楊煥楓,隆廣慶

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣西 南寧 530100)

1 引言

工程和科學(xué)中的許多問題中都存在奇異積分,特別是在初值和邊值問題中.例如在電磁波和聲波散射問題中經(jīng)常出現(xiàn)對數(shù)奇異核([1,2]);另一個著名的例子是二維亥姆霍茲方程,它可以通過格林公式直接轉(zhuǎn)化為一個具有對數(shù)奇異核的積分方程([3]).奇異積分還出現(xiàn)在弱奇異積分算子的特征值問題中,比如文獻[4]提出了一種基于矩陣壓縮策略的弱奇異積分算子特征值問題的快速多尺度小波配置方法,最終得到了一個含奇異項的廣義矩陣特征值問題;文獻[5,6]則應(yīng)用邊界元的方法將微分方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程,得到了一個帶有特殊結(jié)構(gòu)的奇異核.因此,對此類積分的研究對工程和科學(xué)有著重要的意義.

在本文中,我們對多尺度逼近的背景下一類具有特殊結(jié)構(gòu)的奇異核函數(shù)進行分析,建立適合使用多尺度小波基函數(shù)的快速求積方法.該方法能在一定程度上減少奇異積分的計算成本.我們定義這一類二重對數(shù)奇異積分為

其中[a,b]×[c,d]?[0,1]×[0,1],并且wij是小波基函數(shù).

眾所周知,在很多情況下奇異積分是無法準確計算的,因此產(chǎn)生了很多特殊方法用于處理奇異積分問題.例如,文獻[7]提出了弱奇異積分的高斯型求積法則,并將該求積方法應(yīng)用到第二類弱奇異Fredholm積分方程中,得到離散的乘積積分方法.文獻[8]則主要是建立了一類在積分區(qū)域內(nèi)或附近具有奇點的函數(shù)的數(shù)值積分的變階復(fù)合求積公式,該數(shù)值方法具有指數(shù)收斂性.在文獻[7,8]的基礎(chǔ)上,文獻[9]分別給出了具有多項式階和指數(shù)階的數(shù)值積分方法,并提出了誤差控制策略,最后證明所給方法保證了收斂階，減小了計算復(fù)雜度.之后,為了讓求積法則適用于一般的奇異核類,文獻[10]在文獻[9]的研究基礎(chǔ)上,提出適用于具有兩個奇異點0和1的奇異函數(shù)的剖分方案的求積法則.對于弱奇異二重積分的計算,文獻[11]給出了一個簡單但有效的求積法則,文獻[12,13]也對該方法進行了研究.此外,文獻[14]還提出了一種計算具有奇異點{s-t=0}的二重奇異積分的自適應(yīng)數(shù)值積分方法.由于該方法具有快速求解的優(yōu)越性,在本文我們在該方法的基礎(chǔ)上,給出一種求解具有奇異點{s-t=0,±1}的二重奇異積分的自適應(yīng)數(shù)值積分方法.

近年來,乘積積分方法已廣泛應(yīng)用于計算奇異積分.例如,在文獻[15,16]中用于離散奇異積分算子.而文獻[5,6]為奇異核開發(fā)了一種特殊的乘積積分方法,利用其核函數(shù)的特殊結(jié)構(gòu)能夠開發(fā)一種比文獻[10]中使用的高斯求積法則更有效的方法.為此,他們首先采用了一種技術(shù),該技術(shù)在文獻[17,18]中用于建立求解具有非線性邊界條件的拉普拉斯方程和用于建立求解修正的亥姆霍茲方程的Fourier-Galerkin方法,對于矩陣中涉及的弱奇異積分的計算,他們利用乘積積分方法,即將弱奇異核分解為兩個核的和,其中一個是攜帶主奇點,具有簡單結(jié)構(gòu)特征的弱奇異核,另一個是光滑核.簡單奇異項能夠在多尺度基下通過顯式公式準確計算,而光滑項通過高精度求積方法計算,例如復(fù)合高斯勒讓德求積法則.

在本文的第二節(jié)中,我們主要介紹以往計算奇異積分的數(shù)值積分方法.在第三節(jié),我們重點對小波基函數(shù)進行數(shù)值處理,并給出線性小波基函數(shù)的構(gòu)造方法.在第四節(jié),針對一類對數(shù)奇異核,我們首先給出一種自適應(yīng)數(shù)值積分方法來計算對數(shù)二重奇異積分,然后再提出一種能夠準確計算出前面的二重對數(shù)奇異積分的乘積積分方法.最后一節(jié)給出的數(shù)值結(jié)果驗證了本文提出的方法的有效性.

2 奇異積分的幾種數(shù)值積分方法

在本節(jié)中,我們主要回顧幾個計算弱奇異積分的求積法則,為后面驗證算法的有效性做準備.

2.1 高斯勒讓德型數(shù)值積分方法

我們先回顧文獻[7]提出的弱奇異積分的高斯型方法.記Zm∶={0,1,…,m-1}.對于一個固定的正整數(shù)k,假設(shè)h∈C2k(0,1]且存在一個正常數(shù)c使得

|h(2k)(t)|≤c-σ-2k,t∈(0,1],σ∈[0,1).

現(xiàn)在考慮積分

使得Ij∶=[tj,tj+1],j∈Zm，是I∶=[0,1]的一部分.令

現(xiàn)在可以利用

2.2 多項式階數(shù)值積分方法

假設(shè)h(s,t)=K(s,t)wij(t),其中核函數(shù)K(s,t)在s處具有奇異性,wij是小波基函數(shù).同時還假設(shè)h具有下面的性質(zhì).

(I)Sij∶=supp(h)是I的一個子區(qū)間;

(II) 存在有限個點集π(h)∶={sj∶j-1∈Zm'-1}使得h∈C2k(I({s}∪π(h)));

(III) 存在一個正常數(shù)θ'使得|h(2k)(t)|≤θ'|t-s|-(σ+2k),t∈I({s}∪π(h)).

為了計算積分

選取與奇異點s相關(guān)聯(lián)的兩個節(jié)點集合

中的元素,并記它們?yōu)閝'=q0

Π(h)∶={Qα∶=[qα,qα+1]∶α∈Zm'}.

為插值點的k-1次拉格朗日插值多項式.類似地我們可以利用I(Sk)去逼近I(h),再根據(jù)文獻[9]中引理3.1，得到|Ek(f)|=O(m-2k).

可以看到,上面積分區(qū)間的剖分方案是適用于具有一個奇異點0的奇異函數(shù).因此,為了構(gòu)造一個更加適合奇異函數(shù)的數(shù)值積分,文獻[10]在上面方法的基礎(chǔ)上設(shè)計了適用于具有兩個奇異點0和1的奇異函數(shù)的剖分方案.由于其剖分點為

因此,我們可以將該方案用到上述方法中去.

2.3 指數(shù)階數(shù)值積分方法

同樣考慮計算積分I(h),為此,選擇一個新的區(qū)間剖分方案,即對于任意的γ∈(0,1),選取m+1個點

t0=0,tj=γm-j,j=1,2,…,m.

同樣,可以設(shè)計適用于具有兩個奇異點0和1的奇異函數(shù)的剖分方案.令

t0=0,tj=γm-j,j=1,2,…,m,以及tj=1-t2m-j,j=m+1,m+2,…,2m.

自然地也可以將這些剖分點應(yīng)用到上述方法中去.

2.4 弱奇異二重積分的數(shù)值積分方法

接下來,簡單回顧文獻[11]中弱奇異二重積分的求積方法.考慮積分

其中D∶=[a,b]×[c,d],函數(shù)f,g都是光滑函數(shù).

為了有效處理核函數(shù)在{(s,t):s-t=0,±1}上的奇異性,進行變量替換,令

則積分I等價于

并且

α(ξ)∶=max{2a-ξ,2c+ξ}和β(ξ)∶=min{2b-ξ,2d+ξ},

此時F(ξ,η)在點ξ=0,±1上具有奇異性,積分區(qū)域Ω∶={(ξ,η)∶|ξ|+|η-1|≤1}.

給定一個m>0,令

使用下面的4m+1個剖分點將區(qū)間[-1,1]劃分為4m個子區(qū)間,即

-1+xj,-xj,xj,1-xj,j=0,1,…,m.

我們按照遞增的順序?qū)@些剖分點重新排列,并記為ξi,i=0,1,…,4m,則

其中

需要注意的是,這里端點為奇異點0或±1的子區(qū)間被排除在計算之外.

在積分域為D=[a,b]×[c,d]的一般情況下,使用上述位于區(qū)間[a-d,b-c]內(nèi)的剖分點,并重復(fù)上述過程.在這種情況下,還將端點a-d和b-c以及Ω的其他兩個頂點的ξ坐標(biāo)添加到剖分點中.

其中Δξ=(β(ξ)-α(ξ))/mξ,而ui和wi則分別對應(yīng)勒讓德多項式在[-1,1]上的零點和零點所對應(yīng)的權(quán)重.

3 小波基函數(shù)的數(shù)值處理

我們知道,小波基函數(shù)不僅具有分片光滑性,而且還擁有有局部緊支集的良好性質(zhì),這驅(qū)使我們發(fā)展一種基于小波基函數(shù)的弱奇異積分的乘積積分方法,從而在實際應(yīng)用中能大大地減少計算奇異積分的時間.接下來我們將對小波基函數(shù)進行數(shù)值處理,為我們下一節(jié)建立乘積積分方法做準備.

對于任意的i=0,j∈Zw(i),w0j是一個r次多項式.因此,我們可以把w0j寫成下面的形式：

對于任意的i>0,j∈Zw(i),小波基函數(shù)wij是分片r次多項式.根據(jù)基函數(shù)wij的構(gòu)造,對于任意的(i,j)∈Un,支撐集Sij可以被剖分成μ個子區(qū)間,即

Ωκ=(aκ,bκ),κ∈Zμ,

且在每個子區(qū)間上wij是r次多項式.因此,我們可以把wij寫成

下面我們給出小波基函數(shù)的一個具體例子,為了簡單,本文只考慮線性小波基函數(shù)(參考文獻[11]).假設(shè)μ=2且選擇以j/2n,j=1,2,…,2n-1為節(jié)點的[0,1]上的分片線性多項式的空間Xn.我們選擇空間X0的基函數(shù)為

以及W1的基函數(shù)為

而空間Wi(i≥2)的基函數(shù)可以通過下式遞歸生成:

4 奇異積分的快速求積算法

在本節(jié)中, 我們首先給出對數(shù)奇異積分的自適應(yīng)數(shù)值積分方法, 最后針對目標(biāo)核函數(shù)進行討論分析, 建立一種高效且準確的乘積積分方法.

4.1 自適應(yīng)數(shù)值積分方法

本小節(jié)主要考慮奇異積分

其中核函數(shù)K(s,t)在{(s,t)∶s-t=0,±1}上具有奇異性.我們給出的方法的主要思想是根據(jù)被積函數(shù)的奇性對積分區(qū)間設(shè)計一套剖分方案, 然后運用復(fù)合非均勻高斯勒讓德積分公式計算被積函數(shù)在每個子區(qū)間上的積分， 選取的求積節(jié)點數(shù)目在每個子區(qū)間上不同.該方法具有指數(shù)階收斂性.

為此, 我們首先需要作類似于2.4節(jié)中的變量替換, 在此我們不再贅述.接下來我們對區(qū)間[0,1]剖分：

t0=0,tj=γm-j,j=1,2,…,m, 以及tj=1-t2m-j,j=m+1,m+2,…,2m.

定義一個點集:

Πγ,m∶={-1+xj,-xj,xj,1-xj∶j∈Zm+1}，

令

T∶=(Πγ,m∩{a-d,b-c})∪{a-d,b-c,a-c,b-d}.

按照遞增順序重新排列集合T中的元素, 并記它們?yōu)閜'=p0

Π∶={Pβ∶=[pβ,pβ+1]∶β∈Zm''}.

為插值點的kj-1次拉格朗日插值多項式.至此,我們可以使用I(Sk)去逼近I(h).而對于正常積分h(ξ), 我們同樣采用在2.4節(jié)中所描述的方法.

4.2 乘積積分方法

在這一小節(jié)里, 我們重點解決基于小波基函數(shù)的二重奇異積分

其中,K(s,t)∶=log(|s-t‖s-t-1‖s-t+1|),Sij∶=supp(wij),Si'j'∶=supp(wi'j')，的求積問題.

根據(jù)在第3節(jié)對小波基函數(shù)的討論我們定義以下特殊積分.對于γ∈Zr,α∈∑∶={-1,0,1}以及a,b∈[0,1]且a

引理4.1若γ∈Zr,α∈以及a,b∈[0,1]且a

證明作分部積分可得

對于右邊第二項的積分有

使用引理4.1中的積分公式, 我們可以準確計算下面兩個奇異積分：

和

在引理4.1的基礎(chǔ)上, 我們可以發(fā)展一種能夠準確求解基于小波基函數(shù)的二重奇異積分的求積方法.

對于小波基函數(shù)wi'j'(s), 我們同樣可以寫成下面的形式：

對于γ,η∈Zr,α∈Σ∶={-1,0,1}以及a,b,c,d∈[0,1]且a

引理4.2若γ,η∈Zr,α∈以及a,b,c,d∈[0,1]且a

證明由引理4.1以及二項式定理可知

再對上式進行積分, 我們即可證得結(jié)論.

使用引理4.2中的積分公式, 我們可以準確計算下面四個二重奇異積分：

5 數(shù)值實驗

在這一節(jié)中,我們給出使用上一節(jié)的乘積積分方法的兩個數(shù)值例子.我們首先根據(jù)乘積積分方法去求奇異積分的準確解,然后將該解用到傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法中去計算誤差,并根據(jù)該誤差計算出對應(yīng)的收斂階,以此來驗證我們方法的有效性.同時我們使用k=2的高斯求積作為奇異積分的數(shù)值評估.由于所考慮的都是對數(shù)型奇點的核函數(shù)K(s,t),因此，我們?yōu)榉e分區(qū)間剖分方案選擇參數(shù)q=5或γ=0.17.

對于數(shù)值積分方法,我們給出兩個計算收斂階的公式：

另外,還記計算奇異積分所需的秒數(shù)為CT，我們所有的實驗都是在具有2.2GHz頻率和4G運行內(nèi)存的個人計算機中執(zhí)行,并且使用Fortran語言進行編程.

例1考慮積分

其中s=0.7.

利用乘積積分方法的顯示公式,我們可以算得該奇異積分的準確解

I=-0.509 072 604 871 587 324 597 313 488 200 213,

其執(zhí)行時間<0.01秒.數(shù)值結(jié)果列在表1和表2中.

表1 多項式階數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

表2 指數(shù)階數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

從表1、表2可以清楚地看到, 乘積積分方法給出了一維對數(shù)弱奇異積分的準確解, 并且計算速度比傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法快得多.

例2考慮積分

類似于例1, 我們算得準確解I=-0.477 411 277 760 219 301 121 078 492 187 340(執(zhí)行時間<0.01秒).數(shù)值結(jié)果列在表3和表4中.

表3 文獻[11]中的數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

表4 自適應(yīng)數(shù)值積分方法的數(shù)值結(jié)果

從表3、表4可見，對于二維對數(shù)弱奇異積分的計算, 在同樣的精度下, 本文所建立的自適應(yīng)數(shù)值積分方法以及乘積積分方法都比文獻[11]中的數(shù)值積分方法高效且容易在計算機上實現(xiàn). 這說明了本文給出的自適應(yīng)數(shù)值積分方法以及乘積積分方法是有效的.