付靖宇 趙增輝，?，2)

*(山東科技大學能源與礦業(yè)工程學院，山東青島266590)

?(礦業(yè)工程國家級實驗教學示范中心山東科技大學，山東青島266590)

問題處于重力場中的工程機械主機上安裝的旋轉部件如圖1 所示：四根質量均為m、長度均為L的桿件以鉸接構成菱形，豎直固定主軸與其一條對角線重合，菱形最上方的點被鎖定而最下方的點是一個可在主軸上自由滑動的軸套且此兩點間連接有一根剛度系數為k、自然長度為2L 的螺繞彈簧(密布纏繞在主軸上)。電動機驅動菱形結構繞主軸旋轉，桿件與主軸夾角60°時體系達額定工作狀態(tài)。忽略一切摩擦耗散。取k = 23mg/L，EI = Eb4/4。其中EI 是桿件的抗彎剛度。已知重力加速度g。

(1) 暫不考慮桿件的變形，求額定轉速ω。

(2)當轉速恒定于ω 時，只考慮桿件彎曲變形的影響，試計算∠OAO′相對于把桿件視為剛體的情況而言的變化量。

解答本題為第九屆全國周培源大學生力學競賽初賽試題，第(1)問基于剛體靜力學和動靜法給出解答，第(2)問的原解答首先通過作差分析得出兩桿夾角變化量是慣性離心力載荷單獨作用時桿件端截面轉角的兩倍。為此，需要求出桿件在慣性離心力這種線變載荷作用下的端截面轉角。將實際載荷分布分解為以下兩種分布的疊加：正對稱均布載荷+ 反對稱自相似線變載荷，如圖2 所示。

圖2 三角形載荷分解

該解法巧妙之處在于圖2(b)情景下的端截面轉角是常規(guī)的結論而無需計算，圖2(c) 中點處亦可視為鉸支座(由反對稱性不難判定約束趨勢)。因此可以利用線性疊加原理求出端截面轉角。圖2(c) 情景下的端截面轉角必然與圖2(a) 相似(成比例)，這樣便可只通過一個方程直接解出答案。

筆者認為本題還存在一處細節(jié)值得思考，如圖3 所示，設OA 兩點連線與豎直方向的夾角為θ。在第二問求解中原解答只計算了桿件端截面轉角Δα，這并非完整的角度變化量，還相差一項桿件與豎直固定主軸夾角的變化量Δβ，以下給出該問題的其他兩種解答。

圖3 桿件角度變化量示意圖

第一種解法：基于拉格朗日分析力學。

暫不考慮彎曲變形，在隨主機一起旋轉的非慣性參考系中系統(tǒng)勢能V 由以下三部分組成[1]

式中，重力勢能Vg=-4mgL cos θ。

彈簧儲存的彈性勢能

慣性離心勢能

由式(1) 可得系統(tǒng)總勢能

平衡狀態(tài)勢能取極值(即勢能V 對θ 的導數為零)。由題意知θ =60°處為平衡點，所以

將式 (3) 代入 k = 23mg/L，即得主機旋轉角速度

現在考慮彎曲變形的影響。記直線OA 與豎直方向的夾角為θ。如圖4 所示，以O 點為坐標原點，沿著OA 方向建立x 軸，則OA 桿任意截面x 上的彎矩為

圖4 桿件OA 受力圖

同理，對于O′A 桿的彎矩方程為

利用梁的撓曲軸微分方程和式(5)，可得OA 桿撓曲線解析式為

O′A 桿撓曲線的解析式為

彎曲引起的系統(tǒng)慣性離心勢能增量為

系統(tǒng)重力勢能增量為

這是一個單自由度體系(撓曲線可看作一個以θ為參數的幾何分布)。平衡態(tài)滿足勢能極值原理，即

因為V1和V2自身就是比V 小一個量級的小量，所以式(11) 第二項導數在θ = π/3 處的值與在θ = Δβ + π/3 處的值相差二階小量，故用前者近似代替了后者。將式(2)、式(9) 和式(10) 代入可計算出式(11) 中兩個導數

注意式 (12) 運用了展開到一階小量的泰勒公式。

將式(12) 和式(13) 代入式(11) 可得直線OA與豎直方向夾角的變化量

它實質上是由于為體系勢能補加一項微小彎曲驅動能而引起的廣義坐標θ 的平衡點的偏移。所以，由幾何關系易知本題最終答案應該為

第二種解法：基于牛頓矢量力學。

上述基于能量解法，下面再利用牛頓矢量力學加以論證[2]。設OA 桿和O′A 承受的重力和慣性離心力對鉸點O 和O′的力矩之和分別為T1和T2，則

將式(7) 和式(8) 代入，略去二階小量，得

設A 鉸處對桿的約束反力為(fx，fy)，則對OA、O′A桿可列平衡方程

式(18)是關于θ 的三角方程組，不易直接得出θ。我們的目標是求以上3 個平衡方程中θ 相對60 度的偏移量。為此，令θ =π/3+Δβ，代入方程組并展開到關于Δβ 的一階小量(系數中存在EI 的項無需展開，因為系數本身即是小量)。相對應地，約束反力也要寫成零階量附加一階小量的形式。為此，可先求出約束反力的零階量(即不考慮桿件變形時的約束反力值) 為

由此可得到最低階近似后的線性方程組

聯(lián)立求解可得與式(14) 相同的解答。

最后討論原解答的完備性。原解認為兩桿夾角變化(指本文章中的Δα) 與重力無關，在書寫彎矩方程時直接略去了重力力矩這一項，本文著重計算的修正角度是與重力相關的，文中式(5)和式(6)計入了重力以及受重力影響的支反力的貢獻。

第二問原解答本文進一步補充了由于系統(tǒng)平衡點的偏移桿件角度的變化量Δβ，易知

這說明Δβ比Δα小一個數量級。從論證過程來看求解Δβ的過程顯然比求解Δα的過程困難許多。因此，從數值量級來看是可以忽略Δβ的。該題作為全國大學生力學競賽試題所給出的解答從本科生知識架構來講是完全合理的。但從科學的嚴謹性角度考慮，本問題解答應更加完備。事實上，本題若控制額定轉速為單一變量，即控制不考慮彎曲變形時桿件與豎直方向夾角θ為單一變量，可導出Δβ/Δα與θ的關系，進一步可討論θ取哪些值時可以忽略Δβ，限于篇幅，不再討論。