梁業(yè)興

摘 要：利用空間向量法解立體幾何題，可把抽象的空間圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)量運(yùn)算，并有很強(qiáng)的規(guī)律性和可操作性，但在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)某些幾何體存在建系求點(diǎn)上的困難.本文主要通過實(shí)例探討解決問題的辦法。

關(guān)鍵詞：立體幾何;向量法;建系求點(diǎn)

向量是近代數(shù)學(xué)中最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，是具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”的概念，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。將空間向量引入高中數(shù)學(xué)，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。解題時(shí)，只需建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后化為向量問題，通過進(jìn)行向量運(yùn)算，即可轉(zhuǎn)化為幾何問題。在這里，建系求點(diǎn)將是解決問題的關(guān)鍵。

一、問題的提出

學(xué)生用向量法解如下高考真題（例1）時(shí)容易求錯(cuò)或無法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

例1.如圖1，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)。

（1）證明：AD⊥平面DEF;

（2）求二面角P-AD-B的余弦值。

二、問題分析

學(xué)生用向量法解立體幾何題主要的錯(cuò)誤有兩個(gè)：一是建系不合理，二是求錯(cuò)甚至不會(huì)求點(diǎn)的坐標(biāo)。

主要原因有兩個(gè)方面：一方面是圖形認(rèn)知障礙.平面幾何圖形反映圖形的真實(shí)情況，但在立體幾何中，由于是用斜二側(cè)畫法畫成的直觀圖，圖形往往不能反映原形的真實(shí)結(jié)構(gòu)和全部特點(diǎn)。例如在“水平放置的平面圖形的直觀圖畫法”中，正方形、矩形在水平放置后呈平行四邊形，以及在圖中看上去明顯不垂直的兩條線段卻偏要證明他們互相垂直，明顯是銳角的實(shí)際上卻是一個(gè)鈍角等;另一方面是缺乏空間想象能力。由于空間想象能力是一個(gè)比較復(fù)雜、抽象的思維過程，想象能力從二維到三維的拓展難度較大，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往不易建立空間概念，在腦海中難以形成較為準(zhǔn)確、直觀的幾何模型，不能靈活運(yùn)用一些重要元素之間的位置關(guān)系，沒掌握一些解題技巧（如局部圖形建立平面直角坐標(biāo)系作平面化處理），造成點(diǎn)的坐標(biāo)求錯(cuò)，甚至求不出來等。

三、解決問題之建系方法研究

學(xué)生建系不合理，主要集中在x軸與y軸的建立，原因就是對(duì)圖形的認(rèn)知有障礙.所以主要方法就是把圖形還原——局部平面化處理.畫出底面的平面圖，把建x，y軸的問題放在平面幾何里完成。

例2.如圖2，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60o，PA=AC=1，PB=PD=，點(diǎn)E在PD上，且PE=2ED。

（1）建立合適的坐標(biāo)系，并寫出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：作底面平面圖如圖3，圖4，圖5所示.由此平面圖可以比較清楚地看到以那兩條互相垂直的直線分別為x 軸、y 軸為宜，且方便寫出平面內(nèi)各點(diǎn)的坐標(biāo)?？梢钥吹浇ㄏ档姆椒ú⒉晃ㄒ?，要根據(jù)題意選用一個(gè)合適的坐標(biāo)系。

解：以圖5為例.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形， ∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=1。

在△PAB中，由PA2+AB2=2=PB2知PA⊥AB。

同理， PA⊥AD，又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、AP所在直線分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)作垂直AD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖6所示.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。

點(diǎn)評(píng)：平面內(nèi)常見的垂直關(guān)系有：菱形、正方形的對(duì)角線;等腰、等邊三角形的中線與底邊（三線合一）;直徑所對(duì)圓周角的兩邊;或在某個(gè)三角形中知道兩邊一角，先用余弦定理求出第三邊，再用勾股定理證明線線垂直等。

四、解決問題之求點(diǎn)方法研究

（一）垂線法

在空間直角坐標(biāo)系中，有些點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過向坐標(biāo)平面或坐標(biāo)軸作垂線，再求出垂線段的長，從而寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。

例2.（2）在第（1）問建系的基礎(chǔ)上求出點(diǎn)E的坐標(biāo)。

解法一：過點(diǎn)E作EM⊥AD于M，作EN⊥AP于N，如圖7所示.

由△DEM∽△DPA，得，所以，同理，得

所以。

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)E為線段PD的三等分點(diǎn)，個(gè)別學(xué)生可能會(huì)類比中點(diǎn)坐標(biāo)公式，容易犯“將P、D坐標(biāo)相加除以3得到E點(diǎn)坐標(biāo)”這樣的錯(cuò)誤。此題還可以用下面的向量法解決。

（二）向量法

在空間直角坐標(biāo)系中，利用兩向量相等，可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)。

例2.（2）在第（1）問建系的基礎(chǔ)上求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

（3）在棱PC上是否存在點(diǎn)F，使BF∥平面EAC，并證明你的結(jié)論。

（2）解法二：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，y，z），P（0，0，1），

則，，

因?yàn)?，即?/p>

解得，

即。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，對(duì)角線 AC 與 BD 互相垂直，所以可以以對(duì)角線的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB所在直線分別為 x 軸、y 軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)將是解決問題的關(guān)鍵.這里采用待定系數(shù)法，根據(jù)題目給出的線段的長度：，，列方程組求解即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，使得問題迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐曉宇，屈黎明.向量法解立體幾何題的點(diǎn)坐標(biāo)求法——2017年高考浙江卷立體幾何解答題的方法總結(jié). 《數(shù)學(xué)教學(xué)》，2018（8）：33～36.

[2]盧學(xué)淵.向量法解立體幾何題時(shí)動(dòng)點(diǎn)的設(shè)法.《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版》，2012（11）：107～107.

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