譚天樂,尹俊雄,周恒杰,鄭翰清
(1.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109;2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109)
無(wú)刷直流電機(jī)(Brushless DC Motor,BLDCM)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)行高效可靠、便于控制而得到廣泛應(yīng)用。轉(zhuǎn)臺(tái)、數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人等在各種負(fù)載工況和任務(wù)下的高精度、敏捷控制一直是國(guó)內(nèi)外研究和應(yīng)用中的關(guān)注熱點(diǎn)。
關(guān)于無(wú)刷直流電機(jī)的控制方法,因?yàn)楸壤e分微分(Proportional Integral Derivative,PID)控制方法成熟、形式簡(jiǎn)單,所以工程中應(yīng)用較多,并從控制精度、控制穩(wěn)定度、控制快速性以及抗干擾能力等方面結(jié)合其他控制方法以提升性能。模糊控制[1-3]按照模糊規(guī)則調(diào)整參數(shù),計(jì)算控制量,根據(jù)轉(zhuǎn)速誤差及其變化率設(shè)計(jì)模糊律,在線實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)比例積分(Proportional Integral,PI)參數(shù),具有較好的魯棒性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)態(tài)性,但通常需要先驗(yàn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。魯棒控制[4-6]根據(jù)參數(shù)的不確定性及干擾的攝動(dòng)范圍設(shè)計(jì)控制系統(tǒng),適用于具有模型不確定和外部干擾攝動(dòng)的情況。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用線性矩陣不等式理論設(shè)計(jì)的H∞模糊控制器,使非線性系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)具有較好的魯棒性,但實(shí)時(shí)計(jì)算量大,不利于工程實(shí)現(xiàn)。自抗擾控制[7-9]不依賴于模型,算法簡(jiǎn)單、超調(diào)低,收斂快且精度高,魯棒性較強(qiáng),但需整定的參數(shù)較多?;W兘Y(jié)構(gòu)控制[10]可以在線調(diào)節(jié)以應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦力的不確定性,對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化及外部擾動(dòng)不敏感,具有較強(qiáng)的魯棒性與自適應(yīng)性,可以實(shí)現(xiàn)較好的動(dòng)態(tài)控制效果,但存在抖振現(xiàn)象,需要采用高階滑模[11]、自適應(yīng)趨近律[12-13]等方法削弱抖振。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[14-15]可通過(guò)學(xué)習(xí)優(yōu)化PID 參數(shù),常結(jié)合遺傳算法[16]等以提高計(jì)算效率或避免局部最優(yōu),但需要解決可解釋性和實(shí)時(shí)性問(wèn)題,通常需要離線進(jìn)行數(shù)據(jù)的訓(xùn)練以得到較優(yōu)的參數(shù)值。預(yù)測(cè)控制[17-20]采用模型預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正,通過(guò)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化得到控制量,具有靜差小、抗負(fù)載擾動(dòng)強(qiáng)的特點(diǎn),但系統(tǒng)性能依賴于目標(biāo)函數(shù)的合理設(shè)計(jì),且對(duì)于多步預(yù)測(cè)控制,計(jì)算量大,難以應(yīng)用于要求快速性的伺服系統(tǒng)中。
以上預(yù)測(cè)控制之外的其他方法均在每個(gè)測(cè)控時(shí)刻獲取系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)信息,并與期望狀態(tài)進(jìn)行比較,計(jì)算當(dāng)前的狀態(tài)偏差,以當(dāng)前的狀態(tài)偏差為基礎(chǔ)進(jìn)行控制??刂破鞯脑O(shè)計(jì)基于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,從系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的角度出發(fā),考慮控制系統(tǒng)中的指標(biāo)要求進(jìn)行設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇,采用Lyapunov函數(shù)或者零極點(diǎn)分布等方法分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,證明系統(tǒng)在控制律的作用下,對(duì)于期望的狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)控制。常規(guī)的預(yù)測(cè)控制在預(yù)測(cè)未來(lái)的系統(tǒng)狀態(tài)后,在控制器設(shè)計(jì)時(shí)大多以控制性能和代價(jià)建立目標(biāo)函數(shù),通過(guò)最優(yōu)化方法,求取控制量,并不斷迭代優(yōu)化,對(duì)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)依然是基于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
本文對(duì)BLDCM 的電氣與機(jī)械特性進(jìn)行了分析與建模。在數(shù)字控制系統(tǒng)中,采用模型預(yù)測(cè)的方法估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角的未來(lái)偏差。基于系統(tǒng)能控性和電機(jī)受控轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)變化規(guī)律,根據(jù)估計(jì)的狀態(tài)偏差反演控制電流與電壓指令,提出了BLDCM 轉(zhuǎn)速控制以及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角同步控制的模型預(yù)測(cè)與反演(Model Predictive and Inversive,MPI)控制方法。不同于對(duì)負(fù)載的在線辨識(shí)和干擾已知情況下的前饋補(bǔ)償控制,本文基于電機(jī)負(fù)載及外部力矩干擾對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響機(jī)理,根據(jù)狀態(tài)偏差直接反演出負(fù)載/干擾補(bǔ)償控制指令。最后,考慮工程實(shí)際情況中電機(jī)參數(shù)誤差、系統(tǒng)狀態(tài)測(cè)量誤差和實(shí)時(shí)摩擦力的影響,本文仿真驗(yàn)證了MPI 控制方法的有效性。
對(duì)于定子為三相對(duì)稱星型連接繞組的BLDCM,其狀態(tài)空間形式的電氣特性方程為
式中:X1=[iaibic]T為狀態(tài)變量,其中,ix|x=a,b,c為三相繞組中電流;U1=[uaubuc]T為控制輸入,其中,ux|x=a,b,c為三相端電壓值,
E=[eaebec]T,ex|x=a,b,c為三相反電勢(shì);R、L、M分別為每相繞組的電阻、電感與繞組間互感。
狀態(tài)空間形式的機(jī)械特性方程為
式中:X2=[ω]為狀態(tài)變量,ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速;U2=[iaibic]T為控制輸入;W=[Tl]為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;相關(guān)矩陣為A2=[-Bf/J];B2=K為反電勢(shì)系數(shù),fx(θe)|x=a,b,c為反電勢(shì)波形函數(shù),θe為轉(zhuǎn)子電角度,,J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
電機(jī)參數(shù)K、J、Bf、R、L、M通常均為已知,三相電流、轉(zhuǎn)速ω可以測(cè)量得到,反電勢(shì)函數(shù)在每個(gè)控制周期中可通過(guò)電角度查表計(jì)算得出。
當(dāng)采樣周期T足夠小時(shí),近似認(rèn)為三相端電壓和反電勢(shì)在一個(gè)測(cè)控周期內(nèi)不變,對(duì)式(1)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程求解,得到
下標(biāo)k、(k+1)分別為當(dāng)前控制周期初始時(shí)刻和末端時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài);I為單位陣;Ek為當(dāng)前周期的反電勢(shì);Hk為反電勢(shì)作用常值矩陣。
由系統(tǒng)的能控性充要條件,易知
系統(tǒng)完全能控。
V為相應(yīng)維數(shù)的任意向量。取通解中的唯一最小二乘、最小范數(shù)解,得到控制電壓為
同理,對(duì)式(2)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程求解,得
因?yàn)锳2、P為常值,所以,G2,k、Pk為常值。對(duì)于下一測(cè)控采樣時(shí)期望的電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)控制電流為
系統(tǒng)在U21,k控制作用下,將會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)速偏差為
設(shè)計(jì)負(fù)載補(bǔ)償控制輸入為
式中:kc為調(diào)節(jié)負(fù)載補(bǔ)償?shù)乃俣榷氲恼笛a(bǔ)償系數(shù)。若負(fù)載力矩一直存在,則U22,k應(yīng)始終維持,得到負(fù)載情況下控制器的輸出為
則在式(12)的控制作用下,系統(tǒng)逐步收斂到期望值。
在一些應(yīng)用如切削加工中,對(duì)電機(jī)的轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速需要同步控制。
記電機(jī)轉(zhuǎn)角為θ,則有=ω,離散形式為
以電機(jī)轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速X3=[θ ω]T作為狀態(tài)變量,由式(8)和式(13)有
式中:Kc=diag([kc1kc2]),為二維正定對(duì)角矩陣,其中,kc1、kc2分別為調(diào)節(jié)角度、角速度控制誤差補(bǔ)償速度而引入的正值補(bǔ)償系數(shù)。
取U2,k輸出,下一控制周期中,重新計(jì)算并取相應(yīng)的U2,k輸出。
以上即為BLDCM 的模型預(yù)測(cè)與反演控制律。模型預(yù)測(cè)與控制反演控制是一種基于系統(tǒng)能控性分析的控制方法。不同于通過(guò)求取目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解進(jìn)行控制的常規(guī)預(yù)測(cè)方法,該方法基于受控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,預(yù)測(cè)和估計(jì)系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)偏差,基于外界作用對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)所產(chǎn)生控制作用的動(dòng)力學(xué)規(guī)律,反向推演使得系統(tǒng)達(dá)到期望目標(biāo)的控制量,設(shè)計(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的預(yù)測(cè)及反演控制器,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定跟蹤。
仿真所用電機(jī)參數(shù)見表1。
表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameters of motor
考慮參數(shù)和測(cè)量誤差:電流測(cè)量的比例誤差0.05,常值誤差0.05 A,噪聲0.005 A;角度測(cè)量的常值誤差0.002 8°,角度測(cè)量噪聲0.001 7°,由碼盤安裝導(dǎo)致的角度測(cè)量誤差-0.003°,角速度測(cè)量誤差0.002 9(°)·s-1;控制電壓輸出誤差3%。
電機(jī)控制周期T為0.001 s,在8 s 時(shí)加負(fù)載轉(zhuǎn)矩2 N。同時(shí)仿真了工程上常用的三環(huán)PID 控制和文獻(xiàn)[10]所提出的自適應(yīng)魯棒滑??刂品椒ㄒ宰鞅容^,并考慮了實(shí)時(shí)摩擦力矩Ff為
式中:庫(kù)侖摩擦力矩Fc=4 N·m;最大靜摩擦力矩Fs=5 N·m;臨界Stribeck 速率=0.1 rad·s-1;經(jīng)驗(yàn)參數(shù)δ′=2;ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。
令電機(jī)轉(zhuǎn)角指令為
電機(jī)初始角位置θ0=0 rad,初始角速度ω0=0 rad·s-1。PID 控制參數(shù)為:位置環(huán)Pθ=100,Dθ=0.1;速度環(huán)Pω=50,Iω=40;電流環(huán)為Pi=2。仿真結(jié)果如圖1 和圖2 所示。
圖1 角度跟蹤Fig.1 Angle tracking
圖2 角度跟蹤誤差Fig.2 Angle tracking error
在圖1 和圖2 中,PID 控制在負(fù)載加入后的角位置誤差明顯增大,而滑??刂茖?duì)擾動(dòng)的魯棒性優(yōu)于PID 控制,MPI 控制在負(fù)載加入前后的跟蹤精度均較高,對(duì)恒值負(fù)載具有較好的魯棒性,誤差范圍在±0.01 rad 內(nèi)。
角速度跟蹤效果如圖3 和圖4 所示。由圖3 和圖4 可知,MPI 控制在負(fù)載加入前后都能以較高精度、較平滑地跟蹤輸入,對(duì)負(fù)載擾動(dòng)、摩擦力的魯棒性較強(qiáng)。
若轉(zhuǎn)角指令為從0 rad 到6 rad 并保持在6 rad 不變,并利用5 次多項(xiàng)式規(guī)劃轉(zhuǎn)角路徑[23],如圖5 所示。由圖5 知,MPI 控制的抗干擾能力優(yōu)于PID 控制,滑模控制偏差較大,因而滑模控制器更適用于參考速度不為零的動(dòng)態(tài)控制過(guò)程。
圖3 角速度跟蹤Fig.3 Angular speed tracking
圖4 角速度跟蹤誤差Fig.4 Angular speed tracking error
圖5 角度保持比較Fig.5 Comparison of angle keeping
仿真表明,MPI 控制方法及設(shè)計(jì)的干擾補(bǔ)償可以使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)性能,既能跟蹤實(shí)時(shí)變化的狀態(tài)軌跡,也能使系統(tǒng)平穩(wěn)轉(zhuǎn)移到某個(gè)狀態(tài)并保持穩(wěn)定,且干擾補(bǔ)償無(wú)需辨識(shí)擾動(dòng),只利用轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)速信息就能達(dá)到較好的抗擾動(dòng)控制效果。
本文在電氣與機(jī)械特性分析建?;A(chǔ)上,建立了無(wú)刷直流電機(jī)的離散時(shí)間控制系統(tǒng)模型,通過(guò)模型外推的方法預(yù)測(cè)和估計(jì)控制的偏差,根據(jù)電機(jī)受控轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律反演電壓、電流控制指令,提出了無(wú)刷直流電機(jī)的模型預(yù)測(cè)反演控制方法。與PID 控制、滑模控制的對(duì)比仿真表明,考慮電源誤差、電機(jī)參數(shù)誤差、傳感器測(cè)量誤差等工程實(shí)際情況,MPI方法具有較好控制精度、控制魯棒性以及快速響應(yīng)能力。