《小問題》欄目歡迎來稿出題(請自擬題目或注明題目來源)，題目及解答請寄《力學(xué)與實(shí)踐》編輯部，采用后將致薄酬。

2021-1如圖1 所示，已知平面上質(zhì)點(diǎn)A 和B的運(yùn)動(dòng)rA(t)， rB(t)。C 點(diǎn)為A 和B 速度(速度大小不為零，方向不平行) 方向延線的交點(diǎn)。

(1) 求點(diǎn)C 的運(yùn)動(dòng)方程和速度；

(2)已知點(diǎn)A 的運(yùn)動(dòng)為rA(t)=ti+t2j/2，質(zhì)點(diǎn)B 點(diǎn)質(zhì)量為m，作用在B 上的作用力為f。若將隨點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系作為動(dòng)系，求點(diǎn)B 的相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程；

(3)已知點(diǎn)A 的運(yùn)動(dòng)為rA(t)=ti+t2j/2，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)為rB(t)=2ti+t2j/2，求點(diǎn)C 的加速度。(供稿：寶音賀西，清華大學(xué)航天航空學(xué)院)

圖1

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*《小問題》2020-6 解答*

問題：質(zhì)量為m 的勻質(zhì)矩形薄板ABCD，邊長，且a ＞b，板可繞其位于水平位置的對角線AC 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸承A、C 間的距離近似等于對角線長度。試用剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)知識：(1) 若板以勻角速度ω 轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖1 所示)，求板的動(dòng)能及軸承A 和C 處的動(dòng)反力；(2)若板在靜止時(shí)，AC 軸上作用一力偶，力偶矩為M(如圖2 所示)，求初瞬時(shí)板的角加速度及軸承A 和C 處的動(dòng)反力。(問題及以下答案供稿：張孝祖，江蘇大學(xué))

圖1

圖2

解答：

(1)設(shè)想矩形板繞其質(zhì)心O 作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，建立板的慣性主軸坐標(biāo)系Oxyz。

Oyz 為板平面，Ox 軸垂直于板面，i，j，k 分別為Ox 軸、Oy 軸及Oz 軸的單位矢量，板對Oy 軸及Oz 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

有幾何關(guān)系

圖3

板的角速度矢

板的動(dòng)量矩

由動(dòng)量矩定理，作用在板上的外力矩

因?yàn)榘鍎蚪撬俣绒D(zhuǎn)動(dòng)，故~dL/dt=0，而ω×L=ω2sin θ cos θ(Jy-Jz)i，代入計(jì)算，得

外力矩Me1由軸承A 和C 處的動(dòng)反力NA和NC產(chǎn)生，NA和NC作用于板所在平面，方向垂直于AC 軸(見圖3)，產(chǎn)生的力偶矩矢指向與Ox 軸相反，動(dòng)反力大小

板的動(dòng)能

又因板繞AC 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)能T = JACω2/2，其中JAC為板繞AC 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，上兩式相比，可得

(2)參見圖4，板繞AC 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有JACε=M，于是得板的角加速度

圖4

仿 (1) 題的分析，作用在板上的外力矩 Me2=dL/dt = ~dL/dt+ω×L。注意到初瞬時(shí)板靜止，角速度為0，故有ω×L=0，而~dL/dt=Jy˙ω cos θj-Jz˙ω sin θk=Jyε cos θj-Jzε sin θk。將有關(guān)量代入計(jì)算，得

在板面取ξ 軸垂直于AC，η 軸平行于AC，指向如圖4 所示。

Me2在η 軸方向分量Me2η= M，此即為初瞬時(shí)AC 軸上作用的力偶矩。Me2在ξ 軸方向分量Me2ξ= M(a2-b2)/(2ab)，Me2ξ由軸承A 和C 處的動(dòng)反力NAx和NCx產(chǎn)生，NAx和NCx方向垂直于板平面(見圖4)，產(chǎn)生的力偶矩矢指向與ξ 軸一致，動(dòng)反力大小為