鄭建偉

摘 要：圓是一個曲線圖形，探索它的面積公式可以使學生進一步體會“轉化”的思想方法，但反觀課堂教學，卻困難重重。筆者從學情前測、數(shù)學本質、教材教法三方面梳理體系，并提出“經歷估測、聯(lián)想推理、多元轉化”三條策略，從而落地“轉化”思想，促進學生空間觀念的不斷提升，提高數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：圓的面積;度量;轉化

《圓的面積》是人教版小學數(shù)學六年級上冊內容，屬于圖形與幾何領域。圓是學生研究的第一個曲線圖形，也是學生在小學階段所學習的最后一種平面圖形，探索它的面積推導過程顯然比直線圍成的圖形要難，包括：轉化方式想不到、化曲為直難理解、極限思想無體驗。用直觀的“有限等分”去想象抽象的“無限等分”，思維跨度較大，極限思想對小學生而言看不見、摸不著，又要求學生在短時間內理解和掌握，其中的困難不言而喻。

這些問題無不反映出數(shù)學思想的缺失。課堂上如何落實“轉化”思想，筆者從數(shù)學本質、教材教法、學情前測三方面進行梳理求本，并從“估測驗證、聯(lián)想推理、多元轉化”三個策略入手，讓學生理解掌握圓面積的推導過程，實現(xiàn)空間觀念的提升和轉化思想的落地。

一、梳理體系，溯本求源

（一）基于理論，把握概念本質

什么是圓的面積？筆者通過查閱現(xiàn)行的數(shù)學教材與《解析幾何》《幾何原本》等相關著作，發(fā)現(xiàn)有關“圓面積”有多種不同的表述方式，在教材中的定義通常有兩種。定義1：圓所占平面的大小叫作圓的面積;定義2：圓的內接或外切正多邊形，當邊數(shù)無限遞增時，其面積的極限叫作圓的面積。

定義2在圓面積定義中提到的“圓內接或外切正多邊形”是隨著內接或外切的正方形的邊數(shù)無限遞增時，它的面積越來越逼近圓的面積。它體現(xiàn)了“圓出于方”“化曲為直”的極限思想，動態(tài)展現(xiàn)圓面積的推導過程。所以，只有把握了形概念，才能更好地探索型的本課教學。

（二）基于教材，厘清認知序列

教材遵循著怎樣的邏輯體系呢？筆者根據(jù)“平面圖形面積的度量”，梳理如下：

三年級初識面積，觸摸度量本質：通過在長、正方形里擺大小統(tǒng)一的小正方形，從而推導出長、正方形面積計算公式。

五年級明朗轉化方法，化新為舊：利用割補法、倍拼法等多種轉化方法，將新圖形轉化為舊圖形，經歷等積變形的過程。

六年級深刻轉化思想，化曲為直：圓是一個曲邊圖形，它的公式推導比先前學的直邊圖形面積推導困難得多。首先，在面積推導中的“轉化思想”在圓面積公式推導也有非常重要的價值;其次，圓面積公式推導需要實現(xiàn)化曲為直、極限思想的轉化，體現(xiàn)量變到質變的發(fā)展規(guī)律。

（三）基于前測，量化現(xiàn)有水平

學習本課之前，學生會怎樣推導圓的面積計算公式呢？筆者對未上過本節(jié)課的120名六年級學生展開前測，并根據(jù)范希爾的幾何思維水平得出以下數(shù)據(jù)：

16.7%的學生思維處于直觀化水平，這啟發(fā)教師課上要激活舊知，做好知識技能和思想方法的鋪墊，引導學生經歷面積度量從粗略到精準的過程;66.0%的學生無法成功推導圓面積，課上需要直觀展示化曲為直的過程、引導學生想象和理解抽象的“無限等分”，實現(xiàn)思維從描述分析向抽象關聯(lián)過渡;17.3%的學生對圓面積的探索有多元方式，教師應創(chuàng)設開放的探究空間，提供豐富的研究素材，讓學生經歷多種操作活動，積累數(shù)學活動經驗，內化“轉化”思想。

二、策略改進，有的放矢

經過理論引領、教材梳理、學情分析，如何讓學生經歷度量過程，深化轉化思想呢？筆者提出“經歷估測、聯(lián)想推理、多元轉化”教學策略。

（一）經歷估測，迂回驗證，凸顯轉化價值

之前平面圖形面積公式推導中的轉化，都是由直邊圖形轉化為直邊圖形，可圓作為一種曲線圖形，要怎樣才能轉化成直邊圖形呢？筆者認為可以在“圓的面積”公式推導前，先猜一猜圓的面積會與什么有關呢？使學生在猜想中，圓面積和圓各部分大小、長短的關系，感受“化曲為直”的思想。

第一次估測：直接延續(xù)，猜測圓面積和半徑的關系

師：（出示半徑為3、4、5厘米的圓）要知道這些圓的面積，有什么方法？

生：先數(shù)出[14]圓的面積，那么就可以×4計算整個圓的面積。

第二次估測：遷移比較，否定圓面積和直徑的關系

師：用圓的面積除以相應圓的直徑呢？同桌之間互相說一說。

生討論，并反饋。

第三次估測：觀察轉化，想象圓面積和半徑平方的關系

師：那么圓的面積與什么有關呢？（師引導學生關注圓的面積與小正方形之間的關系）

生猜測：圓的面積與半徑的平方之間的倍數(shù)關系是不是不變的呢？

利用圓內接和外切正方形估計面積，既有利于學生對圓面積與半徑關系的理解，得出圓面積的取值范圍，又滲透了用“逼近”思想探究圓面積計算公式的方法，體現(xiàn)了極限的思想。學生三次提出猜想，在迂回中不斷接近問題的本質，具有探索性的設問，每一次都助推著學生思維向更深處延伸，為進一步探究圓的面積公式指明方向。

（二）聯(lián)想推理，化曲為直，突破轉化難點

對于圓能否轉化成標準的直邊圖形來推導其公式，學生非常難理解。當教師給出分割圖后，大部分學生認為不能轉化，也不知道從哪里入手才能把圓拼成學過的圖形，如何在操作中如何“化曲為直”是學生思維最大的“絆腳石”。

【片段一】動手剪拼，逐步呈現(xiàn)圓面均分、遞增現(xiàn)象

在理解圓的面積的意義之后，通過對比復習平面圖形的面積推導方法，感受直線和曲線平面圖形推導方法的不一致，引出化曲為直的方法。

師：請同學們拿出課前準備好的6張圓形紙片，把它分成4等份、8等份、16等份、32等份，剪開后，用這些近似的等腰三角形的小紙片拼一拼、擺一擺，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？

通過對比幾組的作品，引導學生發(fā)現(xiàn)，當把圓平均分的份數(shù)越多，這個圖形就越接近于長方形。

【片段二】直觀演示，實現(xiàn)量變到質變的跨越

師：如果把圓分成64等份、128等份、256等份……一直這樣分下去，你們覺得會是怎樣的圖形？請大家發(fā)揮想象。（師用課件演示，印證學生的想象）

用課件演示細分的過程，形象直觀，讓學生感受極限的思想，當把圓一直分，到不能再分時，拼成的圖形真的就最接近長方形了。

【片段三】聯(lián)想推理，尋找轉化前后的對應關系

師：拼成的近似長方形與圓有何關系？圓的面積到底怎么計算呢？（生觀察自己拼成的圖形，結合課件演示，獨立推導出圓的面積）

必要的操作是推理的基礎。在課件演示后重點引導學生思考勾連圓和長方形之間的聯(lián)系，提升聯(lián)想推理能力。這樣由扶到放、由表面現(xiàn)象到本質的引導，使學生始終參與到如何把圓轉化為近似的長方形中來，從而真切地經歷知識的形成過程。

把圓轉化成“近似的長方形”，學生對“近似的長方形”充滿了疑惑，所以教學時通過比較直觀的“有限等分”引導學生逐漸去理解“無限等分”。學生經歷了猜想、操作、推理、轉化的過程，把圓轉化成已知圖形，從而推導出圓的面積公式。

（三）多元轉化，打開時空，觸及轉化本質

為聚焦轉化前后圖形之間的關系，教師可以讓學生自主選題，介紹另外的推導方式，還可以適時安排一些能體現(xiàn)出轉化前后圖形之間關系的題目加以練習，數(shù)形結合加深對抽象公式的理解，培養(yǎng)發(fā)散性思維，體驗轉化的魅力。

【片段一】各異方式，讓轉化思想生根發(fā)芽。

前測表明，學生能想出不一樣的轉化方式。課前教師引導學生展示思維的最原始狀態(tài)，在課堂適時呈現(xiàn)：

師：動手剪一剪圓紙片，把它平均分成16份，拼一拼：試著轉化成熟悉的圖形，并計算出相應的面積。

教師及時引導學生歸納：圓是曲線圍成的圖形，將圓轉化成三角形、梯形、平行四邊形、長方形等都是線段圍成的圖形，而化曲為直是轉化的運用與體現(xiàn)。另有學生想出更多的轉化方式：

【片段二】及時鞏固，讓轉化思想根深蒂固。

上述方法都把一個未知的、尚未建立面積公式的圓，轉化成為一個已經能求出面積的基本圖形，根據(jù)剪拼前后的圖形關系，求出圓的面積。這種轉化思想是基于“化曲為直”、變“有限”為“無限”的思考，不同的推導思路讓學生感受方法的多樣性和一致性，加深對轉化思想的認識和體驗，同時感悟“無限逼近”和“等積變形”的含義。

三、著眼未來，任重道遠

“圓的面積”一課所承載的思想方法延續(xù)到圓柱的體積一課：

把一個圓柱沿半徑分成若干等份，然后拼成一個近似的長方體，已知轉化后的長方體的高為6厘米，長方體的表面積比圓柱多48平方厘米。那么，這個圓柱的體積是（? ?）立方厘米。

延伸變式把原命題中圓的面積問題改為圓柱的體積問題，是對原命題設計理念的一種延伸應用，旨在評價解題者對圓柱體積公式推導過程的理解。

轉化思想的習得與運用不是一蹴而就的，而應該是循序漸進，為提升學生思維能力服務的。轉化思想的滲透與運用，要注重完善轉化思想在圖形與幾何教學中的情感構建，要基于學生已有知識經驗和思維方式的個體差異，逐步感悟“轉化”的魅力，收獲數(shù)學學習和研究的快樂。