嚴 偉，朱景文，周衛(wèi)雪

（1.藍箭航天空間科技股份有限公司，北京 100176；2.北京航天長征飛行器研究所，北京 100076）

0 引言

金屬波紋管是一種具有褶合輪廓的柔性管材，在管路系統(tǒng)中通過褶合處的變形補償管道連接處的相互位移，同時吸收振動能量。這使得其在保持局部剛性的同時，整體又具有柔韌性，因此，被廣泛應用于液體火箭發(fā)動機的推進劑輸送系統(tǒng)中。

液體火箭發(fā)動機常采用低溫介質(zhì)液氧作為助燃劑。當液氧在波紋管中輸送時，流動狀態(tài)通常是復雜的非定常湍流。同時，受褶合區(qū)域復雜幾何的影響，液氧的流動會呈現(xiàn)出一定的周期性，進而誘導波紋管結(jié)構(gòu)發(fā)生振動［1-2］。流體誘導振動的強度通常不大，影響可忽略，但如果振動頻率接近波紋管固有頻率，將引起結(jié)構(gòu)共振，此時迅速增大的交變應力會在很短時間內(nèi)令波紋管疲勞失效［3-5］。

美國早在20 世紀60 年代就開展了波紋管流體誘導振動的相關研究。在土星5 運載器第2 次飛行期間，其中1 臺2 級J-2 發(fā)動機發(fā)生故障導致提前關機；同一次飛行，3 級的J-2 發(fā)動機在地球軌道上起動失敗。這些異常最后查明是由于流體誘導振動導致波紋管疲勞失效引起的。這些失效案例促使美國對流體誘導波紋管振動問題進行了廣泛研究，調(diào)查分析了超過50 個不同種類的撓性軟管和管路樣本［6］。

早期的流動可視化試驗，觀察到波紋管褶合處有漩渦不斷脫落，確認了流體在波紋管內(nèi)壁的渦脫落是誘導振動的原因?；跍u脫落理論，美國國家航空航天局（NASA）建立了流體誘導波紋管振動的數(shù)學模型，提出了估算波紋管在給定幾何尺寸和來流速度下的流體誘導振動應力的半經(jīng)驗方法。該方法將波紋管每半個褶合等效為集中質(zhì)量，各集中質(zhì)量之間采用彈簧連接，通過計算波紋管固有頻率以及渦脫落頻率，求得激起的波紋管模態(tài)階數(shù)。在此基礎上估算波紋管應力，同時編制了計算波紋管流體誘導交變應力的計算程序。該方法對高壓撓性軟管以及剛度較大的自由金屬波紋管的預測較為準確。應用該方法對土星/阿波羅運載器上所有使用的波紋管進行了計算，以判斷流體誘導振動問題是否存在。此后，NASA 完善了試驗數(shù)據(jù)，進一步修正了模型中的中的系數(shù)，提高了精度［7］。

在國內(nèi)，李中來等［8］、馬明等［9］、羅宏瀚［10］分別針對波紋管的疲勞失效問題展開了研究。其中，羅宏瀚基于商用軟件ANSYS 建立了流體誘導波紋管振動的計算模型，比較研究了波紋管參數(shù)、流動等性質(zhì)對振動的影響，定性分析了不同條件下振動的特征，并根據(jù)計算結(jié)果提出了波紋管流固耦合的減振方法。

本文利用二維大渦模擬模型，對波紋管內(nèi)液氧流動進行非定常數(shù)值仿真，發(fā)展了波紋管流動的渦脫落幅頻特性預測方法；研究了液氧流動速度、波紋管幾何對渦脫落頻率的影響，并歸納出了計算渦脫落頻率的經(jīng)驗式，彌補了已有研究在工程適用性上的不足。

1 數(shù)學模型

液氧在液體火箭發(fā)動機波紋管內(nèi)的流動本質(zhì)上是一種復雜的三維、非定常、高雷諾數(shù)湍流。由于波紋管的結(jié)構(gòu)具有軸對稱性（如圖1 所示），液氧內(nèi)部的流動可近似視為軸對稱流動，故此可將三維流動問題簡化為二維。

同時引入流動不可壓假設，并忽略重力和熱傳導影響，則可用如下二維、黏性、不可壓控制方程來描述波紋管內(nèi)液氧的流動。

連續(xù)方程為

圖1 波紋管幾何模型Fig.1 Schematic diagram of bellows geometric model

x方向動量方程為

y方向動量方程為

式中：u、v分別為流動沿x、y方向的速度分量；p為壓強；ρ、μ分別為液氧的密度和動力黏性系數(shù)；t為時間。

本文采用大渦模擬模型來描述波紋管內(nèi)的湍流運動。它的基本思想為：大尺度脈動（或大尺度湍流渦旋）的結(jié)構(gòu)依賴于個別的流動問題，不存在通用模型，因此，直接通過求解Navier-Stokes 方程獲得；而小尺度脈動近似各向同性，其對大尺度運動的作用可以使用模型假設［11］。然而，大渦模擬是針對三維問題提出的，為了能在二維問題中應用該模型，本文參考文獻［12］中建立的二維大渦模擬格式進行數(shù)值計算。

2 計算方法

2.1 網(wǎng)格劃分

采用有限容積法對計算區(qū)域進行離散，生成如圖2 所示的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，并且對近壁面處網(wǎng)格進行加密。在波紋管褶合區(qū)域內(nèi)，使用C 型網(wǎng)格。

圖2 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of meshing

2.2 定解條件

在進口截面給定速度邊界條件

在出口截面給定壓力邊界條件

在壁面處給定無滑移固壁邊界

在對稱邊界給定

式中：下標inn 為進口截面；out 為出口截面；wall 為固壁；axis 為對稱軸。初始條件給定波紋管褶合內(nèi)速度為零，其余部分同進口邊界條件。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 仿真結(jié)果

進口速度uinn=30 m/s 時，流動充分發(fā)展后在通道褶合附近8 個不同時刻的速度云圖如圖3 所示，時間差Δt=1.2×10-4s。由圖可知：主流區(qū)的速度波動較小；當液氧流經(jīng)褶合的上坡側(cè)時，流道擴張導致速度下降，并較大的旋渦產(chǎn)生、脫落；當液氧流經(jīng)褶合的下坡側(cè)時，流道收縮，速度增大，并且受回流的影響，之前在上坡側(cè)出現(xiàn)的脫落渦被卷吸進入褶合內(nèi)部，與褶合內(nèi)原有的渦相互作用。該過程不斷重復，誘導波紋管結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，振動的頻率等于褶合上坡側(cè)的渦脫落頻率。

圖3 不同時刻波紋管內(nèi)的速度分布（uinn=30 m/s）Fig.3 Contours of velocity magnitude（uinn=30 m/s）at different time in the bellows

為了定量分析渦脫落的頻率，在C點（見圖1 標注）設置數(shù)字探針，監(jiān)控其速度的脈動。當流動充分發(fā)展后，截取0.1 s 之內(nèi)的速度信號如圖4 所示。橫坐標表示時間，縱坐標表示C點的速度大小。由圖4 可見，C點速度隨時間高頻振蕩，平均速度為21.57 m/s。

對速度-時間信號進行快速傅里葉分析（FFT），得到其幅頻特性如圖5 所示。橫坐標表示信號的頻率成分，縱坐標表示相應頻率下的振動幅值。

圖4 C 點速度信號（uinn=30 m/s）Fig.4 Velocity signal at point C（uinn=30 m/s）

圖5 C 點速度信號的幅頻特性（uinn=30 m/s）Fig.5 Amplitude-frequency characteristic of the velocity signal at point C（uinn=30 m/s）

由圖可知：圖4 所示速度-時間信號的基頻為2 030 Hz，對應速度分量波動的幅值為0.684 2 m/s，約占平均速度的3%；二階頻率對應分量的波動幅值為0.225 7 m/s，約占平均速度的1%；三階及其以上頻率分量強度很小，可忽略。

為了分析流動速度對渦脫落頻率的影響，本文設計了多組對比算例，對不同進口速度uinn下的流場進行了仿真，并分別對C點的速度-時間信號進行FFT 處理，不同進口速度下的基頻見表1?？梢?，渦脫落運動的基頻與液氧流動速度近似成正比，液氧流動速度越大，渦脫落頻率越高。

表1 不同uinn下C 點速度波動的基頻Tab.1 Base frequency of C-point velocity signal at different uinn

如圖3 所示，渦脫落運動的動態(tài)過程，渦脫落頻率除了與液氧流動速度有關，還可能受波紋管褶合處幾何參數(shù)的影響。

本文基于控制變量法，在波紋管進口速度不變的條件下，分別研究了r1、r2（如圖1 所示）對渦脫落頻率的影響。

某一較小r1、進口速度為30 m/s 時，波紋管內(nèi)液氧流動充分發(fā)展后，在通道褶合附近8 個不同時刻的渦量云圖如圖6 所示，時間差Δt=1.0×10-4s。從渦量云圖上也可以觀察到周期性的渦脫落運動，同時，由于褶合上坡側(cè)曲率半徑r1較?。ㄏ鄬τ趫D3所示），加快了渦脫落的過程。

圖6 某較小r1條件下不同時刻波紋管內(nèi)的渦量分布Fig.6 Contours of vorticity under a small r1 at different time in the bellows

對不同r1、r2下C點的速度-時間信號分別進行FFT 處理，得到速度波動的基頻與波紋管r1、r2的關系，結(jié)果見表2。其中，r0為特征半徑，利用它對r1、r2進行無量綱處理。由表2 可見，r1、r2越大，速度波動的基頻越小，意味著渦脫落頻率隨r1、r2增大而減小。

表2 不同r1、r2下C 點速度信號的基頻Tab.2 Base frequency of C-point velocity signal at different r1，r2

3.2 結(jié)果分析

綜上所述，波紋管內(nèi)渦脫落運動的基頻fst與進口速度uinn正相關，與r1、r2負相關，據(jù)此將fst與uinn、r1、r2之間的函數(shù)關系歸納為如下形式：

基于式（4），對表1 和表2 中數(shù)據(jù)進行最小二乘分析，確定比例系數(shù)ξ=0.26。

分析經(jīng)驗式（4）可知，當r1、r2一定時，fst與uinn成正比。經(jīng)驗式計算值與表1 中仿真數(shù)據(jù)對比如圖7所示，數(shù)據(jù)點與擬合直線貼合較好，表明經(jīng)驗式正確反映了波紋管內(nèi)渦脫落運動的基頻與流動速度之間的關系。

圖7 經(jīng)驗式計算值與表1 數(shù)據(jù)對比Fig.7 Comparison of empirical formula calculations with Tab.1

當uinn一定時，fst與r1、r2之和成反比。經(jīng)驗式計算值與表2 中仿真數(shù)據(jù)對比如圖8 所示。圖中曲面表示uinn=30 m/s 時fst與r1、r2之間的函數(shù)。從圖中可以看出，表2 中數(shù)據(jù)基本上均勻分布在曲面兩側(cè)，且與函數(shù)曲面貼合較好，這表明經(jīng)驗式合理反映了波紋管內(nèi)渦脫落運動的基頻與r1、r2之間的關系。

圖8 經(jīng)驗式計算值與表2 數(shù)據(jù)對比Fig.8 Comparison of empirical formula calculations with Tab.2

在流體力學中，通常用斯特羅哈數(shù)St來表征渦脫落頻率。用St代替經(jīng)驗式（4）中的比例系數(shù)ξ，可得

已有試驗研究證明，流體在波紋管內(nèi)產(chǎn)生的渦脫落運動，與圓柱繞流時的渦脫落運動具有相近的斯特羅哈數(shù)。對于圓柱繞流，一般其St大約在0.2附近。這與本文通過仿真歸納出的系數(shù)0.26 較接近。

4 結(jié)束語

本文針對液氧在波紋管內(nèi)的非定常流動，采用大渦模擬方法進行了數(shù)值仿真，研究了渦脫落幅頻特性與流動速度、波紋管幾何特征之間的關系，并歸納了波紋管流動渦脫落頻率的經(jīng)驗式。主要結(jié)論如下：

1）液氧在波紋管內(nèi)流動，會在褶合上坡側(cè)產(chǎn)生脫落渦；

2）渦脫落運動的基頻與來流速度成正比，與褶合特征長度成反比，使用經(jīng)驗式（4）可以估算渦脫落頻率。

后續(xù)計劃開展相關試驗，驗證或修正經(jīng)驗式（4），為液體火箭發(fā)動機波紋管的防疲勞設計提供技術(shù)支撐。