摘? 要：2021年高考數(shù)學北京卷的試題有五個特點：試題素材突出熱點，實現(xiàn)了數(shù)學與現(xiàn)實的結(jié)合;試題難度突出層次，實現(xiàn)了試題的選拔功能;試題求解突出通法，實現(xiàn)了對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查;試題設(shè)問突出創(chuàng)新，實現(xiàn)了高考積極引導教學的功能;試題考點突出綜合，實現(xiàn)了全面考查與重點考查的結(jié)合. 基于此，提出相應(yīng)的三點教學建議：突出應(yīng)用與實踐，幫助學生樹立良好的價值觀;突出過程與方法，提升核心素養(yǎng);突出綜合與創(chuàng)新，培養(yǎng)關(guān)鍵能力.

關(guān)鍵詞：熱點;層次;創(chuàng)新;通法;綜合

一、數(shù)學試題的新特點

與2020年相比，2021年高考數(shù)學北京卷的難度略有上升，試題素材貼近社會熱點，試題難度具有一定的層次性，試題求解思路突出通性、通法，試題設(shè)問比較靈活，試題考點突出綜合，從而較好地區(qū)分了各個層次的學生. 既為高校招生提供了較好的參考依據(jù)，又對中學數(shù)學教學起到了良好的導向作用，充分體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）的要求.

1. 試題素材突出熱點，實現(xiàn)了數(shù)學與現(xiàn)實的結(jié)合

數(shù)學與社會現(xiàn)實有密切的關(guān)系，《標準》要求引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界，2021年高考數(shù)學北京卷的試題對此有較好的體現(xiàn). 精心設(shè)計試題素材，緊抓社會熱點——建黨100周年與新冠肺炎疫情，實現(xiàn)了數(shù)學與現(xiàn)實的結(jié)合.

該題以黨旗、黨徽為背景，重點考查了等差數(shù)列、等式與方程等知識，2021年是中國共產(chǎn)黨誕辰100周年，這是政治生活中的一件大事，該題的素材就取材于這個社會熱點，展現(xiàn)了數(shù)學與社會生活之間的密切關(guān)系，是德育與數(shù)學的結(jié)合點，滲透了立德樹人的育人目標.

試卷第8題以研究降雨等級為背景重點考查了圓錐、圓柱及其體積計算、相似等知識，以及空間平面化、體積變換等重要方法. 引導學生用數(shù)學眼光觀察自然現(xiàn)象，實現(xiàn)了數(shù)學與自然現(xiàn)象的結(jié)合. 試卷第18題以“[k]合1”核酸檢測診斷新冠肺炎為背景考查了概率分布的相關(guān)知識，通過計算“[k]合1”檢測方式中的檢測次數(shù)，讓學生深深地體驗到“[k]合1”檢測可以節(jié)省人力和財力. 新冠肺炎疫情是每個人所關(guān)注的熱點，數(shù)學試題將其作為背景，實現(xiàn)了數(shù)學與社會現(xiàn)實的結(jié)合，突出了問題的現(xiàn)實情境，有利于考查數(shù)學學科核心素養(yǎng).

2. 試題考點突出綜合，實現(xiàn)了全面考查與重點考查的結(jié)合

追求試題的基礎(chǔ)性和綜合性是全面考查高中數(shù)學的基礎(chǔ)知識和通性、通法的需要，也是重點考查核心數(shù)學概念、定理、方法、思想的需要，有利于積極引導教學，對高中數(shù)學教學突出主干數(shù)學知識與方法有良好的導向作用. 整個試卷共21道題，覆蓋了大部分高中數(shù)學知識. 其中，綜合性較強的試題有第7題、第9題、第10題、第15題、第16題、第17題、第18題、第19題、第20題、第21題. 這給我們的教學提供了啟示，在學習新課和復習備考中，一定要按《標準》的要求，對整個高中數(shù)學的知識內(nèi)容做到全覆蓋，不能有任何盲點，不能出現(xiàn)忽略高考冷點的教學，也不能出現(xiàn)只重視高考熱點的教學. 在追求知識覆蓋面的同時，突出了重點知識與方法重點考查的目標. 例如，最值在第3題、第7題、第9題、第10題、第19題、第21題等題目中重復出現(xiàn). 第3題考查的是函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系;第7題考查的是二次函數(shù)與余弦函數(shù)組成的復合函數(shù)的最值問題;第9題考查的是與幾何背景相關(guān)的弦長的最值問題;第10題考查的是數(shù)列背景的最值問題;第19題考查的是與導數(shù)相關(guān)的最值問題，第21題考查的是與創(chuàng)新相關(guān)的最值問題，從不同的角度綜合考查了最值概念，這充分顯示了對重點概念的考查力度. 從數(shù)學思想方法角度看，多處出現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的考點，涉及數(shù)形結(jié)合思想的試題有第3題、第7題、第9題、第12題、第13題、第14題、第15題、第16題、第19題、第20題等，這又體現(xiàn)了重點方法重點考查的目標.

上述特點告訴我們，在教學與復習中，在追求全覆蓋的同時，還要突出重點知識與思想方法的教學. 對于《標準》要求的核心概念、主干知識、主干思想方法要重點突破，這樣才能適應(yīng)全面考查與重點考查的需要.

該題涉及橢圓的標準方程、橢圓的性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、絕對值不等式等考點，不但范圍較廣，而且均是解析幾何的重要知識點. 該題涉及的數(shù)學思想方法主要有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、坐標法、消元法、待定系數(shù)法等，體現(xiàn)了綜合性與基礎(chǔ)性，實現(xiàn)了對解析幾何全面考查與重點考查的結(jié)合.

3. 試題難度突出層次，實現(xiàn)了試題的選拔功能

高考的功能在于兩個方面：一是考查學生的知識掌握水平，二是為各高校招生提供數(shù)據(jù)支持. 這決定了高考試題需要具備選拔功能. 因此，試題要突出層次性和區(qū)分度. 2021年高考數(shù)學北京卷從以下幾個方面突出了層次性.

（1）選擇題的層次性.

第1題到第5題是基礎(chǔ)題，大多數(shù)學生有較好的表現(xiàn);第6題與第7題有一定的綜合性，可以區(qū)分學困生與中等生;第8題到第10題具有一定的難度，特別是第8題，學生需要較強的閱讀能力和數(shù)學建模能力，以及體積變換、空間平面化等數(shù)學方法，該題優(yōu)等生的表現(xiàn)較好.

（2）填空題的層次性.

第11題到第13題是基礎(chǔ)題;第14題是中檔題，考查三角函數(shù)的定義，具有較大難度;第15題是拔高題，整體難度較大，由于采取分層賦分（按選對結(jié)論個數(shù)分別記分，錯選記0分），顯示出了更好的區(qū)分度.

（3）解答題的層次性.

第16題到第21題的題號順序與難度順序基本一致，每道題又由2道小題或3道小題組成，每道小題難度不同. 例如，第18題第（1）小題第一問較基礎(chǔ)，只需讀懂試題即可計算檢測次數(shù)，第二問是對第一問的深化;第（2）小題具有較高的難度. 第20題在運算的環(huán)節(jié)上顯示出一定的層次性，沒有計算判別式或缺少數(shù)學運算能力都無法得出結(jié)果，較好地區(qū)分了不同層次的學生. 第21題的三個設(shè)問對于選拔學優(yōu)生起到了積極的作用.

整套試卷形成了“入口容易、循序漸進、螺旋上升、出口較難”的試題風格，實現(xiàn)了多題把關(guān)的局面，讓試題的層次性全方位地滲透到各種題型之中，從而取得了較好的區(qū)分度，較好地實現(xiàn)了試題的選拔功能.

4. 試題設(shè)問突出創(chuàng)新，實現(xiàn)了高考積極引導教學的目標

《標準》要求命題要充分考慮對教學的積極引導作用. 該套試題在設(shè)問方面具有一定的創(chuàng)新，對教學起到良好的引導作用. 例如，第9題是逆向設(shè)問，已知最小值求參數(shù)，重點考查學生的應(yīng)變能力和運算能力. 第14題是一個開放性問題，答案不唯一，給學生提供了一個構(gòu)造、選擇和實驗的空間. 第16題是結(jié)構(gòu)不良型問題，學生通過分析解三角形所需的條件，在所給的三個條件中選出一個，使之能唯一確定三角形，其間需要學生分析條件之間是否矛盾或者利用解三角形的三個條件中至少已知一個邊的基本事實（選①缺少邊的條件），在此基礎(chǔ)上做選擇才能唯一確定三角形，設(shè)問也較靈活，未直接求三角形的邊與角，而是求三角形一邊上的中線長. 這樣的設(shè)問提高了對學生分析問題能力的考查力度. 第17題第（1）小題本質(zhì)上是證明線線平行，在日常的練習中所遇到的習題均是直接設(shè)問，但是在本次高考中不直接設(shè)問，而是證明中點，考查了學生的應(yīng)變能力，是否能理解問題的本質(zhì)是解決該問題的關(guān)鍵. 第（2）小題是逆向設(shè)問，日常學生練習較多的相關(guān)題型均是順向問題，直接求二面角的余弦值，現(xiàn)在采取逆向設(shè)問. 第21題是整體上的創(chuàng)新問題，沒有固定的解題模式，重點考查了學生的抽象思維能力和推理論證能力，依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”無法應(yīng)對該題. 通過試題設(shè)問的創(chuàng)新給教學發(fā)出一個信號：通過大量的題型訓練未必能取得好的成績，只有讓學生真正掌握了高中數(shù)學主干知識與核心方法，才能在高考中取勝.

5. 試題求解突出通法，實現(xiàn)了對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查

“注重通性、通法，淡化解題技巧”一直是北京卷的優(yōu)良傳統(tǒng). 該套試題重點考查學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，沒有偏、難、怪問題，所涉及的數(shù)學知識均是高中數(shù)學的主干知識和后續(xù)學習必備的基礎(chǔ)知識，所涉及的方法都是高中數(shù)學方法的核心方法，實現(xiàn)了對數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)的考查.

綜觀整套試題，所涉及的主干知識有集合運算、復數(shù)運算、解不等式、二次函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值與極值、函數(shù)圖象、函數(shù)零點、導數(shù)的運算及其應(yīng)用、曲線的切線方程、充要條件與必要條件、基本立體圖形、空間直線與平面平行、二面角計算、等差數(shù)列、遞增數(shù)列、三角恒等變換、解三角形、直線、圓、雙曲線、拋物線、橢圓、概率分布、二項式定理、平面向量的運算、創(chuàng)新問題;所涉及的核心數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、或然與必然、邏輯推理、運動變化等;所涉及的數(shù)學方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、體積法、放縮法、基本量法、數(shù)學實驗法、圖形法、坐標法、消元法、構(gòu)造法等. 以這些數(shù)學知識和數(shù)學思想方法為載體，全方位、多層次考查了數(shù)學學科核心素養(yǎng). 詳見下表.

【評析】該思路重點考查數(shù)學運算素養(yǎng)，同時考查邏輯推理素養(yǎng).

解法3：（數(shù)學實驗法）依次驗證選項，將[m]的值代入題干進行驗證，淘汰錯解，發(fā)現(xiàn)正解.

【評析】該思路重點考查了邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象等素養(yǎng). 對數(shù)學實驗法的運用，應(yīng)該引起足夠重視，試卷第5題、第6題、第7題、第10題、第14題、第21題（實驗[+]證明）均可以用數(shù)學實驗法求解. 數(shù)學實驗是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論和方法的重要手段. 值得一提的是，用數(shù)學實驗發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，需要經(jīng)過嚴格證明，才能成為真命題.

通過例3可以看出，一道試題可能考查多個數(shù)學素養(yǎng). 不同的求解角度，重點考查的核心素養(yǎng)也可能不同.

二、教學建議

1. 突出應(yīng)用與實踐，幫助學生樹立良好的數(shù)學價值觀

《標準》強調(diào)數(shù)學與生活及其他學科的聯(lián)系，提升學生應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的能力. 在2021年高考數(shù)學北京卷中，有實際生活應(yīng)用情境的試題有第6題、第8題、第18題，有數(shù)學情境的試題有第9題、第10題、第14題、第15題、第16題、第19題、第21題等. 因此，在高中數(shù)學教學中，結(jié)合數(shù)學知識體系的要求，將數(shù)學應(yīng)用與實踐貫穿全程，包括實際生活應(yīng)用情境與數(shù)學情境的應(yīng)用，讓學生切身體會到數(shù)學是非常有用的科學，是學習其他科學的基礎(chǔ). 教師引導學生參加數(shù)學建?；顒?，使學生體驗數(shù)學建模的全過程，并結(jié)合知識特點，滲透傳統(tǒng)文化與現(xiàn)實熱點，實現(xiàn)數(shù)學與現(xiàn)實的結(jié)合，有利于幫助學生樹立良好的數(shù)學價值觀.

2. 突出過程與方法，提升學科素養(yǎng)

學生在日常學習數(shù)學基礎(chǔ)知識的過程中所掌握的數(shù)學思想方法是培養(yǎng)數(shù)學能力與數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵. 數(shù)學思想方法的運用和積累達到一定程度后，形成數(shù)學能力，并在學生內(nèi)在品質(zhì)的積極影響下，形成數(shù)學素養(yǎng). 因此，要培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，關(guān)鍵在于讓他們學好數(shù)學基礎(chǔ)知識，掌握基本思想方法. 在日常教學中滲透數(shù)學思想方法是高中數(shù)學教學中極其重要的環(huán)節(jié). 數(shù)學思想方法貫穿高中數(shù)學教學的全程，在數(shù)學知識的形成和數(shù)學問題解決的過程中，讓學生逐步體會和領(lǐng)悟思想方法的本質(zhì)，而不是空洞的理論傳輸. 在講數(shù)學知識和數(shù)學方法的過程中，要充分暴露其思維過程，特別是數(shù)學實驗的過程，讓學生在數(shù)學實驗中感受結(jié)論與方法形成的自然背景，可以更有效地領(lǐng)會結(jié)論和方法的本質(zhì). 例如，試卷第15題，函數(shù)零點問題就是用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的. 在解決過程中，不僅讓學生領(lǐng)會到使用數(shù)形結(jié)合方法的條件，而且讓學生領(lǐng)會其本質(zhì)：由代數(shù)式構(gòu)造圖形，由圖形抽象數(shù)量特征，即由數(shù)思形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合. 不能片面強調(diào)單方面的重要性，只有當兩方面形成合力時，才能完美解決問題. 在知識學習與解題過程中可以使學生掌握數(shù)學思想方法，所以要在基本活動經(jīng)驗中培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與數(shù)學素養(yǎng).

3. 突出綜合與創(chuàng)新，培養(yǎng)關(guān)鍵能力

在數(shù)學概念教學中，教師要將概念的多種形式的教學目標分散在教學的各個階段中. 例如，在上述例子中，等效形式2放在等差數(shù)列通項公式的教學中完成，等效形式3放在等差數(shù)列求和的教學中完成，否定形式放在數(shù)列復習課中進行. 這些形式的概括要在單元復習課中完成. 總之，在教學的各個階段中逐步實現(xiàn)數(shù)學概念多種形式的教學目標. 綜合不局限于知識本身的綜合，更重要的是各知識與方法之間的綜合，貫穿于新課教學、復習教學、解題教學的全程，形成主線.

創(chuàng)新是培養(yǎng)關(guān)鍵能力的重要途徑. 針對該試卷第10題、第15題、第21題的創(chuàng)新特點，求解過程中沒有固定模式可以模仿，需要創(chuàng)造能力、抽象能力、分析問題和解決問題能力的綜合參與. 這些能力的養(yǎng)成是一個長期的系統(tǒng)工程，不是短期行為，應(yīng)將培養(yǎng)解決創(chuàng)新問題的能力目標落實在日常教學過程中.

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