周慧 曾簫瀟

摘? 要： 針對(duì)當(dāng)前數(shù)值積分精度不高、速度慢等問(wèn)題，提出一種快速求解數(shù)值積分的花朵授粉算法，本算法對(duì)花朵授粉算法的局部搜索迭代公式和數(shù)值積分公式進(jìn)行重新定義。通過(guò)10個(gè)函數(shù)積分仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的算法在迭代次數(shù)較少的情況下求解普通函數(shù)、奇異函數(shù)和振蕩函數(shù)積分，且與其他智能算法相比，本算法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞： 花朵授粉算法; 數(shù)值積分;函數(shù)

中圖分類號(hào)： TP391.4 ???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A??? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.07.030

本文著錄格式：周慧，曾簫瀟. 快速求解數(shù)值積分的花朵授粉算法[J]. 軟件，2020，41（07）：148-151

A Fast Flower Pollination Algorithm for Solving Numerical Integration Problem

ZHOU Hui¹， ZENG Xiao-xiao^2*

（1. Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， Guangxi， China;2. Guangxi Science & Technology Normal University， Laibin 546199， Guangxi， China）

【Abstract】： Aiming at the problems of low accuracy and slow speed of current numerical integration， This paper presents a flower pollination algorithm for solving numerical integrals quickly， this algorithm redefines the local search iterative formula of flower pollination algorithm and numerical integral formula. Through 10 function integral simulation experiments， the results show that the algorithm designed in this paper can solve ordinary function， singular function and oscillation function integrals with fewer iterations， compared with other intelligent algorithms， this algorithm has certain advantages.

【Key words】： Flower pollination algorithm; Numerical integration; Function

0? 引言

在數(shù)學(xué)分析中，利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分并不總是可行的，因?yàn)橛行┖瘮?shù)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示，甚至無(wú)法有解析表達(dá)式，因此只能采用數(shù)值積分方法。數(shù)值積分的傳統(tǒng)方法有矩形公式、梯形公式、辛普森公式和牛頓-柯特斯求積公式等^[1]，其使用也具有一定的局限性。近年來(lái)涌現(xiàn)一些智能算法對(duì)其進(jìn)行求解，如文獻(xiàn)[2]提出粒子群算法數(shù)值積分方法研究，文獻(xiàn)[3]將Chebyshev小波算法設(shè)計(jì)求解數(shù)值積分，文獻(xiàn)[4]提出差分進(jìn)化算法求解數(shù)值積分問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]提出基于蛙跳算法求解任意函數(shù)的數(shù)值積分，文獻(xiàn)[6]提出改進(jìn)的蝙蝠算法在數(shù)值積分中的應(yīng)用研究，文獻(xiàn)[7]提出數(shù)值積分的

回溯搜索優(yōu)化算法，文獻(xiàn)[8]提出基于冪函數(shù)變步長(zhǎng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解數(shù)值積分方法，文獻(xiàn)[9]提出基于生物地理優(yōu)化算法的數(shù)值積分方法實(shí)驗(yàn)，文獻(xiàn)[10]提出基于細(xì)菌覓食算法求解數(shù)值積分，文獻(xiàn)[11]提出求數(shù)值積分的一種新算法，文獻(xiàn)[12]提出求解數(shù)值積分問(wèn)題的快速混合算法及其他方法[13-15]等。雖然上述方法在一定程度上提高了解的精度，但解的精度和求解速度還有待于提高。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出一種快速求解數(shù)值積分的花朵授粉算法。

1 ?花朵授粉算法

1.1 ?基本花朵授粉算法

Yang模仿了開花植物中花朵授粉過(guò)程的生物學(xué)特點(diǎn)發(fā)展了花朵授粉算法（Flower Pollination Algorithm （FPA））^[16]，其基于以下主要規(guī)則^[17]：

（1）全球授粉過(guò)程通過(guò)生物和異花授粉發(fā)生，傳粉者的運(yùn)動(dòng)具有Levy飛行的形式。

（2）局部授粉過(guò)程被認(rèn)為是非生物和自花授粉過(guò)程。

（3）傳粉者提供花的穩(wěn)定性，其與授粉過(guò)程中所涉及兩種花相似性的繁殖概率成正比。

（4）通過(guò)轉(zhuǎn)換概率控制全部授粉與局部授粉，轉(zhuǎn)換概率對(duì)局部授粉輕微傾斜。

基于上述規(guī)則，花朵授粉算法的迭代公式：

[6]、[20]和[22]比較結(jié)果如表4所示。從表4可知，IFPA算法求解結(jié)果次于DEBA和PSO算法，優(yōu)于IWO和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。

例5 積分函數(shù)

該積分函數(shù)的精確值為-0.0073279，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[6]相同，本文算法計(jì)算的數(shù)值積分與文獻(xiàn)[2]、[6]、[19]和[20]比較結(jié)果如表5所示。從表5可知，IFPA算法求解結(jié)果均優(yōu)于其他算法。例5函數(shù)適應(yīng)度變化曲線圖如圖2所示。

綜上所述，本文共對(duì)10個(gè)函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中有普通函數(shù)、奇異函數(shù)和振蕩函數(shù)，從實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果可知，除了例3比其他智能算法精度較差以外，對(duì)其他函數(shù)，本文算法求解結(jié)果精度較高且迭代次數(shù)更少，基本上在20次以內(nèi)獲得較優(yōu)解，因此本文算法在求解數(shù)值積分方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。

4 ?結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種快速求解數(shù)值積分的花朵授粉算法，重新定義了花朵授粉算法的局部迭代公式和求積公式，對(duì)10個(gè)不同積分函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性，與其他智能算法相比，該算法在精度和迭代次數(shù)方面具有一定的優(yōu)勢(shì)，不僅能計(jì)算普通函數(shù)的積分問(wèn)題，而且能計(jì)算奇異積分和振蕩積分。

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