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        ([0,1],[0,1])-模糊擬陣的基和秩函數(shù)

        2022-07-15 08:58:40代恩華修振宇
        關(guān)鍵詞:公理模糊化信息工程

        代恩華,修振宇

        (1.聊城大學(xué)東昌學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系,山東 聊城 252000;2.成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610000)

        擬陣是圖和矩陣的推廣,在數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色,尤其是在應(yīng)用數(shù)學(xué)中,正是簡單有效的貪婪算法所要求的結(jié)構(gòu)[1].1988年,Goetschel等[2]定義了有限集E上的模糊擬陣.Shi[3]提出了L-擬陣,其中L為完全分配格.Huang等[4]證明了完備的[0,1]-擬陣等價(jià)于模糊擬陣.在L-擬陣的理論框架下,基、圈、秩函數(shù)和閉包算子等概念被廣泛研究[5-10].Shi[11]提出一種新的擬陣的模糊方式,即,M-模糊化擬陣,其中M為完全分配格;又定義了M-模糊化秩函數(shù),并證明了M-模糊化秩函數(shù)和M-模糊化擬陣是一一對應(yīng)的.Yao等[12]定義了基映射和圈映射并證明了模糊化擬陣可由這兩個映射刻畫.關(guān)于M-模糊化擬陣的研究,還有很多概念,諸如M-模糊化相關(guān)集[13],M-模糊化α-平坦族[14]和M-模糊化閉包算子[13],都可以等價(jià)刻畫M-模糊化擬陣.

        Shi[3]提出了更為寬泛的模糊擬陣,即,(L,M)-模糊擬陣,其中M和L都是完全分配格,這是L-擬陣和M-模糊化擬陣的邏輯推廣.有關(guān)L-擬陣和M-模糊化擬陣的基和秩函數(shù)的研究都取得了不少成果[4,10-12].而目前關(guān)于(L,M)-模糊擬陣的研究并不多,這促使我們來探究(L,M)-模糊擬陣中基和秩函數(shù)的情況.在本文中,當(dāng)M和L都取為[0,1]時(shí),給出閉的完備的([0,1],[0,1])-模糊擬陣的概念,并建立相應(yīng)的基公理和秩函數(shù)公理.

        A=B};

        A=B}.

        定義1[16]設(shè)A∈[0,1]E且a∈[0,1].定義模糊集A的截集如下:

        A[a]={e∈E:A(e)≥a},A(a)={e∈E:A(e)>a}.

        定理1[16]對?A∈[0,1]E和a∈[0,1],A(a)=∪b∈(a,1]A[b]=∪b∈(a,1]A(b).

        定義2[3-4]設(shè)A∈[0,1]E,N表示自然數(shù)集.稱映射|A|:N→[0,1]是A的模糊勢,若對?n∈N,|A|(n)=∨{a∈[0,1] : |A[a]|≥n}.

        定義4[11]稱逆序映射λ:N→[0,1]是一個模糊自然數(shù),若它滿足λ(0)=1,∧n∈Nλ(n)=0.所有的模糊自然數(shù)記為N([0,1]).

        (i) 對?A∈[0,1]E,0≤R(A)≤|A|;

        (ii) 若A,B∈[0,1]E和A≤B,則R(A)≤R(B);

        (iii) 對?A,B∈[0,1]E,R(A)+R(B)≥R(A∧B)+R(A∨B);

        (iv) 對?a∈(0,1]和A∈[0,1]E,R(a∧A[a])[a]=R(A)[a].

        1 模糊基的模糊族

        借助定理3和分層思想,可以將[0,1]-擬陣中的模糊基族推廣如下:

        a}.

        證明由定理7,8和定理1可得,

        根據(jù)定理8和9,可得下面的結(jié)論:

        定理10模糊基的模糊族和閉的完備的([0,1],[0,1])-模糊擬陣是一一對應(yīng)的.

        2 模糊秩函數(shù)

        如定理5,閉的完備的[0,1]-擬陣可由[0,1]-模糊秩函數(shù)等價(jià)刻畫.本節(jié)將給出閉的完備的模糊擬陣的秩函數(shù)公理.基于定理5和分層思想,可以推廣[0,1]-模糊秩函數(shù)如下:

        證明由定理11,12和定理1可得,

        根據(jù)定理12和13,可得下面的結(jié)論:

        定理14模糊秩函數(shù)和閉的完備的([0,1],[0,1])-模糊擬陣是一一對應(yīng)的.

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