鄧流北

摘 要：一個國家，民族的進步與知識的創(chuàng)新性息息相關。創(chuàng)新思維是指以新穎獨到的方法解決問題的思維過程，它的特征具有新穎性，多元性。創(chuàng)新思維可以增加人類知識的總量，推進人類社會不斷進步。隨著新高考改革的不斷推進，教師在教學過程中，應注意培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提高學生的創(chuàng)新思維能力，激發(fā)學生創(chuàng)造力。本文以一道八省聯(lián)考的數(shù)列題為例，通過一題多解的形式，說一說在新的高考背景、新的評價體系下如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。數(shù)列問題不僅是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，也是每年高考必考的知識點，學生不僅要學會解決求數(shù)列通項的一般方法，更要在方法上總結(jié)創(chuàng)新，提高解決問題的思維能力。

關鍵詞：創(chuàng)新思維;創(chuàng)造力;新高考改革;數(shù)列

“創(chuàng)新是民族的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不渴動力”，隨著新課標的改革和素養(yǎng)教育的加強，創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力成為了各個學科的共同要求。什么是數(shù)學創(chuàng)新思想？如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維？是值得我們研究的課題。創(chuàng)新思維指的是人們在探索未知領域的活動過程中，用新穎獨特的思維方法，創(chuàng)造出有社會價值的新觀點、新理論、新知識。培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，就是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，最終目的是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才。2021年，我國的廣東、河北、遼寧、江蘇、福建、湖南、湖北、重慶八個省啟動高考綜合改革，而2021年八省聯(lián)考的數(shù)學試題大興機場求多面體曲率問題也一度上了新聞熱搜，題目非常新穎，考查到了學生的創(chuàng)新性思維能力。同時社會民眾非常關注數(shù)學新高考改革新動向和數(shù)學學科教育改革問題，新高考數(shù)學考什么怎么考將會成為人們一直關注的焦點。本文以一道八省聯(lián)考的數(shù)列題為例，通過一題多解的方法，說一說數(shù)列題考查的知識點發(fā)生了哪些變化，以及如何利用創(chuàng)新思維求解數(shù)列的通項公式。

一、創(chuàng)新是對原有知識認識的升華

在高考考查數(shù)列的通項公式知識解答題中，所給的數(shù)列一般都不會是簡單的等差或等比數(shù)列，往往給出的是遞推關系的數(shù)列。為了解決這樣的數(shù)列通項公式問題，直接利用通項公式求解是不可能的，這時就要用創(chuàng)新思維，把一般的數(shù)列通過變形、構造，整體替換思想，或利用相消法把一般數(shù)列化成我們能認識的、新的等差或等比數(shù)列，再利用我們熟悉的等差或等比通項公式或求和公式，就可以解決高考中求一般數(shù)列的通項公式問題。

以下求解數(shù)列通項公式的一般流程圖：

為了求解一般數(shù)列的通項公式，我們要具備以下知識。

1、公式法

公式法是用于題目給出已知該數(shù)列為等差或等比數(shù)列，又給出了首項和公差或公比情況下，可以利用公式法來求解，或者給出了前n項和和通項公式的關系，也可用公式法求解。

設是等差數(shù)列，首項為，公差為d， 則其通項公式為。

設是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則其通項公式為。

已知數(shù)列的前n項和為，則，求解時要注意對n進行分類討論，通項能合并時一定要合并。

2、構造法

構造法，指通過對一般數(shù)列進行變形，構造，整體代換，利用函數(shù)思想，構造出兩個結(jié)構一樣的式子。例如：，從數(shù)列的結(jié)構看，它既不是等差數(shù)列，也不等比數(shù)列。通過構造法的思想，設未知數(shù)x，構造出，化簡，對照原式，容易得到，即，這樣我們就構造出一個新數(shù)列，且新數(shù)列符合等比數(shù)列的特征，后一項與前一項的比為2，此時的新數(shù)列就可以通過等比數(shù)列辦法來求解了。

有些數(shù)列題求通項之所以讓學生感覺求解困難，很大一部分原因是解題思路方向搞錯了，在高考的數(shù)列題中，給出的數(shù)列往往不會直接是等差、等比數(shù)列，而是一些遞推關系的數(shù)列，形式結(jié)構上會有些復雜。但不管怎樣復雜結(jié)構的數(shù)列，我們的目標就是通過對該數(shù)列變形，構造，整體代換，轉(zhuǎn)化成等差、等比形式。例如：2015年新課標2，理科16題，設是數(shù)列的前n項和，且______

通過觀察結(jié)構發(fā)現(xiàn)，若等式兩邊同除以，就可以構造出一個等差數(shù)列的形式，，則是一個首項為，公差為-1的等差數(shù)列，則于是。這種方法稱為倒數(shù)成等差法。

我們再看一道形式上更復雜的2011廣東理科高考題，設，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。觀察的結(jié)構發(fā)現(xiàn)，要想構造出一個新數(shù)列，使它的結(jié)構向等差方向轉(zhuǎn)化，取倒數(shù)得，這樣就得到兩個結(jié)構一致的式子，換元設，則，然后分兩種情況討論，當，為等差數(shù)列，求出，當，此時還不是等差或等比數(shù)列，利用上面提到的方法再構造一次成等比數(shù)列，就可以求出，從而得到的通項。

3、相消法

相消法，這個名字主要來源于“裂項相消法”。作者發(fā)現(xiàn)，對于高考中考查累加法，累乘法，裂項相消法，我們一般都是可以通過數(shù)列自身變形以及對數(shù)列進行加減乘除運算后，抵消大部分的項，從而達到化簡的目的，求出通項公式。因此我把這種能自我抵消的方法叫做相消法。

例如：

累加法，

題目求解如下：

，

把這n-1條式子累加起來，便得到：

，

又，故，且

故

以上三種方法是解決一般數(shù)列求通項的方法，特別是后兩種方法，它是高考考查的熱點也是難點。它是在考查學生對等差、等比數(shù)列有了一定認識之后，是否能通過對已知給出的數(shù)列變形、構造，整體替換基礎上，利用創(chuàng)造性思維，構造出一個新的數(shù)列。構造變形后，對于解決這樣一個新數(shù)列問題，它的難度就比解決原來的數(shù)列的難度簡單許多，這個思路是解決求數(shù)列通項問題的一般方法。

二、創(chuàng)新要有一題多解、發(fā)散思維的能力

“一題多解”是高中數(shù)學教學中提高學生解題能力的常用手法。實踐證明，

解法越多的學生思維越活躍，視野越開闊，創(chuàng)新意識越強。近幾年來，高考中的

解答題，考生的解法多樣性，層出不窮，因此，教師在課堂上要注重“一題多解”

思想的滲透。現(xiàn)以一道2021年八省聯(lián)考數(shù)學題數(shù)列為例，用一題多解的五種解法說明如何用構造法和相消法求數(shù)列的通項。

1、用構造法的三種解法解題

以2021年八省聯(lián)考數(shù)學題為例：已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足

證明：數(shù)列為等比數(shù)列;

若求的通項公式。

第一問分析：要證明一個數(shù)列為等比數(shù)列，其實也是考查數(shù)列的構造法思想，構造出，不難得到.

證明：

（1）

因為該數(shù)列各項為正數(shù)，故

首項，公比為3，故

解法一：（2）分析：這是一個遞推形式的數(shù)列，為了形式好看，我把數(shù)列寫成，從結(jié)構來看，此數(shù)列類似等比數(shù)列結(jié)構，但后面還多了一項。為了構造出等比數(shù)列的形式，可以把拆成兩部分，一部分放在等式左邊，一部分放在等式右邊，構造出這樣一個式子：，此時等式左邊結(jié)構和右邊的結(jié)構是完全一致的，就可以把看成一個新的等比數(shù)列求解，再通過待定系數(shù)法，求出x，最后利用等比數(shù)列的通項公式就可以求出。

解：，設未知數(shù)x，構造一個新數(shù)列為

對照原式，容易求得

故

所以的常數(shù)列。

，

故

解法二：分析：觀察結(jié)構發(fā)現(xiàn)，可以通過兩邊同除以，得，化簡得

再通過換元，令，得，利用構造法思想求出，從而求出通項。

解：

解法三：分析：觀察結(jié)構發(fā)現(xiàn)，這個式子給出是遞推關系有三項，通過第一問給我們的提示，這三項相鄰兩項組合可以構成新的等比關系，如，還有其它形式使它構成等比關系的組合嗎，我發(fā)現(xiàn)有，如，于是便有了解法三。

解：

則是首項為的一個常數(shù)列，故

則是一個首項為，公比為3的等比數(shù)列，

總結(jié)，上面三種方法都是用到了構造法，一種創(chuàng)造型方法，解決了原數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列通項問題。構造法，可以把形如以下的數(shù)列，，或（其中為一次型），通過兩邊同添上一個數(shù)或一個式子來構成新數(shù)列。如果是指數(shù)型，還可以同除以，使之構成類等比關系的數(shù)列;如果給出的式子是三項的遞推關系，可以通過相鄰兩項的運算組合，使這個組合整體成一個新的等比數(shù)列。這種方法最終目的利用創(chuàng)造性思維構造出新的等差或等比數(shù)列，再利用公式求解。

2、用相消法的兩種解法解題

繼續(xù)以八省聯(lián)考這道數(shù)列題為例，看能否用相消法解答。從從結(jié)構來看，想用到累加法，必須要有兩項相減才行，因此想到再列一條式子，再把這兩式一減，得到：，這就是一個隔項相減問題，這時可以用累加法求解。

解法四： ①

②

②-①得

當n是奇數(shù)時，

把這些式子累加起來，得到

，

（n為奇數(shù)）

當n是偶數(shù)時，由得

，（因n為偶數(shù)，則n+1 為奇數(shù)，則）

綜上所述，

解法五：分析：要想通過累加法相消，必然想到構造兩式相減，，但這兩項是相加的，為了變成兩項相減，我們再次利用構造法思想，兩邊同時乘以得，化簡得，此時和結(jié)構一致，可以通過換元得到，剩下的就可以用累加法解決了。

解：

化簡：

令，得，

當，我們可以列出

……

將n-1條式子累加得：

，

，兩邊約掉，

所以，

且當n=1，也成立。

結(jié)束語：

培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維是時代的要求，也是學生自身素養(yǎng)能力達成的要求。高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維是多方面的，如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力一直是教師教學的重點關注的環(huán)節(jié)。本文總結(jié)了求數(shù)列的三種常見的辦法，公式法，構造法，相消法。同時通過對2021年八省聯(lián)考的一道數(shù)列解答題的研究分析，通過一題多解的五種解法，讓我們看到了求解一般數(shù)列的通項公式通法，思路是把非等差、非等比數(shù)列向等差、等比數(shù)列方向轉(zhuǎn)換。

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