王健新

摘 要：在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》修訂稿中，提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。在圓錐曲線中，“中點(diǎn)弦”問題是高考?？伎键c(diǎn)，是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。在教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等能力，推導(dǎo)出圓錐曲線“中點(diǎn)弦”問題的解法以及統(tǒng)一記憶公式，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，立德樹人。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);立德樹人

查閱近10多年新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考文理考卷， “中點(diǎn)弦”問題的題目共出現(xiàn)8次，是高考的熱門考點(diǎn)，屬中檔題。學(xué)生在考試中遇到“中點(diǎn)弦”問題，往往得分較低。筆者認(rèn)為，一方面，在于學(xué)生對此類問題理解不夠深刻，缺乏解題模型的建立;另一方面，對“中點(diǎn)弦”問題公式的理解不夠深入，不能統(tǒng)一理解并記憶公式。

為此，本人在講授該問題時(shí)，通過對典型例題的講解，從數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等方面進(jìn)行多維度探討，得到“中點(diǎn)弦”問題的本質(zhì)公式，培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索勇于創(chuàng)新。以下是本人的教學(xué)片段：

【2015新課標(biāo)2 理20】已知橢圓，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M。證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;

師：這道題有什么條件？要證明什么？如何聯(lián)系起來？

生1：該題給了橢圓方程、弦AB、中點(diǎn)M，證明：定值。

生2：“中點(diǎn)弦”問題，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求出M的坐標(biāo)，然后證明。

生3：“中點(diǎn)弦”問題，設(shè)A、B、M的坐標(biāo)，用點(diǎn)差法，通過變形可證明。

師：“中點(diǎn)弦”問題常見有兩種解法，大家選其中一種來嘗試證明結(jié)論。

【解法一】（學(xué)生呈現(xiàn)）設(shè)直線l的方程，

聯(lián)立得：

，

故，.，

則.

所以直線的斜率與l的斜率的乘積為定值.

【解法二】（學(xué)生呈現(xiàn)）設(shè) ，

則

在橢圓上，， 得：

，所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

師：方法一，韋達(dá)定理法難點(diǎn)在運(yùn)算，方法二，點(diǎn)差法難點(diǎn)在變形，兩種方法都很好。

師：對于橢圓，直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn) 、，線段的中點(diǎn)為，直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值嗎？如果是定值，定值為多少？

生4：可以用上面兩種方法再算一次就行。

生5：用點(diǎn)差法更好，相減移項(xiàng)變形可得：。

師：對于曲線，直線l與曲線有兩個(gè)交點(diǎn) 、，線段的中點(diǎn)為，直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值嗎？如果是定值，定值為多少？

生6：用點(diǎn)差法，相減移項(xiàng)變形可得：。

師：曲線可以表示什么圖形？

生7：可以表示圓，橢圓，雙曲線。

師：很好，也就是說對于橢圓和雙曲線共4種方程都適合。拋物線或的“中點(diǎn)弦”問題，也滿足直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值嗎？

生8：用兩種方法都無法求出乘積為定值。

師：可以用點(diǎn)差法進(jìn)行變形求出定值么？

生9：不行，不具備的形式特點(diǎn)。

師：以為例用點(diǎn)差法求解，當(dāng)化到時(shí)，只需，便可得到，依然是定值。同理，當(dāng)拋物線時(shí)，可得。由以上的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線“中點(diǎn)弦”的定值問題公式較多，能否把統(tǒng)一記憶呢？

師：“中點(diǎn)弦”的定值問題是斜率乘積為定值。斜率是縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)，那么兩斜率的乘積就是縱坐標(biāo)2除以橫坐標(biāo)2的形式。

生10：橢圓和雙曲線滿足，但拋物線好像不滿足。

師：我們利用點(diǎn)差法求拋物線的“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，只要補(bǔ)項(xiàng)或，等號左邊有的形式，等號右邊的化為或化為，就為定值。

【小結(jié)】

橢圓、雙曲線需要移項(xiàng)才能得到的形式，移項(xiàng)后等號的右邊有“-”，拋物線需要補(bǔ)項(xiàng)變形才能得到有的形式，等號右邊就是定值結(jié)果。

筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，重視學(xué)生思維的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力，重視學(xué)生運(yùn)算的規(guī)范，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，重視知識的反思與總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生敢于探索、勇于創(chuàng)造的優(yōu)秀品質(zhì)。讓學(xué)生在關(guān)注知識與技能的同時(shí)，思考知識與技能所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 馬云鵬 . 關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題 [J]. 課程 . 教材 . 教法，2015（9）

[2] 史寧中 王尚志? 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀[M]? 高等教學(xué)出版社2020.11

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