（陸軍步兵學(xué)院 江西·南昌 330100）

0 引言

線性代數(shù)是高等院校理工專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)課程，其主要的數(shù)學(xué)工具，即矩陣?yán)碚?，在眾多領(lǐng)域都有應(yīng)用。同時(shí)，線性代數(shù)也是學(xué)習(xí)其他課程的基礎(chǔ)課程。近十幾年來(lái)，隨著我國(guó)信息化的不斷深入，線性代數(shù)應(yīng)用的廣度和深度都有很大的提升，在這個(gè)大背景下，給線性代數(shù)的教學(xué)提出了更高的任務(wù)和要求，如何使學(xué)生在現(xiàn)有學(xué)時(shí)較少的條件下不僅掌握線性代數(shù)的系統(tǒng)知識(shí)，還能著重培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維和應(yīng)用能力，成為新的教學(xué)研究方向。

線性代數(shù)具有基礎(chǔ)概念多、理論邏輯性強(qiáng)、計(jì)算過(guò)程較繁瑣等特點(diǎn)，但當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)沒(méi)有很好的平衡系統(tǒng)知識(shí)教學(xué)與案例式教學(xué)之間的關(guān)系，一是偏重于從數(shù)學(xué)問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解，教學(xué)實(shí)例較少，脫離實(shí)際應(yīng)用背景；二是教學(xué)中涉及到的計(jì)算方法，如行列式計(jì)算、可逆矩陣求逆矩陣、求矩陣特征值和特征向量等，在低階情況下，學(xué)生尚能接受，但對(duì)于高階情況，手動(dòng)計(jì)算顯得較為困難，這導(dǎo)致線性代數(shù)較難應(yīng)用于涉及高階和復(fù)矩陣問(wèn)題的后續(xù)課程，后果就是產(chǎn)生“數(shù)學(xué)無(wú)用論”的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，無(wú)法提升學(xué)習(xí)的內(nèi)動(dòng)力，基于此研究現(xiàn)狀，提出將Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)，論證對(duì)破解當(dāng)前教學(xué)障礙、提升教學(xué)效果的可行性。

1 Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的可行性

Matlab的產(chǎn)生與發(fā)展與計(jì)算機(jī)密不可分。1980年，美國(guó)計(jì)算機(jī)教授Cleve Moler在講授線性代數(shù)時(shí)，為解決學(xué)生在高級(jí)語(yǔ)言編程上的難題，編寫(xiě)了Fortran子程序庫(kù)接口程序，并命名為Matlab（取MatrixLabroary前三個(gè)字母，即矩陣實(shí)驗(yàn)室）。Matlab這一強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件越來(lái)越受到高校師生和廣大科研人員的認(rèn)可，在國(guó)內(nèi)，部分高校也開(kāi)設(shè)了Matlab相關(guān)課程?；?Matlab強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算能力和圖形處理功能，可以簡(jiǎn)化線性代數(shù)中涉及的復(fù)雜計(jì)算，對(duì)難以理解的概念通過(guò)可視化的方式加深理解，對(duì)線性代數(shù)的理解從感性認(rèn)識(shí)提升到理性認(rèn)識(shí)，培塑學(xué)生理論結(jié)合實(shí)際的素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)動(dòng)力。

2 Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題

Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的益處不再贅述，但在運(yùn)用中，需要考慮以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

（1）教學(xué)重點(diǎn)不能偏移。線性代數(shù)的“三個(gè)基本”仍是教學(xué)重點(diǎn)，只有掌握了系統(tǒng)全面的理論知識(shí)，才能更好的理解代數(shù)思維，Matlab只是輔助教學(xué)工具，不能將線性代數(shù)教學(xué)變成數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)。

（2）適當(dāng)補(bǔ)充必要的基礎(chǔ)知識(shí)。Matlab的運(yùn)用不止在第一課堂教學(xué)，更重要的是讓學(xué)生在第二課堂利用Matlab解決學(xué)習(xí)中遇到的困難，所以應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充必要的軟件基礎(chǔ)知識(shí)，包括推薦整理Matlab學(xué)習(xí)資料給學(xué)有余力的學(xué)生，為接下來(lái)的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下良好的數(shù)學(xué)軟件基礎(chǔ)。

（3）針對(duì)學(xué)生的個(gè)體差異性設(shè)置不同難度的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的最終目的是訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)思維與實(shí)操能力。因此，可根據(jù)學(xué)生的個(gè)體差異性設(shè)置不用難度的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并要求學(xué)生撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，以檢驗(yàn)教學(xué)效果。

3 Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的具體探討

在研究了線性代數(shù)課程地位、特點(diǎn)、教學(xué)現(xiàn)狀、Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的可行性和需要注意的問(wèn)題后，就降低計(jì)算復(fù)雜度、顯化概念理解、提升應(yīng)用能力三個(gè)方面展開(kāi)Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的具體探討。

3.1 功能強(qiáng)大的eig函數(shù)

矩陣特征值和特征向量在很多工程問(wèn)題都有應(yīng)用。根據(jù)特征值和特征向量的定義和性質(zhì)，求矩陣A特征值和特征向量的方法如下：

因此，通過(guò)手工計(jì)算求高階方陣的特征值和特征向量顯得十分困難。正確的做法是在低階情形下研究特征值和特征向量的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力簡(jiǎn)化高階情形下的特征值和特征向量的求解。

Matlab提供了一個(gè)求矩陣特征值和特征向量的函數(shù)eig，其具體用法見(jiàn)下表1。

表1：eig函數(shù)的用法

3.2 可視化的力量

當(dāng)前，教材中通常是利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換介紹二次型這一知識(shí)點(diǎn)，這種從代數(shù)角度去理解二次型較為抽象，利用Matlab強(qiáng)大的可視化功能，采用數(shù)形結(jié)合的方法，將二次型以圖形演示的方式展現(xiàn)出來(lái)，顯化抽象概念，提升教學(xué)效果。

得到圖形，如圖1所示。

圖1：正定二次型

由圖1可知，正定二次型的圖形都位于xoy平面上方。

3.3 矩陣運(yùn)算的妙處

Leonado Fibonacci在其提出的兔子問(wèn)題中引出斐波那契數(shù)列。與斐波那契數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用還包括著名的楊輝三角、黃金數(shù)等，那么該如何求出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)呢？

這里采用矩陣?yán)碚搧?lái)研究斐波那契數(shù)列。

由斐波那契數(shù)列的定義和性質(zhì)可得到如下差分方程組：

相比于運(yùn)用矩陣對(duì)角化來(lái)求解要簡(jiǎn)便快捷，更能凸顯線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。

4 總結(jié)

本文主要就如何提升線性代數(shù)教學(xué)效果進(jìn)行了研究，提出了將Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的觀點(diǎn)，并剖析了在具體運(yùn)用實(shí)施時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，最后就降低計(jì)算復(fù)雜度、顯化概念理解、提升應(yīng)用能力三個(gè)方面展開(kāi)Matlab應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的探討。