李開瑋

(廣東理工學(xué)院工業(yè)自動(dòng)化系，廣東肇慶526100)

滑塊碰撞是牛頓力學(xué)中常見的問題，一般通過動(dòng)量守恒和能量變化的關(guān)系去研究碰撞過程；而圓周率π 是幾何數(shù)學(xué)的問題，為圓的周長(zhǎng)與直徑之比，歷史上我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽通過割圓術(shù)算出π 的小數(shù)點(diǎn)后第5 位3.14159，之后數(shù)學(xué)家們計(jì)算出的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)越來越多[1-2]。π 的數(shù)字為：3.14159265358979-323846264338327950288419716939937510···，滑塊碰撞與這兩者看起來毫無聯(lián)系，但有趣的是，作者在研究碰撞問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)滑塊的碰撞次數(shù)與π 極其相似，并分析了它們的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

1 問題來源

如圖1 所示，水平光滑的地面上放置小木塊m，大木塊M，左端是固定的墻壁，初始時(shí)刻m靜止，M以初速度v0向左運(yùn)動(dòng)，將與m發(fā)生碰撞，之后m獲得速度向左運(yùn)動(dòng)，將與墻壁發(fā)生碰撞反彈，所有碰撞均沒有動(dòng)能損失，求碰撞次數(shù)。

圖1 問題示意圖

解析：首先考慮最簡(jiǎn)單情況，若兩滑塊質(zhì)量相等m=M，則M向左運(yùn)動(dòng)第一次與m碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒，將發(fā)生速度傳遞，接下來m以v0向左運(yùn)動(dòng)與墻壁第二次碰撞，速度反向向右，大小不變，之后向右運(yùn)動(dòng)，與M第三次碰撞，m停止，M以v0向右運(yùn)動(dòng)。總碰撞次數(shù)為3。

接下來討論滑塊質(zhì)量不相等的情況，設(shè)M/m=k，以水平向左為正方向，為了描述的需要，稱兩滑塊之間的碰撞為碰撞，稱m 與墻壁的碰撞為反射，設(shè)第n 次碰撞(包括反射) 后，m 與M 速度分別為un和vn，對(duì)第一次碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒有

解式(1) 得

接下來m 與墻壁發(fā)生第一次反射，速度變?yōu)?/p>

第一次反射后，m 將向右運(yùn)動(dòng)與M 發(fā)生第二次碰撞，同樣根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒

解式(4) 得

將un，vn寫成向量(unvn)，式(3) 和式(5) 可變?yōu)榫仃囘\(yùn)算形式

對(duì)比式(2) 與式(7)，發(fā)現(xiàn)式(2) 也可以寫為類似式(7) 的樣子

接下來第二次反射，第三次碰撞分別與式(3)和式(4) 類似，只需將式(3) 和式(4) 中速度下標(biāo)加1，因此結(jié)論也與式(6) 和式(7) 相似，因此每次碰撞和反射后，兩滑塊速度向量變換矩陣分別為

當(dāng)兩滑塊碰撞后速度滿足vn＜0 且|un| ＜|vn| 時(shí)，碰撞將不再發(fā)生。

根據(jù)式(1)～式(9)，作者編寫了MATLAB 函數(shù)文件，如圖2 所示，利用該函數(shù)文件，計(jì)算了不同k 值下的碰撞次數(shù)N_collide，如表1 所示。根據(jù)表1數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)k =100N，N_collide 與圓周率π 的小數(shù)點(diǎn)后N 位數(shù)字一樣。

圖2 MATLAB 函數(shù)文件

表1 碰撞次數(shù)隨著k 的變化

2 理論證明

由表1 可以猜測(cè)，N_collide = [ (10N)·Pi]，[x]為小于x 的最大整數(shù)，接下來證明這個(gè)猜測(cè)。

以水平面與墻壁交點(diǎn)為原點(diǎn)，水平向右為正方向，設(shè)初始時(shí)刻，m 與M 位置為x0，y0，t 時(shí)刻m與M 位置為x(t)，y(t)，根據(jù)圖1

當(dāng)x(t)=0 時(shí)，m 與墻壁碰撞；當(dāng)x(t)=y(t)時(shí)，m與M 碰撞。如圖3 所示，點(diǎn)(x(t)，y(t)) 即可描述t時(shí)刻兩滑塊的位置，隨著時(shí)間的推移，點(diǎn)(x(t)，y(t))的移動(dòng)形成位置相空間的軌跡圖。第一次碰撞前，m位置不變，M 向左運(yùn)動(dòng)，因此軌跡為豎直向下的直線，直至碰到直線y = x，發(fā)生碰撞，之后兩滑塊均向左運(yùn)動(dòng)，故x(t)，y(t) 均減小，軌跡變?yōu)樾毕蛳?，直至x(t) = 0，m 與墻壁碰撞反射，反射后m 速度反向，大小不變，因此在圖像中有

之后，將發(fā)生第2 次滑塊間碰撞，反射······。當(dāng)?shù)趎 次碰撞后，軌跡直線方向?yàn)樾毕蛴疑戏剑医咏cy = x 平行時(shí)，將不再與y = x 相交，即碰撞結(jié)束，軌跡與y 軸、直線y = x 交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為碰撞發(fā)生次數(shù)。由圖3 可知

根據(jù)式(12)可以計(jì)算出碰撞次數(shù)，但計(jì)算有點(diǎn)繁瑣，主要是因?yàn)槭?12) 中第二式涉及兩滑塊速度，而每次碰撞后，滑塊速度均發(fā)生變化，為了計(jì)算的簡(jiǎn)單，接下來我們對(duì)相空間(x(t)，y(t))作一個(gè)變形，使式(12) 中第二式消失。

圖3 兩滑塊相空間軌跡圖

將(x(t)，y(t)) 變形為(X(t)，Y(t))，變換關(guān)系為

當(dāng)m 與墻壁碰撞后，m 速度反向，故圖4 中β1=β2，當(dāng)兩滑塊碰撞時(shí)，如圖4(a)，r 為直線Y =方向向量，w 為碰前入射向量，w′為碰后反射向量根據(jù)動(dòng)量守恒，能量守恒式(4) 可以改寫為

圖4 X -Y 相空間軌跡圖

由式(15) 可得入射向量w 與r 夾角同反射向量w′與r 夾角相等，即

由以上分析可以得到圖4 中各個(gè)角度關(guān)系

因此碰撞次數(shù)應(yīng)為

由式(14) 和式(19) 可得

將k =100N代入式(20) 得

將arctanx在x=0 附近作泰勒展開可得

則

由式(23) 可得

因此式(21) 變?yōu)閚=[π·10N] 。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過MATLAB 計(jì)算了滑塊碰撞次數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)k=100N，碰撞次數(shù)為[π×10N]，即碰撞次數(shù)與圓周率小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字一樣，并利用相空間軌跡法巧妙地證明了該聯(lián)系。將力學(xué)過程用幾何圖像表示出來有助于清晰理解整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，使計(jì)算變得簡(jiǎn)化。