糜萬俊, 江文奇, 戴躍偉

(1.南京理工大學 自動化學院，江蘇 南京 210094; 2.南京理工大學 經濟管理學院,江蘇,南京 210094)

0 引言

VIKOR法(VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)是一種重要的多準則決策方法[1]，主要利用各個備選方案的評價值與理想方案的接近程度來排列方案的順序，比理想點法具有更高的排序穩(wěn)定性、可信度，在質量部件的改善[2]、裝備器材供應商選擇[3]、供應商選擇[4,5]等等多個領域。

模糊VIKOR法是近年來的研究熱點問題之一。文[6]提出了一種基于直覺模糊值的新評分函數(shù)和VIKOR方法，克服了現(xiàn)有評分函數(shù)、現(xiàn)有的準確度函數(shù)和現(xiàn)有的IFV排序方法的缺點。文[7]研究了含有猶豫區(qū)間型Pythagorean模型信息的多屬性決策問題，提出了一種多階段的VIKOR方法來解決多屬性決策問題。文[8]針對屬性值為Pythagorean 不確定語言變量, 屬性權重和專家權重完全未知的群決策問題, 提出一種擴展VIKOR多屬性群決策方法。文[9]提出相對VIKOR方法，旨在通過相對群體效用及相對個體遺憾確定一個相對最佳妥協(xié)解。文[10]針對屬性值為直覺梯形模糊數(shù)，決策者間和屬性間存在相互關聯(lián)的多屬性群決策問題，引入模糊測度和Choquet積分的概念，提出了基于誘導型廣義直覺梯形模糊Choquet積分算子和多準則妥協(xié)優(yōu)化解的直覺梯形模糊多屬性群決策方法。文[11]將一種利用最小叉熵準則集成組合權重的思想運用到黑啟動方案評估上，將原始屬性評價矩陣轉換為帶有決策者主觀偏好的判斷矩陣，利用VIKOR法對方案間關系進行細致分析。文[12]針對群推薦系統(tǒng)中被推薦項目具有多粒度性、猶豫性、模糊性的特點, 提出多粒度猶豫模糊語言熵的概念及計算公式，將傳統(tǒng)的多準則妥協(xié)解排序法VIKOR拓展到多粒度猶豫模糊領域。文[13]針對備選方案的屬性值為三角直覺模糊數(shù)且權重為實數(shù)的多屬性決策問題，研究了三角直覺模糊數(shù)型VIKOR方法。文[14]針對權重未知的模糊多屬性大群體決策問題，提出基于Humming距離構建決策者權重優(yōu)化模型，基于VIKOR框架，采用區(qū)間直覺模糊均衡交叉熵計算各方案、臨界解與理想解的空間測度并實現(xiàn)方案排序。

在模糊VIKOR方法中，群體效用值、個體遺憾值和其合成值均需要進行模糊數(shù)的數(shù)學運算。在準則值和準則權重均為三角模糊數(shù)的多準則決策中，可能存在某些運算結果并不符合三角模糊數(shù)特征，進而需要進行去模糊化處理。論文將深入研究去模糊化的前提條件，不同的去模糊化方法獲得的清晰數(shù)值比較，提出一種基于拓展的模糊VIKOR方法并加以應用。

1 三角模糊數(shù)去模糊化

(1)

(2)

(3)

當a1或者b1至少一個大于零

(4)

(5)

常數(shù)可以看成三個端點均相等的三角模糊數(shù)，采用定義2設定的規(guī)則計算即可。如果將三角模糊數(shù)轉化為清晰數(shù)，則主要有如下幾種去模糊化方法：

(6)

(7)

(8)

(2)如果采用公式(7)去模糊化(式(6)去模糊化值是式(7)的特例)，則:

數(shù)學運算結果與上述相同。

(3)如果采用公式(8)進行去模糊化，則:

盡管采用式(7)和(8)得到的數(shù)學運算結果與式(6)相類似，但是參數(shù)k對最終的結果產生影響。隨著k值的增加，三角模糊數(shù)中間值對去模糊化值影響將會越來越大。同時，在三種去模糊化方法下乘法和除法運算規(guī)則得到的合成去模糊化結果，均不等于兩者分別去模糊化的合成值，說明在運算中不應該分別進行去模糊化。

2 VIKOR法中三角模糊數(shù)去模糊化必要性

VIKOR方法是一種對復雜系統(tǒng)進行多準則決策的折衷排序方法，折衷解是所有解中最為接近理想解的可行解，是屬性間彼此讓步的結果，也是理想點法改進的結果。

令v為大多數(shù)準則策略的決策機制系數(shù)，v>0.5表明根據大多數(shù)人的意見決策，v=0.5表明根據贊同情況決策，v<0.5表明根據拒絕情況進行決策。有:

不是一般性，假定依據Qi值得到排序第一和第二的方案分別為a1和a2[8]。

條件1可接受度優(yōu)勢。Q2-Q1≥1/(m-1)，m為方案數(shù)目。

條件2決策過程中可以接受的穩(wěn)定性，a1同樣是Si或Ri中排序第一的方案。

如果條件1和2均滿足，則a1為排序第一的方案。如果上述條件有1個不滿足，有：如不滿足條件2，則a1和a2均為折衷解；如果不滿足條件1，則通過Q2-Q1<1/(m-1)得到最大的M,a1,…,aM，均貼近理想方案。

從VIKOR方法步驟來看，主要有以下環(huán)節(jié)可能需要進行去模糊化。

(1)zij值的計算。zij值的分母是準則cj下每個準則值的最大值與最小值的差值。盡管兩者去模糊化之后的差值一定為正數(shù)，但依據減法運算規(guī)則，仍可能存在差值(三角模糊數(shù))中存在負數(shù)的情形。例如：針對某個準則，其最大和最小的準則值分別為(0.5,0.8,0.9)和(0.4,0.6,0.7)，則兩者的差值為(-0.2,0.2,0.5)。如果直接采用式(5)的除法規(guī)則，會導致得到的三角數(shù)的右端點值小于左端點的值，不符合三角模糊數(shù)的本質特征(三個端點值逐步增加)。

(2)Qi值的計算。按照判斷妥協(xié)解的條件1要求，需計算排序第一位和第二位方案Qi值的差值，故需要對每個模糊Qi值進行去模糊化，才能獲得差值并判斷是否滿足條件1。

3 去模糊化對VIKOR妥協(xié)解的影響

對zij值而言，如其分母(三角模糊數(shù))的值均為正數(shù)，令：zij=(a,b,c)/(d,e,f)。

如果采用式(6)進行去模糊化，去模糊化的值分別為：

如果采用式(7)和式(8)進行去模糊化，上述兩種情形下的計算結果均分別為:

采用三種去模糊化方法對兩種情形下的zij值進行去模糊化的結果表明：

(1)在兩種情形下，采用不同的去模糊化方法得到的結果是不同的。第二種和第三種方法更加注重三角模糊數(shù)中間值對去模糊化的值影響，隨著k值的增加，影響越來越大。情形1下如果a,b,c且d,e,f接近，情形2下如果a/f,b/e,c/a接近，則采取三種方法得到的清晰數(shù)接近，可以采取任何一種方法去模糊化。

(2)針對同一種去模糊化方法，兩種情形下得到的清晰數(shù)存在一定的差異，如果差異較大，則可能對群體效用值和個體遺憾值產生影響。即如果僅僅對部分準則下zij的分母去模糊化，則該準則下zij的值發(fā)生變化，進而造成合成值(群體效用值和個體遺憾值)發(fā)生變化，間接對Qi值產生影響，造成妥協(xié)解的改變。

于是，基于VIKOR方法的多準則決策過程可以描述為：

步驟1針對第三節(jié)的模糊多準則決策矩陣，由于量綱不同，需要進行無量綱化處理。

對權重歸一化，有

步驟2確定正負理想方案。依據三角模糊數(shù)可能度公式，即:

(9)

分別比較各個準則下準則值之間的可能度，確定f*,f-。

步驟5按照第三節(jié)提供的Qi值計算公式計算Qi。如果計算Qi過程中遇見和zij值計算相同的情形，則按照步驟3 的方式進行計算。

步驟6基于第三節(jié)提出的兩個條件和Qi值確定妥協(xié)解。

4 實例分析

某風險投資企業(yè)致力于尋求合適的設備風險投資項目，現(xiàn)有4個備選方案，考慮的準則主要有環(huán)境影響c1、預期收益c2、成長性c3、社會效益c4，第一個準則為成本型準則，其他均為效益型準則。決策矩陣分別見表1。

表1 多準則決策矩陣

步驟1對上述三個決策矩陣進行無量綱化處理，見表2。

表2 多準則決策矩陣無量綱化表

假定四個準則的權重分別為(0.2,0.3,0.4)，(0.6,0.7,0.8)，(0.3,0.4,0.5)和(0.4,0.5,0.6)。歸一化值分為(0.087,0.158,0.267)，(0.261,0.368,0.533)，(0.130,0.211,0.333)和(0.174,0.263,0.400)。

步驟2按照可能度公式，選出正負理想解，分別為：

正理想解(0.738,0.951,1.000)，(0.968,1.000,1.000)，(0.768,1.000,1.000)，(0.750,1.000,1.000)

負理想解(0.660,0.848,0.977)，(0.894,-0.935,0.989)，(0.549,0.691,1.000)，(0.250,0.500,0.667)

表表

表4 zij值

采用式(6)對其進行去模糊化的值見表5。

表5 zij值的去模糊化結果

表6 VIKOR中

步驟6采用式(6)方式去模糊化，得到a3,a2均為妥協(xié)解。如果采取式(7)進行去模糊化，則從k=1開始，Q2-Q1值分別為0.128，0.38，0518，0.616等，逐步增加，此時妥協(xié)解為a2。如果采取式(8)的方法，則從k=2開始，Q2-Q1值分別為0.216，0.438，0.576，0.66等，值仍然逐步增加，妥協(xié)解為a2。

5 結論

VIKOR方法中的三角模糊數(shù)運算是核心，是獲得群體效用值和個體遺憾值以及妥協(xié)解的必須環(huán)節(jié)。由于三角模糊數(shù)的合成運算并非滿足運算規(guī)則，因此論文重點分析了三角模糊數(shù)去模糊化的前提條件和如何選擇合適的去模糊化方法，并給出了一種拓展的VIKOR方法解決含有三角模糊數(shù)的多準則決策問題，案例驗證了本文的分析結果。