王佳祺

(山西省臨汾市山西師范大學(xué)現(xiàn)代文理學(xué)院 041000)

全概率公式是概率論中常用且重要的公式，對(duì)樣本點(diǎn)的判斷及對(duì)概率的計(jì)算一直是概率論中的難點(diǎn)，全概率公式通過(guò)簡(jiǎn)單易知的概率計(jì)算復(fù)雜的概率，化繁為簡(jiǎn)，大大降低了判斷與計(jì)算的難度.然而在使用時(shí)應(yīng)當(dāng)注意，全概率公式不僅要求確定先行試驗(yàn)的完備事件組，對(duì)后繼試驗(yàn)也存在限制，下面將以一道例題的兩種解法為引，對(duì)全概率公式的這種限制進(jìn)行詳細(xì)的說(shuō)明.

一、全概率公式及相關(guān)定理

定義1設(shè)有樣本空間Ω及其隨機(jī)試驗(yàn)E，空間內(nèi)有隨機(jī)事件A1,A2,…,An,如若滿足下列條件：

(1)Ai∩Aj=?(i≠j);

(2)A1∪A2∪…∪An=Ω.

則A1,A2,…,An對(duì)樣本空間進(jìn)行了分割，并稱為樣本空間的完備事件組.

為方便論述，稱事件A條件下的事件B即(B|A)為條件事件.

定理1 全概率公式.設(shè)有樣本空間Ω的完備事件組A1,A2,…,An，其中P(Ai)>0(i=1，2，…，n)，B為任意事件，則

①

我們稱事件Ai所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)為先行試驗(yàn)，事件B所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)為后繼試驗(yàn)，全概率公式就是通過(guò)先行試驗(yàn)的概率計(jì)算后繼試驗(yàn)的概率，證明這里不再論述.

二、全概率公式對(duì)后繼試驗(yàn)的限制

下面請(qǐng)看這樣一道例題以及它的兩種解法：

例有三個(gè)一模一樣的抽屜，每個(gè)抽屜中分別裝有球的個(gè)數(shù)為10個(gè)、20個(gè)、25個(gè)，每個(gè)抽屜中有紅球和白球，球只有顏色不同，其中紅球個(gè)數(shù)分別為4個(gè)、10個(gè)、15個(gè).先隨機(jī)選取一個(gè)抽屜，再?gòu)某閷现幸来蚊蓚€(gè)球.求在第一次摸到紅球的條件下，第二次還是摸到紅球的概率.

解法1記Ai={選中第i個(gè)抽屜}，i=1，2，3，C={第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球}.

由全概率公式得

P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)

+P(A3)P(C|A3)

②

解法2記Ai={選中第i個(gè)抽屜}，i=1，2，3，Bj={第j次摸到紅球}，j=1,2.

由全概率公式得

P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)

+P(A3)P(B1|A3)

由全概率公式得

P(B1B2)=P(A1)P(B1B2|A1)+P(A2)P(B1B2|A2)+P(A3)P(B1B2|A3)

由條件概率公式得

其中解法1是同濟(jì)版概率論習(xí)題全解中用到的方法.兩種方法同樣是運(yùn)用條件概率和全概率公式解題，然而卻得到不同的結(jié)果，這是為什么呢？其實(shí)解法1是存在問(wèn)題的，它隱含了一個(gè)公式：P(C|Ai)=P((B2|B1)|Ai)=P(B2|AiB1)，這并非定理，只是人們從理解上約定俗成的公式，而解法1在計(jì)算時(shí)用到了這一公式.雖然②形式上它是符合全概率公式的，可是我們換種方式就可以發(fā)現(xiàn)這種問(wèn)題了.

我們也可以通過(guò)文氏圖觀察這個(gè)問(wèn)題:

圖1

綜上，全概率公式中后繼試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的事件B不能是條件事件，或者說(shuō)在P(B)為條件概率時(shí)全概率公式不成立，須直接應(yīng)用條件概率公式解題，全概率公式只可間接應(yīng)用于非條件事件.

當(dāng)定義后繼試驗(yàn)的事件B為某一條件下的事件時(shí)，不可使用全概率公式，這一點(diǎn)我們用例題中的方法對(duì)全概率公式兩端計(jì)算即可得知，這里不再贅述.最本質(zhì)的原因在于：若P(B)=P(B2|B1)，我們計(jì)算時(shí)通常認(rèn)為P(B|A)=P(B2|AB1)，而條件事件的運(yùn)算并沒(méi)有被定義，這個(gè)公式用于計(jì)算時(shí)就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，造成全概率公式兩端不相等.所以，我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)當(dāng)注意只把條件事件用于條件概率，避免形式正確而實(shí)質(zhì)錯(cuò)誤的情況.