周錦春

[摘? 要] 眾所周知，數(shù)學(xué)例題教學(xué)發(fā)揮著承上啟下的作用：“承上”是幫助學(xué)生理解概念、公式、定理，從而認(rèn)清問題的本質(zhì)屬性;“啟下”是讓學(xué)生通過對例題的探究和思考而形成解決問題的“雙基”，從而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[關(guān)鍵詞] 例題教學(xué);承上啟下;數(shù)學(xué)思維

例題教學(xué)可謂數(shù)學(xué)教學(xué)的“重頭戲”，首先，其肩負(fù)著理解、消化新知的重任;其次，通過例題的運用將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力;最后通過反思、總結(jié)、歸納形成數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法. 那么，例題教學(xué)如此重要，在教學(xué)中應(yīng)如何實施呢？筆者從例題的設(shè)計、教學(xué)及反思三方面出發(fā)，淺談幾點認(rèn)識.

[?] 例題的設(shè)計

1. 例題的設(shè)計要切實體現(xiàn)新知

在概念的內(nèi)涵和外延講解后，為讓學(xué)生初步理解新知并體驗其應(yīng)用價值的最有效的手段即是運用例題教學(xué). 然而例題教學(xué)中應(yīng)如何設(shè)計例題呢？筆者認(rèn)為，例題的設(shè)計只有做到恰當(dāng)、精準(zhǔn)，切實反映新授內(nèi)容，才能真正地發(fā)揮其價值.

例1 有一個三層書架，第1層放有4本數(shù)學(xué)書，第2層放有3本語文書，第3層放有2本英語書. （每本書各不相同）

（1）若任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）若每層各取一本書，有多少種不同的取法？

問題（1）可直接運用分類計數(shù)原理一步求解;問題（2）因每層都要選取書本且各不相同，因此需要進行分步計數(shù). 通過簡單情境的對比，不僅讓學(xué)生輕松掌握兩個基本計數(shù)原理，而且通過親身體驗知曉了兩個計數(shù)原理的本質(zhì)差異;另外，分類思想的應(yīng)用，也有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).

2. 例題設(shè)計要分層實施

無論從尊重個體差異的角度出發(fā)，還是為調(diào)動學(xué)生積極性的角度來考慮，例題設(shè)計都應(yīng)體現(xiàn)層次. 首先，課堂是全體學(xué)生的課堂，課堂內(nèi)容的設(shè)計需要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知，照顧個體差異，借助于基礎(chǔ)題目讓學(xué)困生收獲學(xué)習(xí)的信心，利用拓展題目讓學(xué)優(yōu)生可以“跳一跳”;其次，通過分層次的梯度練習(xí)有利于舊知的回顧和新知的構(gòu)建，充分發(fā)揮例題承上啟下的作用.

例2 （1）已知銳角α的終邊經(jīng)過點（3，4），求sinα，cosα，tanα.

（2）已知銳角α的終邊經(jīng)過點（-3，-4），求sinα，cosα，tanα.

問題（1）的α是第一象限角，利用初中三角函數(shù)的定義即可求解，通過簡單的舊知回顧為下面引出新知做好了鋪墊. 將“經(jīng)過點（3，4）”改為“經(jīng)過點（-3，-4）”，打破了學(xué)生認(rèn)為三角函數(shù)都是正值的局限，也充分認(rèn)識到α也可以是其他象限的角，激發(fā)了學(xué)生對“任意角的三角函數(shù)”進行探究的熱情. 本題采用的是分層設(shè)計，讓學(xué)生利用已有認(rèn)知解決問題后，自然地進入了下一個發(fā)展區(qū)的問題，這比傳統(tǒng)的“強灌”更有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

[?] 例題教學(xué)的實施過程

教材中例題設(shè)計的目的之一是為了讓學(xué)生進一步理解和掌握概念、定理、公式，因此大多數(shù)例題反映了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性. 同時，例題是專家精挑細選的，具有一定的典型性和示范性，蘊含著豐富的解題思路和解題技巧，因此合理利用例題有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng). 然而因地區(qū)差異和個體差異的存在，如果講解例題采用的是“照本宣科”的教學(xué)模式，那么其在很大程度上會限制例題發(fā)揮作用. 因此，若要充分發(fā)揮例題的作用，教師應(yīng)該將例題的結(jié)構(gòu)特點和本質(zhì)屬性與學(xué)生的認(rèn)知相結(jié)合，通過簡單的變式方法將題設(shè)計成為適合本班學(xué)生思維特點、有利于提高學(xué)生興趣的“范例”. 設(shè)計好“范例”后，教師要引導(dǎo)學(xué)生在“范例”的求解過程中學(xué)會審題、學(xué)會分析，充分調(diào)動已有認(rèn)知促進思維發(fā)展.

1. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會審題

審題是解決問題的前提，因此要提高學(xué)生的解題能力必須從審題開始培養(yǎng). 首先，學(xué)會找關(guān)鍵詞，從而將已知和結(jié)論關(guān)聯(lián)起來;其次，學(xué)會挖掘隱含條件，尋找解題思路;最后，學(xué)會觀察，通過觀察題目特征和結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合解題的通性通法，認(rèn)清題目的本質(zhì)屬性，從而正確求解.

例3 判斷函數(shù)f（x）=的奇偶性.

雖然本題給出了函數(shù)解析式，然而直接觀察f（x）與f（-x）的關(guān)系很難判斷其奇偶性，此路不通，需要另辟蹊徑. 在解決函數(shù)問題時，首先應(yīng)考慮定義域，因此可回歸原始思路，則9-x2>0，解得-3<x<3. 根據(jù)定義域可以將原解析式化簡，得f（x）==. 化簡后，根據(jù)f（x）與f（-x）的關(guān)系，也就不難求解了. 通過仔細審題和通法的應(yīng)用，解決問題也就水到渠成了.

2. 引導(dǎo)學(xué)生自主探究

解題能力的高低與學(xué)生的思維水平有著直接的關(guān)系，因此，在例題教學(xué)中要重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，可通過問題情境、自主探究、合作交流等方式來充分展現(xiàn)和發(fā)展思維過程. 大多數(shù)例題的設(shè)計是前后關(guān)聯(lián)的，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了思考的空間，那么教學(xué)中應(yīng)留給學(xué)生足夠的時間去探究，這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，而且因?qū)W生更加深入地思考，也有助于他們思維的發(fā)展.

例4 設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

師：請大家仔細審題，看看此題該如何求解. （教師留給學(xué)生足夠的時間去思考）

生1：根據(jù)待求的算式可將4x2+y2+xy=1進行轉(zhuǎn)化，即（2x+y）2=3xy+1. 本題若要求解需要將3xy進行改造，即3xy=·2x·y. 根據(jù)基本不等式，可得（2x+y）2≤

+1，解得-≤2x+y≤.

師：在求解過程中從待求的算式出發(fā)，運用基本不等式將“和與積”進行互化，展現(xiàn)了強大的構(gòu)建能力和運算能力，是一個很不錯的解法. 同學(xué)們還有沒有其他的解法呢？

生2：把2x+y看為一個整體，即設(shè)2x+y=m，則y=m-2x，代入已知等式并化簡可得6x2-3mx+m2-1=0. 關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則Δ=-15m2+24≥0，求得-≤m≤，即-≤2x+y≤.

師：很好，運用換元法和轉(zhuǎn)化與化歸思想，將題目轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x的方程有實數(shù)解的問題. 那么這樣這個題目就真的解決了嗎？

生3：在解題后需要進一步檢驗，若要使等號成立，則2x=y=，2x+y取得最大值.

師：很好，對于能否取等號需要進一步驗證，這一步必不可少.

在本題的求解過程中，讓學(xué)生利用已有認(rèn)知去分析，嘗試使用不同的方法進行解答，教師及時引導(dǎo)、鼓勵、總結(jié)并利用教學(xué)活動充分地展現(xiàn)了學(xué)生的思維過程，其有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，有利于提升學(xué)生解決問題的能力.

[?] 反思與總結(jié)

如果例題教學(xué)采用的是“就題論題”的方式，不重視知識的關(guān)聯(lián)、總結(jié)和歸納，那么知識點是凌亂的，不利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，也會限制學(xué)生的知識遷移能力. 因此，例題教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過反思和總結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，提煉出解題思路，總結(jié)和歸納一般規(guī)律. 為了讓學(xué)生更好地進行總結(jié)和歸納，可以嘗試將例題進行一定的拓展和延伸，使學(xué)生通過進一步的剖析而提煉出通性通法，從而收獲觸類旁通的效果.

1. 重視變式拓展

變式拓展是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種教學(xué)手段，通過變式可以將抽象的、難度大的問題轉(zhuǎn)化為直觀的、易懂的問題，從而誘發(fā)學(xué)生的探究欲望;也可以通過變式拓展，讓學(xué)生找到問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)隱含其中的內(nèi)在聯(lián)系，從而提升學(xué)生的解題能力.

例5 （1）函數(shù)y=cos，求函數(shù)最大值、最小值及自變量x的集合.

（2）函數(shù)y=2-sin2x，求函數(shù)的最大值及自變量x的集合.

由于本班學(xué)生初學(xué)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，直接求解可能會使部分學(xué)生因難度大而束手無策，為讓學(xué)生可以順利求解，可以將題目轉(zhuǎn)化為“小坡度”的變式題，從而利用梯度變化消除學(xué)生的畏難心理. 因此，筆者設(shè)置了如下函數(shù)：①y=cosx;②y=cos;③y=sin

x+

;④y=2-sin2x;⑤y=3-cos2x. 從學(xué)生熟悉的函數(shù)的圖像和性質(zhì)出發(fā)，讓思維通過“低起點，小坡度”上升，通過問題變化不斷地誘發(fā)學(xué)生的探究欲望. 利用變式拓展，使得學(xué)生對三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了更加深入的學(xué)習(xí)，學(xué)生的解題能力獲得了明顯提升.

2. 重視反思與總結(jié)

例題講解后，不應(yīng)急于求成而進行強化訓(xùn)練，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生及時地進行反思，領(lǐng)悟解決問題的過程和方法，總結(jié)解題的策略，通過對例題的反思而進行知識的內(nèi)化和知識體系的構(gòu)建.

總之，例題設(shè)計必須有一定的深度和廣度，其教學(xué)過程要具備一定的參與性和探究性. 只有這樣，才能發(fā)揮例題教學(xué)對提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力和發(fā)展學(xué)生思維的作用. 同時，要重視反思、歸納、總結(jié)，實現(xiàn)“會一題、通一類”的目的，提高教學(xué)的有效性，使課堂更具生命活力.

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