王文義，趙繼源，何 男，朱惠英

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 南寧 530100)

1 問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)》把運算能力作為十大核心概念之一，作為各種運算的基礎(chǔ)，口算和心算受到教育者們的高度關(guān)注。Logie等人采用雙任務(wù)實驗范式發(fā)現(xiàn)心算受工作記憶影響。Wanner和Shine研究發(fā)現(xiàn)加數(shù)和被加數(shù)的位數(shù)越多，口算就越困難。[1]那么，工作記憶對心算和口算有哪些影響？工作記憶如何影響中學(xué)生的運算？這些問題值得我們做進一步的研究。

以往的研究中，李曉東研究了工作記憶對小學(xué)三年級學(xué)生解決比較問題的影響[2]，王明怡等人研究了工作記憶對兒童的算術(shù)認(rèn)知加工產(chǎn)生的影響[3]，陳英和等人研究了工作記憶廣度對兒童算術(shù)認(rèn)知策略的影響[4]，華巧云等人研究了工作記憶廣度對小學(xué)生算術(shù)應(yīng)用題解決的影響[5]，Daneman等設(shè)計了閱讀廣度測驗來研究工作記憶對閱讀理解的影響[6]，代曼等人分析了工作記憶負荷和自動化提取對小學(xué)生加法心算策略執(zhí)行效果的影響[7],連四清等人研究了工作記憶在簡單指數(shù)乘法等式判斷中的作用[8]。

從研究內(nèi)容來看，工作記憶對運算影響的研究更多側(cè)重于實數(shù)的加減，缺少對代數(shù)式和方程等內(nèi)容的研究。從研究對象看以往的研究只涉及小學(xué)，缺少對初中的研究。從研究領(lǐng)域來看，關(guān)于工作記憶的研究目前只涉及記憶廣度，缺少對工作記憶加工和存儲的整體研究。因此，研究工作記憶對初中生運算能力的影響可以彌補相關(guān)領(lǐng)域的空白。

2 概念的界定及模型構(gòu)建

2.1 概念界定

(1) 心算與口算

心算和口算都是指不借助計算工具，在人的頭腦中直接算出結(jié)果的計算。本研究的心算是指以視覺形式呈現(xiàn)題目，被試者看著測試卷的題目，不借助筆算或者其他計算工具在頭腦中算出結(jié)果后寫在測試卷上?？谒闶侵敢月犛X形式呈現(xiàn)題目，主試口述題目，被試聽到試題后，不借助任何外在的手段，只通過頭腦計算后直接說出結(jié)果。心算和口算最大的不同是獲取試題的方式不同，心算是通過視覺獲取題目，口算是通過聽覺獲取題目。

(2) 工作記憶

工作記憶(working memory)是對信息進行暫時性加工和儲存的、能量有限的系統(tǒng)。[9]根據(jù)巴德利和黑欽最早提出的工作記憶的概念，工作記憶不僅僅是一個記憶系統(tǒng),也代表一種對信息進行同時加工和儲存的能力。

(3)工作記憶負荷

根據(jù)認(rèn)知負荷理論，個體在進行運算的過程中對信息進行同時加工和儲存的荷載信息量稱為工作記憶負荷。[10]為了衡量工作記憶負荷量大小，Tuner和Engle用不同數(shù)位的數(shù)字相加來衡量工作記憶廣度。Tows和Hitch用計數(shù)廣度來比較工作記憶的容量大小。用計數(shù)廣度和數(shù)位相加來衡量運算能力忽視了進退位對運算的影響。John和Graham將運算分為進位加法與不進位加法，并沒有考慮進退位次數(shù)對運算的影響。各學(xué)者采用的衡量標(biāo)準(zhǔn)各不相同，因此需要一個更具普遍意義的模型來衡量工作記憶對運算的影響。

2.2 模型的構(gòu)建

(1) 引入變量

根據(jù)巴德利和黑欽的資源-共享模式，工作記憶過程是一個在不同的加工和貯存任務(wù)上靈活地部署能量的過程。[11]本研究我們引入M、P兩個變量，對運算題目進行工作記憶負荷量的測評，M(Memory)表示個體一次活動中能同時記憶并暫時存儲的項目數(shù)。P(Procession)表示頭腦對已經(jīng)進入記憶的項目進行運算等操作的累計次數(shù)。用M+P來衡量工作記憶負荷的大小，此設(shè)定符合工作記憶系統(tǒng)的特點，兼顧了暫時存儲與加工兩個方面。

(2)M值和P值的界定

運算過程是動態(tài)的思維過程，在運算的每個階段M和P在不斷變化。[12]心算與口算的計算策略和操作過程各不相同，如何建立一個統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)來確定M和P是一大難點。數(shù)字的拆分過程、臨時存儲結(jié)果和后來記憶對原有記憶的覆蓋等會使M和P發(fā)生變化。

為了量化工作記憶對心算和口算的影響，在測試題的編制中對M和P進行操作性定義：M取能同時記憶并暫時存儲項目數(shù)的最大值，即M=max{M1,M2,M3,…,Mn}(其中n為運算階段)；P為運算過程中中央執(zhí)行器的累計加工次數(shù)。為避免重復(fù)統(tǒng)計，對P值進行如下規(guī)定：(a)M值中已經(jīng)統(tǒng)計過的項目，即使在運算過程中需要暫時加工，也不再納入P值的統(tǒng)計。(b)通常情況下進位、退位、約分、移項、合并同類項、消元等操作都納入中央執(zhí)行器的加工項目數(shù)統(tǒng)計。每操作一次，加工的次數(shù)增加一次。(c)特別簡單的題目和長時記憶的題目不納入加工項目的統(tǒng)計。例如：1.22，學(xué)生可以直接從長時記憶中提取信息，不需要加工運算。

(3) 心算和口算模型的構(gòu)建

M為同時記憶并暫時存儲項目數(shù)的最大值，用來衡量能同時記憶并暫時儲存的最大信息記憶容量，P為運算過程中中央執(zhí)行器的累計加工次數(shù)，用來衡量工作記憶中信息加工的負荷量。根據(jù)工作記憶的定義，個體在進行運算的過程中對信息進行同時加工和儲存的荷載信息量。[13]為了量化工作記憶對學(xué)生心算、口算的影響，用同時記憶并暫時存儲的項目數(shù)與信息加工的累計次數(shù)之和M+P來表示完成該題所需要的工作記憶負荷量。

由于M+P值表示完成計算題所需要的工作記憶負荷量，因此測試題需要經(jīng)過嚴(yán)格按以下規(guī)則進行的篩選。(a) 測試的題目都是計算題。(b) 測試的題目不能使用簡單算法。(c) 測試的題目只能有唯一確定的解法，或者其它解法所需的工作記憶負荷相同。(d) 該年級段本應(yīng)該記住的公式和口訣，不納入工作記憶負荷的統(tǒng)計范疇。例如122、平方差公式和完全平方公式等。(f) 測試題的篩選需要經(jīng)過學(xué)生和教師的共同努力。先進行預(yù)測和預(yù)訪談，了解學(xué)生思考的方法和做題的每一步以及易錯的題目，之后將非工作記憶原因易錯的題目剔除掉。

(4) 心算和口算模型的統(tǒng)一

心算和口算都是指不借助計算工具，在人的頭腦中直接算出結(jié)果的計算。無論是通過聽覺系統(tǒng)獲取的信息還是通過視覺系統(tǒng)獲取的信息，最終都會被轉(zhuǎn)化為大腦中的短時記憶信息暫時存儲起來。為了統(tǒng)一心算和口算模型，只考察學(xué)生獲取信息之后，信息在大腦中的記憶存儲和加工過程。因為心算和口算的區(qū)別在于獲取信息的方式不同，而進行心算和口算的前提條件是學(xué)生能夠真正地獲取信息，即能看懂和聽懂題目，因此，如果學(xué)生沒有聽懂題目，測試人員可以再重復(fù)一遍，確保學(xué)生聽懂題目。

工作記憶負荷研究關(guān)注的是個體在獲取信息之后，在頭腦中對信息進行同時加工和儲存的荷載信息量，因此個體在這一階段的心算、口算的操作是相同的。心算和口算最大的區(qū)別在于，心算不需要記憶題目，而口算需要記憶題目。因此對于同一道題，口算的工作記憶負荷大于心算的工作記憶負荷，這也是口算比心算難的原因之一。

(5) 工作記憶負荷水平的劃分

經(jīng)過初測和初次訪談后，根據(jù)答題情況和M+P的值，刪除非工作記憶原因出錯的題目和準(zhǔn)確率過高的題目。根據(jù)對學(xué)生的正式訪談情況，確定M和P的值。為了將實驗結(jié)果展現(xiàn)得更加簡潔明了，對M+P的數(shù)值進行劃分，將題目最終化為三個維度，如表1.

表1 M+P維度劃分

3 研究方法

3.1 調(diào)查對象與手段

本次調(diào)查研究取樣于桂林市一所普通初中，選取七至九年級進行心算和口算測試。根據(jù)期中和期末考試的平均分，確定測試班級前10名為優(yōu)秀生，后10名為學(xué)困生，其他學(xué)生為中等生。每個年級隨機抽一個班參加心算測試和口算測試。心算和口算測試結(jié)束后根據(jù)測試情況選取優(yōu)秀生、中等生、學(xué)困生各2人(共6人)進行訪談。在正式測試之前先進行預(yù)測試和預(yù)訪談，了解學(xué)生情況，篩選題目。預(yù)測試、預(yù)訪談的安排和正式測試、正式訪談一樣。進行過預(yù)測的班級不再進行正式測試。

3.2 測試卷的編制

(1) 試卷的測試題經(jīng)過了嚴(yán)格篩選，在選題時會預(yù)測每道題的M+P值和學(xué)生可能的做法，根據(jù)劃分的M+P維度,選用相應(yīng)的預(yù)測題目。

(2) 根據(jù)預(yù)測試題和預(yù)訪談的結(jié)果，刪除可簡便運算的題目，刪除過于簡單或過于復(fù)雜的題目，刪除有多種解題方法的題目，刪除M+P值無法確定的題目。

(3) 正式測試題充分考慮了學(xué)生的心算和口算能力的差異，編制了七年級心算測試題、八年級心算測試題、九年級心算測試題、七年級口算測試題、八年級口算測試題、九年級口算測試題。

(4) 由表2可知：6套測試卷Cranbachα系數(shù)均達到了0.8，KMO和Bartlett球形檢驗達到了0.6以上，試卷的信度達到要求，效度較好。

表2 信效度檢驗

(5) 測試題和測試的特點：第一，根據(jù)不同年級學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平不同，每個年級各一套心算和口算測試題。第二，為了比較相鄰年級的心算工作記憶負荷，各年級都有20%以上的題目與低一年級的題目相同或相似。第三，心算和口算測試都采用計時法。

3.3 實施過程

(1) 心算測試

心算測試只能看試卷題目直接寫出答案，不能筆算或運用計算器算，不得用草稿紙演算。測試采取計時法，答完卷子后立即舉手交卷，監(jiān)考員記錄答題所用時間。答題時間最長不得超過15分鐘。

(2) 口算測試和訪談

根據(jù)學(xué)生期中和期末考試成績隨機抽取成績優(yōu)秀生、中等生、學(xué)困生各兩人(共6名)進行口算測試和訪談。訪談包括口算訪談和心算訪談，記錄學(xué)生做題的步驟和方法，答錯的題目問清楚錯因和在哪一步出錯。口算測試和訪談全程錄音。

(3) 數(shù)據(jù)整理

整理與匯總測試結(jié)果，整理好每個年級的試卷和錄音材料。對試卷進行批改，統(tǒng)計正確率。去掉無效試卷后，將學(xué)生的答題情況按年級進行統(tǒng)計。將數(shù)據(jù)導(dǎo)入spss25進行均值和方差分析。

4 工作記憶負荷的測試結(jié)果及分析

4.1 心算的測試結(jié)果及分析

(1) 不同層次學(xué)生在不同工作記憶負荷題目下心算的比較

以八年級為例，對不同層次的學(xué)生進行單因素方差分析。

由表3可知：心算低、中、高負荷題目的顯著性均大于0.05，所以方差齊性?？梢赃M行ANOVA方差分析。

表3 方差齊性檢驗

由表4 ANOVA 方差分析結(jié)果知：對于低負荷的題目，不同層次的學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間具有顯著性差異(F=22.35，R2=1.21，p<0.05)。對于中負荷的題目，不同層次的學(xué)生心算準(zhǔn)確率有統(tǒng)計學(xué)差異(F=17.57,R2=0.97,p<0.05)。對于高負荷的題目，不同層次的學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間也具有統(tǒng)計學(xué)差異(F=17.06,R2=0.60,p<0.05)。根據(jù)效應(yīng)量R2得知，隨著負荷的升高，不同層次學(xué)生心算成績的差距在加大。

表4 ANOVA方差分析

由表5可知：(1) 對于低負荷的題目，優(yōu)秀生與中等生、優(yōu)秀生與學(xué)困生、中等生與學(xué)困生之間心算準(zhǔn)確率均具有顯著性差異(p值均小于0.05)。(2) 對于中負荷的題目，優(yōu)秀生與中等生、優(yōu)秀生與學(xué)困生、中等生與學(xué)困生間也都有顯著性差異(p值均小于0.01)。在低負荷和中負荷的題目上，學(xué)生的心算成績分化很明顯。優(yōu)秀生的準(zhǔn)確率非常高，學(xué)困生的準(zhǔn)確率很低。(3) 對于高負荷的題目，優(yōu)秀生與中等生，優(yōu)秀生與學(xué)困生間的高負荷心算準(zhǔn)確率均有顯著性差異(p<0.05)，而中等生與學(xué)困生在高負荷心算準(zhǔn)確率上不存在統(tǒng)計學(xué)差異(p>0.05)。中等生與學(xué)困生在面對高負荷題時受工作記憶影響程度相近，主要受到工作記憶負荷量大的干擾，心算準(zhǔn)確率偏低。

表5 LSD多重比較

從均值來看，隨著題目負荷的增加，八年級優(yōu)秀生和中等生的準(zhǔn)確率都在不斷下降，中等生在中、高負荷題目上的準(zhǔn)確率下降幅度最大，優(yōu)秀生在中、高負荷題上的準(zhǔn)確率降幅也非常明顯。由此可知隨著題目負荷量增加，心算受工作記憶的影響會增大。學(xué)困生的準(zhǔn)確率隨著題負荷的增加，先上升后下降。從均值差來看，隨著題目負荷的增加，中等生與優(yōu)秀生之間的差距在逐漸加大，而中等生與學(xué)困生的差距在不斷縮小，最終趨近于0。

通過訪談得知，學(xué)困生的準(zhǔn)確率之所以出現(xiàn)先升高后下降的反?，F(xiàn)象是因為：在熟練程度上，中負荷題目與平時作業(yè)難度相差不大，因此學(xué)困生的準(zhǔn)確率升高，低負荷的題目雖然簡單，但缺乏練習(xí)，錯誤率增大；在學(xué)習(xí)態(tài)度上，學(xué)困生不認(rèn)真對待低負荷題目，錯誤率很高，而稍有難度的中等負荷的題目才引起學(xué)生的重視，正確率有所升高；在記憶水平上，學(xué)困生受高負荷題工作記憶容量的限制，準(zhǔn)確率降低。

(2) 相鄰兩個年級在不同負荷題目下的比較

八、九年級心算題目的相似率達到60%，因此可以對八、九兩個相鄰年級在不同記憶負荷題上的準(zhǔn)確率進行比較。由于兩獨立樣本的方差不齊，故采用Mann-Whitney秩和檢驗。

表6和表7表明：(1) 在低負荷題目上，八年級的心算準(zhǔn)確率(平均秩=55.22，秩和=2 926.50)與九年級的心算準(zhǔn)確率(平均秩=45.18，秩和=2 123.50)沒有顯著性差異(U=777.50,p=0.30>0.05)。(2) 在高負荷題目上，八年級的心算準(zhǔn)確率(平均秩=55.02，秩和=2 916.00)與九年級的心算準(zhǔn)確率(平均秩=45.40，秩和=2134.00)沒有統(tǒng)計學(xué)差異(U=859.50，p=0.76>0.05)。(3) 在中負荷題目上，八年級的心算準(zhǔn)確率(平均秩=55.76，秩和=2 955.50)與九年級的心算準(zhǔn)確率(平均秩=44.56，秩和=2 094.50)具有顯著性差異(U=359.00，p<0.05)，根據(jù)平均秩次進一步知，對于中負荷的題目，八年級心算準(zhǔn)確率高于九年級心算準(zhǔn)確率。

表6 檢驗統(tǒng)計

表7 秩和檢驗

通過訪談得知：(1) 八年級的心算準(zhǔn)確率高于九年級的心算準(zhǔn)確率是因為，八年級的學(xué)生正在學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容，對平方差公式和完全平方公式記憶深刻，而九年級上學(xué)期主要學(xué)習(xí)平面幾何，缺乏對相關(guān)內(nèi)容的練習(xí)，許多學(xué)生反映他們對平方差公式和完全平方公式記憶有所遺忘，因此九年級中負荷心算的準(zhǔn)確率低于八年級。(2) 高負荷題目兩年級心算準(zhǔn)確率沒有差異是因為，八、九年級的學(xué)生都受高負荷題工作記憶影響較大。學(xué)生記憶水平相近，題目所需的記憶量增大時，學(xué)生的記憶容量不足，都容易出錯。

4.2 工作記憶負荷的口算測試結(jié)果及分析

(1) 同一年級不同層次學(xué)生口算測試結(jié)果對比

以八年級為例，對八年級學(xué)生在不同負荷題目上的口算準(zhǔn)確率進行單因素方差分析。得到結(jié)果如表8。

表8 方差齊性檢驗

由表8可知：口算低、中、高負荷題目的顯著性均大于0.05，所以方差齊性。可以進行ANOVA方差分析，如表9。

表9 ANOVA方差分析

由表9 ANOVA 方差分析結(jié)果知：對于低負荷的題目，不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率之間具有顯著性差異(F=74.79，R2=0.26，p<0.05)。對于中負荷的題目，不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率有統(tǒng)計學(xué)差異(F=66.50,R2=0.35,p>0.05)。對于高負荷的題目，不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率之間也具有統(tǒng)計學(xué)差異(F=2.59,R2=0.24,p<0.05)。根據(jù)效應(yīng)量R2得知，在中負荷的題目上不同層次學(xué)生口算成績的差距最大。

由表10可知：(1) 對于低負荷的題目，優(yōu)秀生與中等生口算準(zhǔn)確率沒有顯著差異(p>0.05)，中等生與學(xué)困生口算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(p<0.05)。(2) 對于中負荷題目，優(yōu)秀生與中等生口算準(zhǔn)確率有顯著性差異(p<0.05)，中等生與學(xué)困生口算準(zhǔn)確率有顯著性差異(p<0.05)。(3) 對于高負荷的題目，優(yōu)秀生與中等生、優(yōu)秀生與學(xué)困生、中等生與學(xué)困生口算準(zhǔn)確率沒有顯著性差異(p值均大于0.05)。

表10 八年級不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率(LSD多重比較)

從均值來看：(1) 隨著記憶負荷的增加，學(xué)困生口算準(zhǔn)確率變動幅度不大，優(yōu)秀生口算準(zhǔn)確率一直保持在較高水平，中等生在高負荷題上的準(zhǔn)確率下降幅度最大。說明工作記憶負荷對中等生影響最明顯。(2) 在低負荷的題目上，優(yōu)秀生與中等生口算準(zhǔn)確率差距較小，中等生與學(xué)困生的口算準(zhǔn)確率差距較大；在中負荷的題目上，學(xué)生的分化較為明顯，優(yōu)秀生口算準(zhǔn)確率最高達到100%，學(xué)困生口算準(zhǔn)確率最低。

表11 中等生中負荷題的答題情況

(2) 相鄰兩個年級在不同負荷題目下的比較

為了比較相鄰兩個年級學(xué)生在口算測驗中的答題情況，選取七、八年級相同的題目進行對比分析，如表12、表13。

表12 檢驗統(tǒng)計量a

表13 秩和檢驗

表12和表13表明：(1) 在低負荷題目上，七年級的口算準(zhǔn)確率與八年級的口算準(zhǔn)確率沒有顯著性差異(p=0.74>0.05)。(2) 在高負荷題目上，七年級的口算準(zhǔn)確率與八年級的口算準(zhǔn)確率沒有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.33>0.05)。(3) 在中負荷題目上，七年級的口算準(zhǔn)確率和八年級的口算準(zhǔn)確率沒有統(tǒng)計學(xué)差異(p=1.00>0.05)。根據(jù)平均秩次進一步知，在低、中負荷口算題上，八年級學(xué)生的準(zhǔn)確率高于七年級；而在高負荷口算題上，七、八年級學(xué)生的準(zhǔn)確率相同。

表14 相鄰兩個年級在不同負荷口算題目下的比較

表15 正態(tài)檢驗

表16 配對樣本t檢驗

4.3 心算與口算測試結(jié)果的對比

(1) 同一年級的學(xué)生在不同負荷題目上的心算和口算對比

以七年級為例進行心算成績和口算成績對比分析。從測試班級選取優(yōu)秀生、中等生、學(xué)困生各10人(共30名)進行心算和口算對比分析。根據(jù)分析結(jié)果，選取反常類型的學(xué)生進行訪談。以30名學(xué)生為例，對口算、心算在不同負荷題目上的準(zhǔn)確率進行Shapiro-Wilk正態(tài)檢驗得到表15。

p值越大，樣本越服從正態(tài)分布。p>0.05時，我們就可以得到數(shù)據(jù)分布符合正態(tài)分布的結(jié)論。由表15可知，p值均大于0.05，因此口算、心算在不同負荷題目上的準(zhǔn)確率服從正態(tài)分布，可以進行配對樣本作t檢驗。

表16是在不同工作記憶負荷題上的心算和口算準(zhǔn)確率對比分析。運用配對樣本t檢驗對30名學(xué)生在不同負荷題目上的心算和口算準(zhǔn)確率進行比較分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在低負荷題上的口算和心算準(zhǔn)確率無顯著性差異(t(5)=1.38,p=0.23>0.05)，學(xué)生在中負荷題下的口算和心算準(zhǔn)確率無顯著性差異(t(5)=1.73,p=0.14>0.05)，學(xué)生在高負荷題上的口算和心算準(zhǔn)確率無顯著性差異(t(5)=0.62,p=0.57>0.05)。為了進一步檢驗心算準(zhǔn)確率與口算準(zhǔn)確率之間到底有怎樣的聯(lián)系，在同一負荷題目下是不是心算成績越好，口算成績也越好呢？帶著這樣的問題，進行進一步研究。

通過計算心算準(zhǔn)確率與口算準(zhǔn)確率在不同負荷題目上的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，進行心算與口算的相關(guān)性分析。由表17可知，對于低負荷的題目，心算與口算準(zhǔn)確率有較強的正向的相關(guān)關(guān)系(ρ=0.85，N=21，p<0.05)，心算成績越好，口算成績越高；對于中負荷的題目，心算與口算準(zhǔn)確率有很強的正向的相關(guān)關(guān)系(ρ=0.86，N=21，p<0.05)，心算準(zhǔn)確率高，口算準(zhǔn)確率也會越高；對于高負荷題的題目，心算準(zhǔn)確率與口算準(zhǔn)確率的相關(guān)性不顯著(ρ=0.79，N=21，p>0.05)。研究發(fā)現(xiàn)對于高負荷題，心算準(zhǔn)確率高的學(xué)生，口算準(zhǔn)確率不一定高。為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？下面選取6名反常類型的同學(xué)來進行訪談和研究。

表17 配對樣本相關(guān)性

由表18可見：在高負荷題目中，優(yōu)秀生A不僅心算的準(zhǔn)確率高，口算的準(zhǔn)確率更是達到了100%。優(yōu)秀生B雖然心算準(zhǔn)確率高達70%，但口算準(zhǔn)確率卻很低，只有33%。學(xué)生A和學(xué)生B學(xué)習(xí)成績優(yōu)異，可是兩人的口算成績差距非常大。中等生C和D的心算準(zhǔn)確率同為40%，可是口算準(zhǔn)確率相差較大，分別為67%、33%。學(xué)困生E和F都答不出高負荷心算題。為什么學(xué)生B的口算準(zhǔn)確率這么低？學(xué)困生E和F為何答不出來？為什么學(xué)生C與學(xué)生D的心算準(zhǔn)確率相同，而口算準(zhǔn)確率差距這么大呢？

表18 高負荷題目答題狀況

經(jīng)訪談知：(1) 學(xué)生B說他對心算試卷上的數(shù)學(xué)符號語言能夠很快地理解，但對于聽到的口算數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言理解困難。出現(xiàn)這樣情況的其中一個重要原因是學(xué)生B平時只重視做題，沒有養(yǎng)成熟讀課本的習(xí)慣，對數(shù)學(xué)語言表達不夠重視?？谒阈枰獙⒙牭降臄?shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為頭腦中的符號語言，而心算可以直接將看到的數(shù)學(xué)文字和符號語言在頭腦中加工，如果學(xué)生沒有養(yǎng)成正確的數(shù)學(xué)語言表達習(xí)慣，會對口算的題目不理解。(2) 與學(xué)生C交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生C對聽到的語音信息記憶不深刻，誤把加號記成減號。工作記憶的語音環(huán)路系統(tǒng)包括兩個部分，一個是語音存儲，另一個通過默讀重新激活消退著的語音存儲。學(xué)生C在默讀題目時誤把加號讀為減號，導(dǎo)致后面運算出錯。因此語音回路影響著學(xué)生口算的答題準(zhǔn)確率。心算可以通過視覺保持對題目記憶，不需要占用工作記憶容量，而口算只能不停默讀題目從而保持對語音信息的記憶。(3) 中等生D說3a-a+5a+a=需要記憶的字母太多，記不住導(dǎo)致出錯。如果這道題改成心算題，學(xué)生可以毫不猶豫地答出?？谒阈枰洃涱}目，而心算不用記題目。因此同一道題，口算的記憶負荷大于心算的記憶負荷。(4) 學(xué)困生E和F的心算和口算準(zhǔn)確率太低。他們說在面對難度高的題目時不知所措，不知道采用什么方法來解題。對難題形成了一種恐懼心理，面對加工次數(shù)多，記憶量大的題目，他們會放棄。

表19 描述統(tǒng)計

表20 方差齊性檢驗(誤差方差的萊文等同性檢驗a)

表21 主體效應(yīng)檢驗

(2) 不同年級的學(xué)生在同一負荷題目上的測試結(jié)果及分析

(a) 不同年級在低負荷題目上的心算與口算測試結(jié)果及分析

通過表19可知，隨著年級的增加，低負荷題目的口算和心算準(zhǔn)確率在逐步升高。表20為心算和口算準(zhǔn)確率之間的方差齊性檢驗。F=1.1，p=0.36>0.05，因此方差齊性，符合方差分析條件要求。協(xié)方差分析結(jié)果說明模型有統(tǒng)計學(xué)意義(F=43.53，p=0.00<0.05)。表21結(jié)果表明：年級因素對低負荷題心算和口算準(zhǔn)確率沒有顯著性差異(F=0.15，p=0.93)，而各年級學(xué)生在低負荷題上心算和口算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(F=24.54，p=0.00<0.05)。研究表明對于低負荷的題目在各年級都存在不少反常現(xiàn)象，有的學(xué)生心算準(zhǔn)確率高而口算準(zhǔn)確率低，有的學(xué)生口算準(zhǔn)確率高，心算準(zhǔn)確率低。為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？

表22 反常類型

表23 高負荷題目描述統(tǒng)計

表24 方差齊性檢驗(誤差方差的萊文等同性檢驗a)

表25 主體效應(yīng)檢驗

(b) 不同年級在高負荷題目上的心算與口算測試結(jié)果及分析

通過表23可以看出，隨著年級的增加，高負荷題目的口算和心算準(zhǔn)確率在逐步下降。表24為心算和口算準(zhǔn)確率之間的方差齊性檢驗，F(xiàn)=0.48，p=0.63>0.05，因此方差齊性，符合方差分析條件要求。協(xié)方差分析結(jié)果說明模型有統(tǒng)計學(xué)意義(F=12.87，p=0.00<0.05)。通過表25可知：年級因素對高負荷題心算和口算準(zhǔn)確率沒有顯著性影響(F=0.19，p=0.91)，而各年級在高負荷題上心算和口算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(F=16.61，p=0.00<0.05)。經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：對于高負荷的題，22%的學(xué)生口算準(zhǔn)確率高于心算準(zhǔn)確率，這與低負荷題5%的比例截然不同。而且隨著年級的增加高負荷的心算和口算準(zhǔn)確率依次降低，這也與低負荷的口算、心算準(zhǔn)確率升高形成了鮮明對比?？谒闩c心算準(zhǔn)確率相差20%及以上視為反?，F(xiàn)象。

表26 高負荷反常類型

5 研究結(jié)論

5.1 心算結(jié)論

(1) 題目負荷量越大，心算受工作記憶的影響會越大。工作記憶負荷對中等生的心算影響最為顯著。中等生在中、高負荷題目上準(zhǔn)確率下降速度最快，下降幅度最大。

(2) 隨著題目負荷的增加，中等生與優(yōu)秀生之間的差距在逐漸加大，而中等生與學(xué)困生的差距不斷縮小，最終兩者的心算準(zhǔn)確率趨于一致。中等生與學(xué)困生在高負荷心算準(zhǔn)確率上沒有顯著性差異。對于低負荷和中負荷的題目，學(xué)生的心算成績分化很明顯。優(yōu)秀生的準(zhǔn)確率非常高，學(xué)困生的準(zhǔn)確率很低。

(3) 八、九年級學(xué)生在低負荷題目上心算準(zhǔn)確率沒有顯著性差異，在中負荷題目上心算準(zhǔn)確率也沒有顯著性差異，但在高負荷題目上心算準(zhǔn)確率有顯著性差異。

5.2 口算結(jié)論

(1) 對于低負荷的題目，不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率之間具有顯著性差異。對于中負荷的題目，不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率具有顯著性差異。對于高負荷的題目，不同層次的學(xué)生口算準(zhǔn)確率之間也具有顯著性差異。在中負荷的題目上不同層次學(xué)生口算成績的差距最大。

(2) 七年級和八年級學(xué)生在不同負荷題目上的口算準(zhǔn)確率沒有顯著差異。

5.3 口算與心算對比

(1) 七年級學(xué)生在不同負荷題上的心算和口算準(zhǔn)確率沒有明顯差異。通過相關(guān)性分析得知：低負荷和中負荷題目上，心算與口算準(zhǔn)確率有較強的正向的相關(guān)關(guān)系，心算準(zhǔn)確率越高，口算準(zhǔn)確率越高。高負荷題目上，七年級學(xué)生心算準(zhǔn)確率與口算準(zhǔn)確率的相關(guān)性不顯著，心算準(zhǔn)確率高，口算準(zhǔn)確率不一定高。

(2) 年級因素對低負荷題心算和口算準(zhǔn)確率沒有顯著性影響，而各年級學(xué)生在低負荷題上心算和口算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異。

(3) 年級因素對高負荷題心算和口算準(zhǔn)確率沒有顯著性影響，而各年級在高負荷題上心算和口算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異。

6 教學(xué)建議

第一，數(shù)學(xué)教師要重視學(xué)生對公式和概念的記憶。像平方差公式和完全平方公式即使本學(xué)期沒有涉及，也需要讓學(xué)生及時復(fù)習(xí)，經(jīng)常復(fù)習(xí)。將基本的公式轉(zhuǎn)換為長時記憶牢固地儲存起來，這樣學(xué)生在運算加工時才能準(zhǔn)確地提取所需的信息，提高運算準(zhǔn)確率。

第二，中小學(xué)生盡管記住了概念和公式，但只會機械地照搬照套，甚至出現(xiàn)只會書面數(shù)學(xué)符號，卻聽不懂?dāng)?shù)學(xué)語言的現(xiàn)象。因此教師應(yīng)從多個角度教授數(shù)學(xué)知識，在做題訓(xùn)練的同時，還應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言口頭表達能力。

第三，教師要告訴學(xué)生學(xué)習(xí)時要集中注意力，認(rèn)認(rèn)真真，對于簡單的題目更不要大意。只要認(rèn)真對待，許多遺漏性的錯誤就可以避免。例如只要集中注意力認(rèn)真記憶題目，忘記負號的錯誤是可以避免的。