林前進，楊 波，余 躍，王成明，蔡 彬

（1.上海航天控制技術研究所，上海 201109；2.中國航天科技集團有限公司 紅外探測技術研發(fā)中心，上海 201109）

0 引言

隨著計算機科學與自動控制科學的迅速發(fā)展，機器人技術廣泛應用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)制造、醫(yī)療、空間探測以及生活娛樂等領域。機器人主要代替人工解決耗時冗余的重復性工作和惡劣環(huán)境下作業(yè)。機器人技術的關鍵在于機器人的數(shù)學模型建立和機器人控制系統(tǒng)。通過確定機器人的機械結構和機械參數(shù)建立動力學模型，其數(shù)學模型是一個高度復雜的非線性系統(tǒng)。機械手主要由連桿、活動關節(jié)和其他部件組成，單力臂模型作為最簡單的機器手，反映了機械系統(tǒng)的基本動力學特性，是機器人復雜系統(tǒng)的研究基礎［1］。單力臂控制系統(tǒng)的作用在于調節(jié)活動關節(jié)的控制力矩，使得機器人的位置、速度等狀態(tài)變量能夠按照預期的軌跡設定進行逼近跟蹤。與一般機械系統(tǒng)一樣，通過確定機械結構以及對應機械參數(shù)，將機械臂的動力學行為以合適的數(shù)學模型進行描述。

近年來，學術領域和工業(yè)領域對于機械臂軌跡跟蹤進行了相關研究，提出了一系列控制策略［2-4］，例如有經(jīng)典PID 控制、模糊控制、模糊PID 控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制、迭代學習控制、變結構控制以及反演控制等設計方法。PID 控制算法得力于控制律簡單且易于實現(xiàn)，但是過分地依賴于人工調節(jié)，控制器參數(shù)整定過程費時、費力，難以保證受控系統(tǒng)的動態(tài)特性和靜態(tài)品質［5］。對于精確數(shù)學模型難以建立的復雜系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡控制和模糊控制的優(yōu)勢尤其明顯，具有高度的非線性逼近及預測能力，可以對系統(tǒng)動力學行為中未知部分進行預測逼近，從而實現(xiàn)機械臂的高精度跟蹤，但是神經(jīng)網(wǎng)絡控制的局限性在于神經(jīng)網(wǎng)絡結構的不確定性、網(wǎng)絡規(guī)模與工程應用的矛盾性以及數(shù)據(jù)樣本依賴性等方面［6-8］。變結構控制具有快速響應、對參數(shù)變化及噪聲不靈敏、物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，但是容易造成系統(tǒng)抖震，即控制誤差在零點附近時，變結構控制策略存在較強的抖動現(xiàn)象，使得系統(tǒng)不穩(wěn)定［9］。迭代學習以及反演控制有利于解決非線性、強耦合和模型參數(shù)難以確定的控制系統(tǒng)，對于機械臂軌跡跟蹤系統(tǒng)具有先進的理論研究意義［10］，但在物理實現(xiàn)和工程應用上條件局限。因此，本文提出運用人工智能的模糊控制算法，簡化控制器參數(shù)的整定過程并解決模型不確定等問題，但是模糊控制設計也是一個相對復雜的過程，尤其是變論域的確定和隸屬度函數(shù)形式的選擇都對設計者造成了困難，面對此挑戰(zhàn)，變論域的自適應模糊控制思想的引進給模糊控制器設計師帶來了極大的便利［11-12］。在整個閉環(huán)控制策略設計中，單力臂根據(jù)預期設置的控制指令進行軌跡跟蹤，單力臂的角位移量與預期控制指令的偏差和偏差變化量被選取為反饋變量，實現(xiàn)誤差控制。

控制策略能否及時響應是衡量該控制器在工程應用上的一項重要指標，現(xiàn)場可編程門列陣（FPGA）硬件具有并行性架構特點，滿足實時性高、可重配置性靈活以及開發(fā)周期短等優(yōu)勢［13-15］。因此，為了保證運行速度，本文采用FPGA 作為硬件基礎實現(xiàn)變論域模糊控制器。變論域模糊控制器數(shù)學模型在實現(xiàn)過程中涉及大量重復的非線性函數(shù)和乘法運算，傳統(tǒng)設計過程一般采用查找表和乘法器IP 核進行實現(xiàn)，因而相對復雜的模型設計就會對FPGA 的資源要求以及功耗提出挑戰(zhàn)。本文提出分段線性化方法［16-20］進行復雜函數(shù)硬件實現(xiàn)的功能替代，按照該方法思想，變論域模糊控制器硬件設計中所涉及的非線性函數(shù)和乘法器，均替換為復用器、移位器以及加減法器的邏輯實現(xiàn)，顯著減輕了FPGA 的硬件資源占用。Matlab 仿真設計及驗證表明，本文提出的變論域模糊閉環(huán)控制策略是正確有效的。FPGA 物理實現(xiàn)表明，變論域模糊控制器的邏輯優(yōu)化設計方法具有一定的工程應用價值。

1 變論域模糊控制算法的設計分析

單力臂示意圖如圖1 所示，單力臂機械手根據(jù)運動學方程［21］可描述為

式中：θ為系統(tǒng)關節(jié)角位移量，是關于時間t的非線性函數(shù)；d為機械運動的黏性摩擦系數(shù)；mg為機械臂重力項；l為機械臂質心距轉動關節(jié)的距離；τd為外加擾動的摩擦模型；τ為控制力矩的輸入；h1、h2為外加擾動模型中的常數(shù)項；I為運動學轉動慣量。模型的具體參數(shù)值見表1。

圖1 單力臂示意圖Fig.1 Single-arm diagram

表1 單力臂模型的仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameter of single-arm model

單力臂控制模型的仿真是基于變論域模糊控制算法設計一個主模糊控制器和一個伸縮因子模糊控制器，其中伸縮因子模糊控制器根據(jù)誤差變化，自適應調節(jié)主模糊控制器論域的伸縮變換，使得單力臂系統(tǒng)輸出不斷跟蹤收斂于預期給定指令?；贛atlab 仿真平臺，變論域模糊控制器設計了“主-從”二維模糊控制器進行系統(tǒng)的反饋閉環(huán)控制。其中，“從”模糊控制器根據(jù)其功能屬性，在于調節(jié)主模糊控制器的論域變換，命名為伸縮因子模糊控制器。模糊控制器主要由“模糊化、變論域、模糊推理、去模糊化”4 個解算過程構成：模糊化運算在于論域的確定和實際輸入量的模糊量化；變論域運算在于根據(jù)計算得到伸縮因子不斷修改論域范圍；模糊推理運算過程主要基于模糊控制器里的數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫進行邏輯推理；去模糊化運算包括模糊控制量的清晰化變換和輸出控制量的實際量化。仿真設計中機械臂的跟蹤誤差e與誤差變化率ec作為模糊控制器的輸入。

主模糊控制器采用Mamdani型模糊系統(tǒng)，如圖2所示，跟蹤誤差e與誤差變化率ec經(jīng)過模糊化處理后，使得模糊變量處于論域之中，其模糊輸入量E、EC以及輸出變量U的基本論域范圍均設定為［-3，3］，收到伸縮因子模糊控制器輸出量λ對基本論域的影響，控制過程中輸入量E、EC以及輸出變量U基本論域變化分別為［-3λ1，3λ1］、［-3λ2，3λ2］和［-3λ3，3λ3］，λ1、λ2和λ3稱為對E、EC和U的論域伸縮因子，本文取λ1=λ2=λ3=λ，確定模糊集合為T（E）=T（EC）=｛NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB｝，T（U）=｛NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB｝，對應模糊集合的隸屬度函數(shù)分別如圖3（a）～圖3（c）所示，NB和PB 采取非線性Z 型和S 型函數(shù)表示，其他均呈三角型分布，Z 型和S 型表達式如下：

圖2 單力臂閉環(huán)控制結構Fig.2 Single-arm closed-loop schematic diagram

圖3 主模糊控制器輸入輸出變量的隸屬函數(shù)曲線Fig.3 Membership function curve of input and output variables of main fuzzy controller

依據(jù)專家經(jīng)驗和控制工程知識，建立主模糊系統(tǒng)的規(guī)則庫（見表2）。規(guī)則庫是由49 條“IF_THEN”型的模糊條件句構成，如規(guī)則庫第二條可具體表達為：IFEis NB andECis NM，THENUis PB。

表2 主模糊控制器規(guī)則庫Tab.2 Main fuzzy controller rule base

基于這些模糊控制器規(guī)則庫，進行模糊推理運算。如圖3（d）所示，模糊邏輯運算包括激活過程和綜合過程，激活過程采用取小法，如圖3（b）虛線所示。綜合過程采用取大法。例如輸出變量U的PB隸屬度函數(shù)的規(guī)則，按照“取小-取大法”解讀為

以此類推，通過模糊邏輯運算得到所有對應輸出隸屬度函數(shù)下的最大值。按照面積重心法，求取主模糊控制器的輸出清晰值，如圖3（d）陰影部分所示。

伸縮因子模糊控制器與主模糊控制器針對輸入量E、EC和輸出量λ采用相同的隸屬度函數(shù)，其中輸入量E、EC的基本論域和模糊集合與主模糊控制器的設定保持一致，輸出量λ的基本論域設定為［0，2］，模糊語言值集合定義為：T（λ）=｛I，II，III，IV，V，VI，VII｝。

伸縮因子模糊控制器輸入量U的隸屬度函數(shù)如圖4 所示，形狀與主模糊控制器隸屬度函數(shù)曲線相似，其中各個值的范圍分別為：I，0～2/3；II，0～1；III，0～4/3；IV，1/3～5/3；V，2/3～2；VI，1～2；VII，4/3～2；在各個值的給定范圍外，其隸屬度均置為零。

圖4 伸縮因子模糊控制器輸出變量的隸屬函數(shù)曲線Fig.4 Membership function curve of output variables of auxiliary fuzzy controller

伸縮因子模糊控制系統(tǒng)的規(guī)則庫見表3，當輸入信號誤差E是“NB”且誤差變化率EC是“NB”時，表明控制系統(tǒng)的負向跟蹤誤差很大，且誤差變化處于繼續(xù)負向急速增長的趨勢，因此，對應“VII”隸屬度函數(shù)，通過適當拉伸主模糊控制器的論域，加快主控制器的控制作用。當輸入信號誤差E是“NB”且誤差變化率EC是“PB”時，表明控制系統(tǒng)負向跟蹤誤差很大，但快速的誤差增長率能夠有效彌補過大的負誤差量，因此，對應”IV”隸屬度函數(shù)，無需改變主模糊控制器的論域，保持其控制作用即可。當輸入信號誤差E是“NB”且誤差變化率是“PS”時，表明控制系統(tǒng)跟蹤負向跟蹤誤差很大，但誤差變化率處于緩慢增長的趨勢，表明負向跟蹤誤差正在緩慢減小，但是控制精度不足，因此，對應“I”隸屬度函數(shù)，通過壓縮主模糊控制器的論域，加快跟蹤誤差的收斂速度。當輸入信號誤差是“PB”，誤差變化率是“NB”時，表明控制系統(tǒng)雖然正向誤差很大，但快速的誤差下降率可以有效彌補過大的正向跟蹤誤差，因此，對應“IV”隸屬度函數(shù)，無需改變主模糊控制器的論域，保持其控制作用即可。

表3 伸縮因子模糊控制器規(guī)則庫Tab.3 Rule base of fuzzy controller with expansion factor

設定預期位置指令為y=10 sin(32πt)，對于基于單力臂模型跟蹤預期位置的閉環(huán)控制系統(tǒng)，仿真結果如圖5 所示。圖5（a）顯示了控制系統(tǒng)的實時誤差變化，褐色曲線放大狀態(tài)可知誤差變化范圍在區(qū)間［-0.2，0.2］內波動，誤差精度在0.02 以下，針對單力臂控制系統(tǒng)，控制效果顯著。圖5（b）表示隨著時間變化的控制輸入量，從圖中可以看出在剛開始跟隨時需要能量較大，控制輸入曲線起伏很大，系統(tǒng)跟隨穩(wěn)定后控制輸入也趨于穩(wěn)定，控制輸入曲線處于平滑。圖5（c）藍色實線代表預期的跟蹤指令曲線，紅色實線代表真實單力臂模型的運動軌跡，可以看出單力臂的運動軌跡在逐漸逼近并跟隨上預期的控制指令。圖5（d）表示預期指令曲線和跟蹤曲線的相位圖，近似呈現(xiàn)一條直線分布，表明跟蹤效果較好。

為進一步定量衡量該模糊系統(tǒng)的控制性能，引入如下表征誤差輸入信號的波動特性的公式：

式中：ye-y為跟蹤誤差量。

(6)超高分子量聚乙烯(UHMWPE)板材和管材。超高分子量聚乙烯材料具有耐磨性好，磨擦系數(shù)低，滑動性好，耐腐蝕等特點，在煤炭行業(yè)用于輸送磁鐵粉、煤漿的管道和設備的襯板，還能防噪音，但該襯板容易起毛面。在對摩擦阻力要求不嚴格、需要降低噪音的場合，使用該襯板效果良好。

控制信號的能量損耗為

式中：Ce為控制信號輸入量；N為計算選取的采集點個數(shù)。

經(jīng)計算得，wav 為0.002 4，Eng 為244.04，誤差輸入信號波動性小，能量損耗低，證實控制效果較優(yōu)。

圖5 單力臂軌跡跟蹤的仿真結果Fig.5 Simulation results of single-arm trajectory tracking

2 變論域模糊控制算法的FPGA 優(yōu)化實現(xiàn)

變論域模糊控制器的實質是由主模糊控制器和伸縮因子模糊控制器構成，兩個模糊控制器綜合協(xié)調使得控制性能更優(yōu)。但是，由于兩者的模糊系統(tǒng)知識庫（隸屬度函數(shù)和規(guī)則庫）的選擇和設計上大同小異，因此，在硬件實現(xiàn)過程中，設計主模糊控制器后創(chuàng)建軟核IP，調用并修改部分參數(shù)值，從而高效建立伸縮因子模糊控制器。在模糊控制器的設計中，模糊化、變論域、模糊推理以及去模糊化這4 個運算過程是整個模糊控制器設計的核心?；诖?，模糊控制器的硬件實現(xiàn)基本框圖如圖6 所示。

按照功能實現(xiàn)劃分為隸屬度函數(shù)實現(xiàn)模塊、規(guī)則庫建立模塊、模糊推理模塊以及去模糊化模塊。E和EC作為控制器的輸入變量，經(jīng)過各自的隸屬度函數(shù)庫，得到函數(shù)輸出值。在模糊推理激活過程中，依據(jù)49 條規(guī)則庫，E和EC的函數(shù)輸出值按照“取小法”設計，通過比較器和復用器功能實現(xiàn)，得到對應輸出隸屬度函數(shù)U的49 個值。在模糊推理綜合過程中，將這49 個值按照輸出變量U的模糊集合進行分類，通過比較器、復用器以及寄存器功能實現(xiàn)，取對應模糊集合下的最大值NBmax、NMmax、NSmax、ZOmax、PMmax、PSmax、PBmax。

在去模糊化設計過程中，依據(jù)面積重心法公式求取模糊控制的輸出量：

圖6 模糊控制器的硬件實現(xiàn)框圖Fig.6 Hardware implementation diagram of fuzzy controller

式中：regi(0 ≤i≤6)為輸出變量U在不同模糊集合下對應隸屬度函數(shù)的質心值。

硬件實現(xiàn)過程中，對模糊控制器進行模塊化設計，模塊劃分為隸屬度函數(shù)庫的建立、模糊推理激活過程、模糊推理綜合過程和重心法解模糊過程。傳統(tǒng)的硬件設計中，乘法器和查找表的使用是建立隸屬度函數(shù)庫以及去模糊化運算的主要設計手段。從節(jié)省硬件資源的角度考慮，本文介紹模糊控制器的無乘法實現(xiàn)方法，在設計過程中，所有的查找表和乘法器的使用均被替代為復用器、移位器以及加法器運算，顯著降低復雜算法模型給硬件帶來的資源消耗。

而其他模糊集合下的隸屬度函數(shù)本身便是分段線性函數(shù)，便于硬件上的資源優(yōu)化實現(xiàn)。

利用Matlab 的擬合工具箱，基于最小二乘法思想進行非線性函數(shù)的分段取點。修正后的隸屬度函數(shù)FPBlin(x)和FZBlin(x)可以近似為六段分段線性直線表示，參數(shù)k，0 ≤i≤5 表示分段線性化之后各段線性直線的斜率，參數(shù)b，0 ≤i≤5 表示分段線性化之后各段線性直線的截距。

修正后的隸屬度函數(shù)與原隸屬度函數(shù)的匹配精度如圖7 所示。其中，圖7（a）代表FPBlin(x)線性化過程，圖7（b）圖中代表FZBlin(x)線性化過程，藍色實線代表原函數(shù)，紅色代表修正后的分段函數(shù)，綠色表示兩者間的誤差情況。表4 和表5 給出了算法模型修正后所有的隸屬度函數(shù)系數(shù)值。

此外為了定量衡量修正后的誤差變化情況，本文提出了一系列誤差標準，定義為

圖7 分段線性化函數(shù)與原函數(shù)對比Fig.7 The comparison of piecewise linear function and original function

式中：EMA為絕對誤差；E為標準誤差；ei為采集點誤差；M為采集次數(shù)；for（i）、flin（i）為采集點處的原函數(shù)值和修正函數(shù)值。

根據(jù)式（8），計算近似隸屬度函數(shù)FPBlin(x)和FZBlin(x)的誤差，由于兩隸屬度函數(shù)鏡像對稱，所以計算后的誤差系數(shù)一致，分別是標準誤差E=0.006 8，絕對誤差EMA=0.003 2，顯而易見修正后的誤差波動保證在可接受精度范圍內。

表4 分段線性化函數(shù)k 系數(shù)Tab.4 k coefficients in piecewise linear function

表5 分段線性化函數(shù)b 系數(shù)Tab.5 b coefficients in piecewise linear function

近似隸屬度函數(shù)FPBlin(x)和FZBlin(x)的硬件實現(xiàn)框圖如圖8（a）～圖8（b）所示，所有非線性項和乘法器均被替代為加法器、比較器、移位器和復用器進行功能實現(xiàn)。同時，在去模糊運算模塊中所涉及的乘法器和除法器也采取同樣的方法，將其替代為硬件資源更為豐富的移位器和加法器運算。

圖8 分段線性化函數(shù)流水線結構Fig.8 Pipeline structure of piecewise linear function

3 實現(xiàn)結果

硬件設計基于Altera DE2-115 的開發(fā)平臺，本節(jié)給出了變論域模糊控制器的實現(xiàn)結果?；贔P?GA 下的控制系統(tǒng)的關節(jié)角輸出變化和誤差波動的Modelsim 軟件仿真圖和示波器圖如圖9 所示。圖9（a）中黃色和藍色線條分別表示預期控制指令和模型關節(jié)角位移的跟蹤變化，紫色代表關節(jié)角速度的變化，綠色代表誤差變化量。圖9（b）～圖9（c）分別表示示波器下的關節(jié)角位移量變化和誤差變化量，橫坐標時間尺度為20 μs，縱坐標電壓尺度為1 V。

圖9 FPGA 硬件實現(xiàn)結果圖Fig.9 Results diagram of FPGA hardware implementation

對FPGA 而言，底層基礎的移位器、加法器、比較器以及復用器等都是相對充足的，屬于總邏輯組成元素中的一部分。而數(shù)字處理模塊如乘法器模塊和累加器模塊、片上存儲資源對于設計而言是有限的。DE2-115 開發(fā)平臺最多支持532 個9 位乘法器模塊，3.9 Mbit 的SRAM 存儲空間，見表6。大量高精度的乘法運算和隸屬度函數(shù)緩存將對控制器的設計提出挑戰(zhàn)。因此，本文通過分段線性化以及移位操作等方法，將算法模型中所有的隸屬度函數(shù)非線性項、乘法器運算所涉及的乘法器模塊和片上存儲等有限資源，均轉化為加法器、移位器等底層硬件資源的設計，系統(tǒng)的最高工作頻率達到89.71 MHz，滿足設計的實時性要求。硬件資源的有效節(jié)省在工程實際應用中具有重要意義，本文在主模糊控制器和伸縮因子模糊控制器的硬件設計上均采用了49 條模糊控制規(guī)則，由仿真結果得知，跟蹤誤差在±0.2 之間波動，誤差精度控制在0.02 范圍內。一方面，零乘法器的使用可以為算法升級提供支持。硬件資源的消耗主要體現(xiàn)在模糊規(guī)則的邏輯實現(xiàn)，變論域模糊控制器的精度可以通過添加更多細化的模糊控制規(guī)則和更加復雜的隸屬度函數(shù)，從而進一步提高控制精度。本文在設計7×7=49 條模糊規(guī)則庫上使用了約1/3 的總邏輯組成元素，見表6。因此，可以估計出該芯片可支持12×12=144條模糊規(guī)則庫的控制器實現(xiàn)。另一方面，資源優(yōu)化降低對硬件芯片的要求，比如片上內存資源以及專用的DSP 數(shù)字處理模塊的節(jié)約，便于工程上對硬件芯片的選型，在大規(guī)模批產(chǎn)等應用上可以合理控制硬件成本。

表6 資源利用率Tab.6 Hardware resource utilization

4 結束語

本文以單力臂模型為被控對象，采用變論域模糊控制算法，進行了關節(jié)角位置跟蹤的仿真分析。仿真結果表明，變論域模糊控制算法在對非線性被控系統(tǒng)上具有良好的控制性能和自適應性。同時，針對變論域模糊控制算法的FPGA 硬件實現(xiàn)存在的問題提出了優(yōu)化設計，對算法模型進行線性化修正，有效節(jié)省了算法硬件實現(xiàn)過程中的硬件資源，從而可以推廣到模糊規(guī)則更多、控制更精確的變論域模糊控制器的硬件邏輯設計。本文的理論仿真運用了Matlab/Simulink 建立了被控對象和控制算法模型，通過了仿真驗證，驗證了控制算法的有效性。在理論分析基礎上，基于FPGA 高速平臺完成了變論域模糊控制算法的硬件設計并進行優(yōu)化實現(xiàn)，通過物理實現(xiàn)結果驗證其可實施性，滿足實時性要求，具有實際的工程應用價值。