王敏文， 王忠明， 鄭曙昕， 王 迪， 楊 業(yè)， 劉臥龍， 王百川，王茂成， 張 輝, 閆逸花， 呂 偉， 邱孟通， 邢慶子

(1. 強(qiáng)脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710024； 2. 西北核技術(shù)研究所， 西安 710024；3. 清華大學(xué) 工程物理系， 北京 100084)

束流的相空間分布是粒子加速器的關(guān)鍵參數(shù)，在西安200 MeV質(zhì)子應(yīng)用裝置(Xi’an 200 MeV Proton Application Facility, XiPAF)調(diào)試過(guò)程中，相空間分布的測(cè)量是比較加速器物理模型與實(shí)際模型的偏差及預(yù)測(cè)沿線束流包絡(luò)分布的重要基礎(chǔ)。三截面法和四極鐵掃描法是被廣泛應(yīng)用的相空間分布間接測(cè)量方法[1-2]，通過(guò)測(cè)量3個(gè)截面重建束流相空間分布，具有對(duì)束流影響小、測(cè)量速度快的特點(diǎn)。由于三截面法和四極鐵掃描法僅利用束流的均方根尺寸進(jìn)行反推，只能得到束流相空間分布的Twiss參數(shù)。對(duì)束流分布做適當(dāng)假設(shè)，可得到束流的相空間分布，但由于元件的非線性及空間電荷力等的影響，實(shí)際束流分布往往不是理想的高斯分布，束流相空間分布難以通過(guò)假設(shè)束流分布獲得。為此，Hock等在不考慮非線性力的情況下，推導(dǎo)得到測(cè)量截面為待測(cè)相空間沿θ方向的投影，θ由待測(cè)點(diǎn)到截面探測(cè)器的傳輸矩陣決定[3]。因此，通過(guò)改變傳輸矩陣得到待測(cè)相空間沿不同方向的投影，結(jié)合斷層重建技術(shù)可實(shí)現(xiàn)束流相空間分布的測(cè)量。在此基礎(chǔ)上， Dimov等提出基于多粒子模擬的相空間重建方法，通過(guò)不斷改變重建處的粒子分布，使模擬截面與測(cè)量截面趨于一致，實(shí)現(xiàn)了包含空間電荷力等非線性力影響的相空間重建[4]。本文采用基于多個(gè)1維截面迭代重建相空間方法，開(kāi)展XiPAF直線段2維相空間的測(cè)量，并將該方法擴(kuò)展應(yīng)用到同步環(huán)縱向相空間分布的測(cè)量，為XiPAF的調(diào)試提供了有力支撐。

1 相空間迭代重建方法

傳統(tǒng)基于1維截面重建束流2維相空間的方法多應(yīng)用于空間電荷效應(yīng)可忽略或空間電荷力可線性化近似的情況，此時(shí)，粒子沿束線的運(yùn)動(dòng)軌跡描述為

(1)

其中，M為重建點(diǎn)到截面探測(cè)器處的傳輸矩陣。

推導(dǎo)可得在截面探測(cè)器處測(cè)量的截面分布p(x)與待重建相空間分布ρ(x,x0′)的關(guān)系為[5]

(2)

p(x)=?f(x,x0,x0′)ρ(x0,x0′)dx0dx0′

(3)

其中，f(x,x0,x0′)為從重建處到截面測(cè)量處的非線性傳輸函數(shù)，跟束流相空間分布ρ(x0,x0′)有關(guān)。因此，必須采用迭代的方法才可能根據(jù)多個(gè)p(x)求出ρ(x0,x0′)。假設(shè)，束流的水平和垂直方向相空間相互獨(dú)立，迭代重建的思路是比較多個(gè)測(cè)量與模擬的截面，然后根據(jù)截面比較結(jié)果對(duì)重建點(diǎn)的相空間分布進(jìn)行修正，直到模擬截面與測(cè)量截面趨于一致。具體迭代方法為：

1) 準(zhǔn)備多組不同磁鐵參數(shù)下或不同位置處測(cè)量的水平和垂直離散截面(以6組為例)。

2) 產(chǎn)生一個(gè)發(fā)射度遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)值的初始橫向相空間分布，由于只重建束流橫向相空間分布，初始束流縱向分布采用設(shè)計(jì)值。

3) 以初始相空間分布作為輸入，利用基于PIC方法的多粒子動(dòng)力學(xué)仿真軟件分別模擬計(jì)算6組參數(shù)條件下截面探測(cè)器處的束流1維截面。

4) 由于束流的水平和垂直相空間分布是獨(dú)立的，重建也是獨(dú)立的，本文僅描述束流水平方向相空間分布的重建，垂直相空間分布重建類(lèi)似。將測(cè)量截面按照面積為1進(jìn)行歸一化，并將模擬截面按照實(shí)際測(cè)量分辨率進(jìn)行離散化，逐個(gè)比較6個(gè)測(cè)量與模擬截面，若模擬的粒子處于對(duì)應(yīng)測(cè)量截面范圍內(nèi)，則該粒子對(duì)測(cè)量截面是有貢獻(xiàn)的，稱(chēng)為有效粒子。找出每個(gè)模擬截面中的有效粒子集，取6個(gè)模擬截面有效粒子集的交集，即對(duì)每個(gè)測(cè)量截面均有貢獻(xiàn)的粒子，作為最終的有效粒子集。

5) 逐個(gè)比較6個(gè)測(cè)量截面與僅包含有效粒子的模擬截面，用測(cè)量截面的幅度除以對(duì)應(yīng)位置處模擬截面中的粒子數(shù)作為這些粒子在該截面的權(quán)重因子，將粒子在6個(gè)截面的權(quán)重因子求和作為該粒子最終的權(quán)重因子。

6) 通過(guò)粒子標(biāo)識(shí)找到有效粒子在初始分布中的對(duì)應(yīng)粒子，然后根據(jù)粒子的權(quán)重因子重新生成迭代分布。具體方法是根據(jù)粒子的權(quán)重因子和迭代分布的總粒子數(shù)N，在以該粒子的相空間坐標(biāo)(x0,x0′)為中心、邊長(zhǎng)為d的正方形范圍內(nèi)隨機(jī)添加N個(gè)粒子，其中d為重建步長(zhǎng)，一般取測(cè)量截面的分辨率。

7) 利用新的初始粒子分布再次進(jìn)行迭代，直到模擬截面與測(cè)量截面之間的偏差趨于收斂。

本文選用TraceWin進(jìn)行束流橫向動(dòng)力學(xué)模擬，利用Python調(diào)用TraceWin實(shí)現(xiàn)交互，然后編寫(xiě)腳本進(jìn)行截面的比較處理和初始粒子分布的重生成，實(shí)現(xiàn)了迭代過(guò)程的自動(dòng)化。

2 直線加速器橫向相空間重建

為驗(yàn)證上述迭代重建方法及研究測(cè)量截面位置對(duì)于相空間分布重建結(jié)果的影響，以圖1所示直線段束線為例開(kāi)展了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。該束線含5塊四極鐵(Q1,Q2,Q3,Q4,Q5)，重建中通過(guò)調(diào)整5塊四極鐵參數(shù)得到不同相移下的截面，利用這些截面和第1節(jié)提出的方法可重建束線起點(diǎn)處束流2維相空間分布。

圖1 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)束線布局Fig.1 Layout of the beamline for numerical experiment

測(cè)量截面的位置與待重建相空間分布的投影角度相關(guān)。文獻(xiàn)[6]指出可用束流Betatron相移來(lái)對(duì)應(yīng)相空間分布的投影角度，束流的Betatron相移對(duì)應(yīng)于歸一化相空間中相圖的旋轉(zhuǎn)角度，且在歸一化相空間中的角度均勻采樣映射到幾何相空間就變成了沿相橢圓長(zhǎng)軸方向附近的采樣，可獲得更多有效采樣信息[3]。因此，使各測(cè)量截面對(duì)應(yīng)的相移應(yīng)盡量均勻，有利于得到更多有效投影信息，提高重建相空間分布的精度。

為驗(yàn)證上述結(jié)論，數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)選取了表1所列的3組截面進(jìn)行重建。

表1 不同組參數(shù)下各截面對(duì)應(yīng)的相移Tab.1 Phase advances to different profiles

其中，G1和G2 6個(gè)截面對(duì)應(yīng)相移在180°范圍內(nèi)均勻分布，但初始相移不同；G3 6個(gè)截面對(duì)應(yīng)相移則僅在50°范圍內(nèi)均勻分布。橫向相空間分布重建可2個(gè)方向同時(shí)進(jìn)行，也可單方向獨(dú)立進(jìn)行，為便于描述，僅以水平方向的相空間分布重建為例。為符合實(shí)際測(cè)量情況，重建中截面的分辨率設(shè)置為0.1 mm。初始相空間分布均采用大發(fā)射度的均勻分布，重建截面的相對(duì)偏差隨著迭代次數(shù)的變化，如圖2所示。由圖2可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)約10次迭代后，3組截面的偏差均達(dá)到收斂。

(a) G1

重建截面的相對(duì)偏差定義為

(4)

收斂后得到的重建相空間分布與參考相空間分布的比較，如圖3所示。由圖3可見(jiàn)，利用G1和G2截面較好地重建了束流2維相空間分布；G3截面由于相移分布范圍較小，重建的結(jié)果存在較大偏差。表2為重建與參考相空間分布Twiss參數(shù)的比較。由表2可見(jiàn)，G1和G2重建結(jié)果的相對(duì)偏差在4%以?xún)?nèi)，G3重建結(jié)果的相對(duì)偏差達(dá)到了50%。模擬結(jié)果表明，為實(shí)現(xiàn)較好的相空間分布重建質(zhì)量，測(cè)量截面的相移應(yīng)在180°范圍內(nèi)盡量均勻分布。

(a) Reference

在XiPAF直線段開(kāi)展了基于1維截面重建束流2維相空間分布的束流實(shí)驗(yàn)，并與發(fā)射度儀直接測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，主要目的是測(cè)量漂移管加速器 (interdigit H-mode drift tube linac，IHDTL) 出口的束流參數(shù)。圖4為XiPAF直線注入器的調(diào)試布局，在IHDTL后布置有3塊四極鐵用于束流橫向匹配，四極鐵后是1臺(tái)雙狹縫發(fā)射度儀，可測(cè)量束流截面，也可測(cè)量束流的相空間分布，因此2種方法的測(cè)量結(jié)果可以相互校驗(yàn)。與仿真過(guò)程類(lèi)似，實(shí)驗(yàn)中通過(guò)調(diào)整3塊四極鐵參數(shù)使從IHDTL出口到截面探測(cè)器處束流的相移基本在180°內(nèi)均勻分布，表3為XiPAF 1維截面重建發(fā)射度實(shí)驗(yàn)中束流水平和垂直方向各6組磁鐵參數(shù)對(duì)應(yīng)的相移。

表2 重建與參考相空間分布的Twiss參數(shù)對(duì)比Tab.2 Comparison of Twiss parameters between reconstructed and reference phase spaces

圖4 XiPAF直線段調(diào)試布局Fig.4 Layout of XiPAF linac

表3 XiPAF 1維截面重建發(fā)射度實(shí)驗(yàn)中束流水平和垂直方向各6組磁鐵參數(shù)對(duì)應(yīng)的相移Tab.3 Phase andvances corresponding to six groups of magnet parameters in the transerse directions in 1-D profile reconstruction emittance experiment at XiPAF

由于水平方向和垂直方向相空間分布測(cè)量時(shí)使用的四極鐵參數(shù)不同，因此分別對(duì)水平和垂直相空間分布進(jìn)行單獨(dú)重建。重建水平方向相空間分布時(shí)，水平方向初始相空間分布為大發(fā)射度均勻分布的相空間分布，垂直方向初始相空間分布使用發(fā)射度儀測(cè)量得到的相空間分布，垂直方向相空間分布重建時(shí)亦然。由于狹縫寬度為0.1 mm，因此重建中截面測(cè)量分辨率也取為0.1 mm。重建截面與模擬截面的相對(duì)偏差隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系如圖5所示。由圖5可見(jiàn)，在約10次迭代以后，截面相對(duì)偏差趨于收斂。15次迭代后重建得到的IHDTL出口相空間分布，如圖6所示。

(a) x direction

(a) x direction

為驗(yàn)證重建相空間的準(zhǔn)確性，將發(fā)射度儀直接測(cè)量的結(jié)果反推得到IHDTL出口相空間分布，如圖7所示。重建與發(fā)射度儀直接測(cè)量得到的IHDTL出口相空間Twiss參數(shù)的比較列于表4。除βy外，相對(duì)偏差均在±10%以?xún)?nèi)。發(fā)射度儀自身對(duì)于Twiss參數(shù)的測(cè)量偏差為±10%，由表4可見(jiàn)，2種方法的測(cè)量結(jié)果是相符的。

(a) x direction

表4 截面重建與發(fā)射度儀測(cè)量的IHDTL出口相空間Twiss參數(shù)的對(duì)比Tab.4 Comparison of reconstructed and measuredphase spaces at outlet of IHDTL

3 同步環(huán)縱向相空間重建

在質(zhì)子同步環(huán)中，當(dāng)空間電荷效應(yīng)可忽略時(shí)，粒子的縱向運(yùn)動(dòng)可表示為[8]

(5)

其中，En和φn分別為第n圈粒子能量和相位；V為高頻腔峰值腔壓；Es和φs分別為同步能量和同步相位；h為諧波數(shù)；η為滑向因子；vnor為歸一化速度；E0為粒子靜止能量。由式(5)可見(jiàn)，縱向運(yùn)動(dòng)具有明顯的非線性，且粒子偏離同步粒子越遠(yuǎn)，非線性越嚴(yán)重。因此，基于線性假設(shè)的斷層重建方法不再適用。1節(jié)提出的迭代重建算法對(duì)于動(dòng)力學(xué)計(jì)算過(guò)程沒(méi)有任何限制，因此，將模擬束流橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)程序替換為描述粒子縱向運(yùn)動(dòng)的式(5)，該迭代重建方法可應(yīng)用到束流縱向相空間分布的測(cè)量。

在XiPAF中，采用快束流變壓器(fast current transformer, FCT)[9]測(cè)量束流的逐圈縱向分布。根據(jù)動(dòng)力學(xué)計(jì)算，環(huán)內(nèi)束團(tuán)均方根長(zhǎng)度最小為8.5 ns，對(duì)應(yīng)信號(hào)帶寬在60 MHz以?xún)?nèi)，選擇帶寬為700 MHz的FCT進(jìn)行束流縱向分布的測(cè)量。在儲(chǔ)存不加速模式下，測(cè)量多圈束流包絡(luò)，如圖8所示。

圖8 儲(chǔ)存不加速模式下，測(cè)量的多圈束流縱向包絡(luò)Fig.8 Measured multi-turn longitudinal profiles in storage mode

由于XiPAF同步環(huán)的縱向工作點(diǎn)較小，因此粒子需要繞環(huán)近1 000圈才能完成一次縱向振蕩，為減少迭代算法的計(jì)算量，每隔50圈選取一個(gè)縱向截面，總計(jì)選取20個(gè)截面進(jìn)行重建。重建與計(jì)算的俘獲完成后束流的縱向相空間分布對(duì)比，如圖9所示。

(a) Reconstructed phase space

由圖9可見(jiàn)，由于儲(chǔ)存不加速模式下僅對(duì)束流進(jìn)行俘獲而不加速，粒子分布幾乎充滿(mǎn)了整個(gè)相空間。表5為測(cè)量與模擬的縱向相空間分布Twiss參數(shù)比較。由表5可見(jiàn)，相對(duì)偏差在20%以?xún)?nèi)，驗(yàn)證了該方法的有效性。在束流加速到60 MeV平頂時(shí)，應(yīng)用該方法重建得到的束流縱向相空間分布，如圖10所示。

表5 測(cè)量與模擬的縱向相空間Twiss參數(shù)比較Tab.5 Comparison of the Twiss parameters ofreconstructed and simulated longitudinal phase spaces

圖10 束流加速到60 MeV平頂時(shí)，重建得到的束流縱向相空間分布Fig.10 Reconstructed longitudinal phase spaceat 60 MeV beam flattop

4 結(jié)論

本文實(shí)現(xiàn)了一種基于多個(gè)截面重建束流相空間分布的迭代重建方法，與傳統(tǒng)的三截面或四極鐵掃描方法僅能在線性運(yùn)動(dòng)假設(shè)下測(cè)量束流的Twiss參數(shù)相比，該方法可應(yīng)用于強(qiáng)空間電荷效應(yīng)或非線性縱向運(yùn)動(dòng)等情況下束流相空間分布的測(cè)量，獲得更多的束流信息。該方法成功應(yīng)用于XiPAF直線段出口的束流水平方向2維相空間和同步環(huán)縱向相空間的重建，為加速器的調(diào)試提供了有力保障。