鄭建偉
摘 要:圓是一個曲線圖形,探索它的面積公式可以使學生進一步體會“轉化”的思想方法,但反觀課堂教學,卻困難重重。筆者從學情前測、數(shù)學本質、教材教法三方面梳理體系,并提出“經歷估測、聯(lián)想推理、多元轉化”三條策略,從而落地“轉化”思想,促進學生空間觀念的不斷提升,提高數(shù)學素養(yǎng)。
關鍵詞:圓的面積;度量;轉化
《圓的面積》是人教版小學數(shù)學六年級上冊內容,屬于圖形與幾何領域。圓是學生研究的第一個曲線圖形,也是學生在小學階段所學習的最后一種平面圖形,探索它的面積推導過程顯然比直線圍成的圖形要難,包括:轉化方式想不到、化曲為直難理解、極限思想無體驗。用直觀的“有限等分”去想象抽象的“無限等分”,思維跨度較大,極限思想對小學生而言看不見、摸不著,又要求學生在短時間內理解和掌握,其中的困難不言而喻。
這些問題無不反映出數(shù)學思想的缺失。課堂上如何落實“轉化”思想,筆者從數(shù)學本質、教材教法、學情前測三方面進行梳理求本,并從“估測驗證、聯(lián)想推理、多元轉化”三個策略入手,讓學生理解掌握圓面積的推導過程,實現(xiàn)空間觀念的提升和轉化思想的落地。
一、梳理體系,溯本求源
(一)基于理論,把握概念本質
什么是圓的面積?筆者通過查閱現(xiàn)行的數(shù)學教材與《解析幾何》《幾何原本》等相關著作,發(fā)現(xiàn)有關“圓面積”有多種不同的表述方式,在教材中的定義通常有兩種。定義1:圓所占平面的大小叫作圓的面積;定義2:圓的內接或外切正多邊形,當邊數(shù)無限遞增時,其面積的極限叫作圓的面積。
定義2在圓面積定義中提到的“圓內接或外切正多邊形”是隨著內接或外切的正方形的邊數(shù)無限遞增時,它的面積越來越逼近圓的面積。它體現(xiàn)了“圓出于方”“化曲為直”的極限思想,動態(tài)展現(xiàn)圓面積的推導過程。所以,只有把握了形概念,才能更好地探索型的本課教學。
(二)基于教材,厘清認知序列
教材遵循著怎樣的邏輯體系呢?筆者根據(jù)“平面圖形面積的度量”,梳理如下:
三年級初識面積,觸摸度量本質:通過在長、正方形里擺大小統(tǒng)一的小正方形,從而推導出長、正方形面積計算公式。
五年級明朗轉化方法,化新為舊:利用割補法、倍拼法等多種轉化方法,將新圖形轉化為舊圖形,經歷等積變形的過程。
六年級深刻轉化思想,化曲為直:圓是一個曲邊圖形,它的公式推導比先前學的直邊圖形面積推導困難得多。首先,在面積推導中的“轉化思想”在圓面積公式推導也有非常重要的價值;其次,圓面積公式推導需要實現(xiàn)化曲為直、極限思想的轉化,體現(xiàn)量變到質變的發(fā)展規(guī)律。
(三)基于前測,量化現(xiàn)有水平
學習本課之前,學生會怎樣推導圓的面積計算公式呢?筆者對未上過本節(jié)課的120名六年級學生展開前測,并根據(jù)范希爾的幾何思維水平得出以下數(shù)據(jù):
16.7%的學生思維處于直觀化水平,這啟發(fā)教師課上要激活舊知,做好知識技能和思想方法的鋪墊,引導學生經歷面積度量從粗略到精準的過程;66.0%的學生無法成功推導圓面積,課上需要直觀展示化曲為直的過程、引導學生想象和理解抽象的“無限等分”,實現(xiàn)思維從描述分析向抽象關聯(lián)過渡;17.3%的學生對圓面積的探索有多元方式,教師應創(chuàng)設開放的探究空間,提供豐富的研究素材,讓學生經歷多種操作活動,積累數(shù)學活動經驗,內化“轉化”思想。
二、策略改進,有的放矢
經過理論引領、教材梳理、學情分析,如何讓學生經歷度量過程,深化轉化思想呢?筆者提出“經歷估測、聯(lián)想推理、多元轉化”教學策略。
(一)經歷估測,迂回驗證,凸顯轉化價值
之前平面圖形面積公式推導中的轉化,都是由直邊圖形轉化為直邊圖形,可圓作為一種曲線圖形,要怎樣才能轉化成直邊圖形呢?筆者認為可以在“圓的面積”公式推導前,先猜一猜圓的面積會與什么有關呢?使學生在猜想中,圓面積和圓各部分大小、長短的關系,感受“化曲為直”的思想。
第一次估測:直接延續(xù),猜測圓面積和半徑的關系
師:(出示半徑為3、4、5厘米的圓)要知道這些圓的面積,有什么方法?
生:先數(shù)出[14]圓的面積,那么就可以×4計算整個圓的面積。
第二次估測:遷移比較,否定圓面積和直徑的關系
師:用圓的面積除以相應圓的直徑呢?同桌之間互相說一說。
生討論,并反饋。
第三次估測:觀察轉化,想象圓面積和半徑平方的關系
師:那么圓的面積與什么有關呢?(師引導學生關注圓的面積與小正方形之間的關系)
生猜測:圓的面積與半徑的平方之間的倍數(shù)關系是不是不變的呢?
利用圓內接和外切正方形估計面積,既有利于學生對圓面積與半徑關系的理解,得出圓面積的取值范圍,又滲透了用“逼近”思想探究圓面積計算公式的方法,體現(xiàn)了極限的思想。學生三次提出猜想,在迂回中不斷接近問題的本質,具有探索性的設問,每一次都助推著學生思維向更深處延伸,為進一步探究圓的面積公式指明方向。
(二)聯(lián)想推理,化曲為直,突破轉化難點
對于圓能否轉化成標準的直邊圖形來推導其公式,學生非常難理解。當教師給出分割圖后,大部分學生認為不能轉化,也不知道從哪里入手才能把圓拼成學過的圖形,如何在操作中如何“化曲為直”是學生思維最大的“絆腳石”。
【片段一】動手剪拼,逐步呈現(xiàn)圓面均分、遞增現(xiàn)象
在理解圓的面積的意義之后,通過對比復習平面圖形的面積推導方法,感受直線和曲線平面圖形推導方法的不一致,引出化曲為直的方法。
師:請同學們拿出課前準備好的6張圓形紙片,把它分成4等份、8等份、16等份、32等份,剪開后,用這些近似的等腰三角形的小紙片拼一拼、擺一擺,看看你能發(fā)現(xiàn)什么?
通過對比幾組的作品,引導學生發(fā)現(xiàn),當把圓平均分的份數(shù)越多,這個圖形就越接近于長方形。
【片段二】直觀演示,實現(xiàn)量變到質變的跨越
師:如果把圓分成64等份、128等份、256等份……一直這樣分下去,你們覺得會是怎樣的圖形?請大家發(fā)揮想象。(師用課件演示,印證學生的想象)
用課件演示細分的過程,形象直觀,讓學生感受極限的思想,當把圓一直分,到不能再分時,拼成的圖形真的就最接近長方形了。
【片段三】聯(lián)想推理,尋找轉化前后的對應關系
師:拼成的近似長方形與圓有何關系?圓的面積到底怎么計算呢?(生觀察自己拼成的圖形,結合課件演示,獨立推導出圓的面積)
必要的操作是推理的基礎。在課件演示后重點引導學生思考勾連圓和長方形之間的聯(lián)系,提升聯(lián)想推理能力。這樣由扶到放、由表面現(xiàn)象到本質的引導,使學生始終參與到如何把圓轉化為近似的長方形中來,從而真切地經歷知識的形成過程。
把圓轉化成“近似的長方形”,學生對“近似的長方形”充滿了疑惑,所以教學時通過比較直觀的“有限等分”引導學生逐漸去理解“無限等分”。學生經歷了猜想、操作、推理、轉化的過程,把圓轉化成已知圖形,從而推導出圓的面積公式。
(三)多元轉化,打開時空,觸及轉化本質
為聚焦轉化前后圖形之間的關系,教師可以讓學生自主選題,介紹另外的推導方式,還可以適時安排一些能體現(xiàn)出轉化前后圖形之間關系的題目加以練習,數(shù)形結合加深對抽象公式的理解,培養(yǎng)發(fā)散性思維,體驗轉化的魅力。
【片段一】各異方式,讓轉化思想生根發(fā)芽。
前測表明,學生能想出不一樣的轉化方式。課前教師引導學生展示思維的最原始狀態(tài),在課堂適時呈現(xiàn):
師:動手剪一剪圓紙片,把它平均分成16份,拼一拼:試著轉化成熟悉的圖形,并計算出相應的面積。
教師及時引導學生歸納:圓是曲線圍成的圖形,將圓轉化成三角形、梯形、平行四邊形、長方形等都是線段圍成的圖形,而化曲為直是轉化的運用與體現(xiàn)。另有學生想出更多的轉化方式:
【片段二】及時鞏固,讓轉化思想根深蒂固。
上述方法都把一個未知的、尚未建立面積公式的圓,轉化成為一個已經能求出面積的基本圖形,根據(jù)剪拼前后的圖形關系,求出圓的面積。這種轉化思想是基于“化曲為直”、變“有限”為“無限”的思考,不同的推導思路讓學生感受方法的多樣性和一致性,加深對轉化思想的認識和體驗,同時感悟“無限逼近”和“等積變形”的含義。
三、著眼未來,任重道遠
“圓的面積”一課所承載的思想方法延續(xù)到圓柱的體積一課:
把一個圓柱沿半徑分成若干等份,然后拼成一個近似的長方體,已知轉化后的長方體的高為6厘米,長方體的表面積比圓柱多48平方厘米。那么,這個圓柱的體積是(? ?)立方厘米。
延伸變式把原命題中圓的面積問題改為圓柱的體積問題,是對原命題設計理念的一種延伸應用,旨在評價解題者對圓柱體積公式推導過程的理解。
轉化思想的習得與運用不是一蹴而就的,而應該是循序漸進,為提升學生思維能力服務的。轉化思想的滲透與運用,要注重完善轉化思想在圖形與幾何教學中的情感構建,要基于學生已有知識經驗和思維方式的個體差異,逐步感悟“轉化”的魅力,收獲數(shù)學學習和研究的快樂。