王進敬　余慶純

【摘要】在“銳角的三角比的意義”課例教學中，研究者將校園生活中的“不可測問題”轉化為數學問題，基于多元視角探索不同的解決方案，從一般三角形的全等、相似到直角三角形的相似，自然引出銳角三角比，揭示銳角三角比學習的必要性;借助古代的特色計時工具日晷進行古今對照，揭示銳角三角比、銳角三角函數等初高中相關數學知識和方法的共性，突出學習銳角三角比的重要性。實踐表明，“銳角的三角比的意義”教學浸潤知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂、多元文化等維度的數學文化，深刻地揭示了數學史的六類教育價值。

【關鍵詞】銳角的三角比;正切;余切;數學史;數學文化

基于數學史的數學文化，可以劃分為知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂與多元文化五個維度。但有研究表明，數學文化的五個維度在教學實踐中運用并不均衡[1]，因此，在教學中，教師需立足教育現實，挖掘數學史素材，優(yōu)化課例教學。

“銳角的三角比的意義”是滬教版數學教科書九年級上冊第二十五章第一節(jié)的內容?！渡虾Ｊ兄行W數學課程標準（試行稿）》在“學習內容與要求”中指出，要利用直角三角形定義的銳角三角比，建立直角三角形中邊與角的聯系，它是定量地研究三角形的基本工具。在銳角三角比的學習中，注重概念的理解[2]。經過實踐研究發(fā)現，“銳角的三角比的意義”教學大多從直角三角形的相似入手，通過尋找規(guī)律，得出銳角三角比的定義。在滬教版教科書的“設計說明”中也明確提出，在三角形及相似三角形中，主要從定性方面研究三角形（或兩個三角形）的特征與性質;在銳角三角比中，主要從定量方面研究直角三角形。銳角三角比的概念是三角函數概念的基礎。然而，在滬教版教科書中，其以正切為切入點，利用梯子的傾斜程度、測量金字塔的高度為背景引出銳角三角比，并未真正揭示三角比與一般相似三角形的根本聯系，沒有揭示學習銳角三角比概念的必要性。

鑒于此，本研究從學生熟悉的校園場景入手，設計一系列“不可測問題”，借鑒20世紀上、中葉英美教科書中的銳角三角函數的引入方式，選擇性地進行教學重構，在分析問題、解決問題的過程中追本溯源，突出銳角三角比學習的必要性和重要性。

基于HPM視角，擬訂“銳角的三角比的意義”的教學目標如下。

（1）經歷銳角三角比概念的形成過程，經歷將校園生活中“不可測問題”轉化為數學問題，再抽象出數學概念的過程，學會抓住事物的本質屬性。

（2）掌握銳角三角比的概念，能根據直角三角形中兩邊的長，求解銳角三角比的值。

（3）在概念形成的探究過程中，體會初中和高中數學內容、數學與其他學科、數學與生活之間的緊密聯系，培育善于思考、嚴謹求實的理性精神，增強“學數學、用數學”的實用數學觀，欣賞多元的數學文化。

一、史料運用

20世紀上、中葉美英教科書中，已有銳角三角函數豐富的引入方式。其中，有一個“水管求長”的生活情境：假設A地為水源，B為房屋，A、B之間以一片沼澤地分隔開來，現要用一根水管將A處的水流引到B處，問需要多長的水管（即計算AB的長度）。若沼澤地的位置相對特殊（如圖1），則能夠找到一點C，使得∠ACB=90°，且AC、BC的長度均易于測量。通過測量AC、BC的長度，運用勾股定理可得出AB的長度。但若沼澤地的位置相對一般（如圖2），因無法直接找到點C使得∠ACB=90°，則需要通過構造直角三角形的方式，測出AC和BC的長度以及∠ACB的度數，若能求得圖中AD和CD的長度，即可求出AB的長度[3]。于是，可以得到“已知直角三角形的斜邊和一個銳角，可求出直角邊”的解決方法。

日晷是中國古代經典的計時器物之一，其是銳角三角比運用于社會生產、生活中的重要體現。為了研究日晷如何記錄節(jié)氣、測量，假設點S表示太陽，GN為日晷的晷針，AN為正午的晷影（如圖3），記錄每天正午的晷影長度。一年中，晷影長度最長的那一天是冬至，晷影長度最短的那一天就是夏至。當晷影長度達到最長之后，逐日變短，直到最短，然后又逐日變長，直到最長，共經歷一個完整的回歸年。觀察Rt△ANG，在∠A不變的情況下，當晷影AN由長變短，∠A的對邊與鄰邊、鄰邊與對邊之比是固定的;當∠A變大時，∠A的對邊與鄰邊的比值GN/AN變大;當∠A變小時，比值GN/AN變小，即∠A的對邊與鄰邊的比值隨∠A的變化而變化（如圖3）。

在我國許多地方，保存著相對完整的古代日晷，比如北京故宮的日晷、江蘇常州天寧寺的日晷，以及復旦大學和上海交通大學等校園里的日晷等。依據晷面擺放的位置、角度與使用地區(qū)的不同，古代日晷常分成多種不同的類型，其應用范圍也不盡相同。按照晷面擺放的位置進行分類，可分為赤道式、地平式、垂直式三類日晷。

（1）赤道式日晷（如圖4），又稱為斜晷，其晷面與赤道面平行，晷針平行于地球自轉軸且兩端分別指向天北極（北極星）、天南極，晷針與平坦地面所形成的角度代表當地的地理緯度，如北京故宮的日晷就是赤道式日晷。

（2）地平式日晷（如圖5），其晷面與平坦地面相互平行，晷針分別指向天北極（北極星）與天南極，晷針與晷面之間的夾角代表當地的地理緯度。在北京故宮博物院里，收藏著清朝順治年間的一個新法地平日晷。其晷面上分別刻著時刻線、節(jié)氣線;晷針是可起落的三角形晷針;靠近晷針的一側安放著一個指南針，便于測定方向。

（3）垂直式日晷（如圖6），又稱為立晷或豎晷，其晷盤面垂直于平坦的地平面。大多數垂直式日晷安置在房屋的墻壁、石碑等建筑物向陽的豎直方位上，如江蘇常州天寧寺的垂直式日晷（又稱為面東西日晷），其是清代陽湖（今常州武進）知縣張作楠所制。此外，在歐洲許多國家的建筑外墻上，常常會附建有各式各樣、顏色各異的垂直式日晷。

鑒于此，基于20世紀早期美英教科書中銳角三角函數的引入方式，創(chuàng)設“不可測問題”情境，借助相似三角形的相似比進行深入探究，引入銳角三角比的概念，借助古代的特色計時工具日晷進行古今對照，自然地揭示銳角三角比從靜態(tài)到動態(tài)變化過程中所蘊含的函數思想本質，突出學習銳角三角比的重要價值，感悟數學源于生活，服務于生活的社會角色，揭示數學與天文學之間的學科聯系，展現數學文化之魅。

（五）課堂小結

本節(jié)課建構了三角形邊與角的轉化橋梁，學生學習了正切、余切等銳角三角比，根據直角三角形中兩邊的長求解銳角三角比的值，感悟初中和高中數學內容、數學與其他學科、數學與生活之間的緊密聯系。

三、學生反饋

課后，教師對兩個教學班的61名學生進行問卷調查，調查結果如下。

1.本節(jié)課中，你印象最深的環(huán)節(jié)是什么？為什么？

大部分學生對銳角三角比的引入過程印象深刻（如圖18），其原因有三個方面：第一，傳統(tǒng)課堂大部分采用“輸入—被動接受”的學習方式，缺乏知識探究的過程，不能很好地解答學習銳角三角比的必要性，而本節(jié)課以校園中“不可測問題”的探究，引入銳角三角比，重構式地展現了對銳角三角比的思考和探究過程。第二，以校園實際問題為例，將現實問題抽象成數學問題，運用所學的數學知識進行分析問題、解決問題，真正做到學以致用。隨著問題條件越來越一般化，難度越來越大，對知識的靈活運用程度也越來越高，不僅具有挑戰(zhàn)性，而且需要觸類旁通，并建構體系化的知識網絡。第三，很多學生表示喜歡探究式學習的氛圍，在分析問題、解決問題過程中與同學進行多次互動，使得探究式學習富有生機活力。

還有一些學生表示對介紹日晷的視頻印象深刻，其原因主要是日晷與所學的銳角三角比的知識聯系緊密，激發(fā)了其學習興趣與動力，使其體會到數學源于生活，服務于生活;還有的學生覺得教師制作的微視頻條理清晰，有理有據，與學習內容很貼切，有力地論述了古人設計日晷時的高超智慧。

2.在日后旅游或參觀時，是否會更加關注日晷？為什么？

在問卷調查中，大部分學生表示會更加關注日晷，其主要原因是理解了日晷的實踐運用與數學本質的聯系，激發(fā)其深入探究的學習興趣。其次，對于現在的學生，電子手表是他們日常的計時工具，而日晷這一古老的計時工具是如何工作的、日晷與電子手表相比哪個更加準確等問題，激發(fā)了學生的學習興趣與求知欲望。此外，有一部分學生還提到以前很困惑日晷的計時原理，現在終于解開謎團，深刻感受到數學與生活的緊密聯系。

四、文化分析

“銳角的三角比的意義”課例教學以史為源，古為今用，重構式地融入知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂、多元文化等，浸潤數學文化的芬芳。

（1）知識源流。借鑒20世紀上、中葉英美教科書中的銳角三角函數的引入方式，選擇性地進行教學重構，以校園生活為背景，引導學生基于不同實際情境，探究系列“不可測問題”的解決方法，在分析問題、解決問題的過程中掌握銳角三角比的概念定義，學會根據直角三角形中兩邊的長求解銳角三角比的值，揭示學習銳角三角比的必要性。銳角三角比不僅探析了三角形角度與邊的比值關系，而且為學生今后學習三角函數奠定了基礎。

（2）學科聯系。銳角三角比是天文觀測、航海測量等跨學科內容的基礎，能助力學生進行跨學科知識的學習與方法運用。

（3）社會角色。以微視頻的形式展現日晷與銳角三角比的密切聯系，突出銳角三角比在社會生活中的實際運用，展現數學源于生活、服務于生活的重要角色。

（4）審美娛樂。正切、余切等銳角三角比，定量地刻畫了直角三角形中銳角的角度與兩直角邊長度之間的緊密聯系，突出數學的簡潔美、統(tǒng)一美。

（5）多元文化?；?0世紀早期英美教科書，創(chuàng)設校園生活中“不可測問題”的活動探究，引出銳角三角比的概念;再以日晷介紹古代人們運用銳角三角比的知識，制作日晷來測量時間、記錄節(jié)氣等，古為今用，洋為中用，展現多元數學文化的交融。

五、教學反思

“銳角的三角比的意義”課例教學揭示了數學史的六類教育價值。

（1）知識之諧。全等三角形、相似三角形主要從定性的角度研究了三角形的性質，而銳角三角比主要從定量的角度研究了三角形中邊與角的數量關系，奠定了銳角三角函數的學習基礎。借鑒20世紀早期美英教科書中的銳角三角函數的引入方式，設計校園“不可測問題”的學習活動，通過構造全等三角形、借助中位線或平行線等構造相似三角形等方式來分析問題、解決問題，體現了銳角三角比與相似三角形（包括全等三角形）的本質聯系，突出學習銳角三角比的必要性;正切、余切等銳角三角比隨著銳角的變化而變化，有助于理解銳角三角比是三角函數的雛形，體現知識之諧。

（2）方法之美。在“不可測問題”的解決過程中，展現了從一般到特殊的演繹推理（從一般三角形的相似到直角三角形的相似）與從特殊到一般的類比推理（從解直角三角形到解一般三角形）等數學思想方法的有機統(tǒng)一，培養(yǎng)學生有邏輯、有條理地分析問題、解決問題，揭示方法之美。

（3）探究之樂。通過活動探究，從多維角度將校園“不可測問題”轉化為“可測問題”進行深度分析，經歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程。發(fā)現當直角三角形中的銳角固定時，銳角α的對邊銳角α的鄰邊是一個定值;當直角三角形中的銳角變化時，銳角α的對邊銳角α的鄰邊比值也隨之變化，滲透函數思想，積累數學活動經驗，品味探究樂趣。

（4）能力之助。借助校園生活中的“不可測問題”情境，培養(yǎng)學生學會從不同的數學知識領域來分析問題、解決問題，這是綜合運用數字知識、技能、思想方法等進行數學抽象與邏輯推理（數學化）的過程。這不僅有助于培育學生進行數學表達與交流，發(fā)展問題解決能力，而且有效地提升了學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學學科核心素養(yǎng)。

（5）文化之魅?；?0世紀美英教科書中的銳角三角函數引入方式，展現中西方多元文化的交融。其次，通過播放微視頻，介紹江蘇常州天寧寺、復旦大學和上海交通大學等地的日晷，揭示銳角三角比在中國古代傳統(tǒng)計時器具日晷中的應用價值，貫古連今，傳承中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化。

（6）德育之效。情感方面，以“不可測問題”情境引導學生親近數學、發(fā)現數學、探究數學，引發(fā)學生學習動機，激起學習興趣;理性方面，綜合運用數學知識、方法等來分析、解決“不可測問題”，培育學生善于思考、嚴謹求實的理性精神;信念方面，引導探索日晷背后的數學本質與人文故事，增強文化自信。

參考文獻：

[1]余慶純，汪曉勤.基于數學史的數學文化內涵實證研究[J].數學教育學報，2020（3）：68-74.

[2]上海市教育委員會.上海市中小學數學課程標準（試行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3]盧成嫻，汪曉勤.20世紀上、中葉美英教科書中的銳角三角函數引入方式[J].中學數學月刊，2019（2）：45-48.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】王進敬，高級教師，上海市數學教育教學研究基地HPM工作室骨干成員;余慶純，華東師范大學數學科學學院在讀博士研究生，主要從事數學史與數學教育研究。

【基金項目】上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）