潘建娥

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)是小學(xué)階段最重要的課程之一。除去常規(guī)運(yùn)算以外，數(shù)學(xué)教師還要有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。其中，數(shù)學(xué)思維能力屬于一種宏觀思維，是通過不斷積累數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題逐漸形成的。在解決各種數(shù)學(xué)問題時，我們必須重新轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)思維，借助特定的條件創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維?！半u兔同籠”問題就是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的典型手段。本文就此進(jìn)行簡要分析，以供教育同仁借鑒。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;雞兔同籠

一、“雞兔同籠”問題概述

提及“雞兔同籠”，我們有必要說一下《孫子算經(jīng)》這部書，其成書大概在公元四、五世紀(jì)，最為典型的數(shù)學(xué)題當(dāng)數(shù)“孫子算經(jīng)三三數(shù)之剩二”和“雞兔同籠”等。就“雞兔同籠”問題而言，涵蓋了特殊的階梯思維。借助“雞兔同籠”問題，我們可以延伸出典型的思考方式和解題思路。借助其背后的數(shù)學(xué)思想，能潛移默化地培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、“雞兔同籠”問題分析

“雞兔同籠”原題可以進(jìn)行如下講解：同一只籠子中有雞和兔子兩種動物，若清點(diǎn)動物的頭，共計35個。但從腳下數(shù)，兩種動物的腳則有94只。問兩種動物各有多少只？通過列式可以得出：兔子=（94÷2）-35=47-35=12（只）。上述算法被稱作：化歸法。這種數(shù)學(xué)思維方式非常特殊，是從動物的總腳數(shù)出發(fā)，將94只腳都視為雞的腳（每個各有兩只腳），算出若是雞，則有47只，但事實上僅有35只動物，則多出來的部分（腳）就是兔子的。

現(xiàn)代教材中多選用“假設(shè)法”，如：同一籠中雞和兔子兩種動物，有90個頭，228只腳，問雞和兔子各有多少只？若假設(shè)所有動物均為雞，則腳的總數(shù)為2x90=180只;對比題中腳數(shù)（228只）少了48只，由于兔子有4只腳，則這48只腳均為兔子的腳，則兔子的數(shù)量是48÷2=24（只），上述解題中，兔子（24只）的另2只腳，已經(jīng)在第一次計算（雞）時所包含，故第二次就按照2只腳計算。反之，假設(shè)所有動物均為兔子，也能用多出來的腳數(shù)算出雞的總數(shù)。

三、“雞兔同籠”問題所包含的數(shù)學(xué)思維

1、猜想思維

此類問題給學(xué)生的第一印象就是“應(yīng)該有多少只雞和兔子呢？”。當(dāng)學(xué)生的猜想被否定時，或者被肯定時，大家的積極性就會被激發(fā)出來。大家?guī)е骄康膭恿θニ伎紗栴}，奠定了猜想基礎(chǔ)，并在猜測和計算過程中探尋出相應(yīng)的規(guī)律，在隨后的檢查時驗證自己的猜測和計算。其實，解決所有的數(shù)學(xué)問題都是以猜想為基礎(chǔ)，在不斷地開拓探索中獲取準(zhǔn)確的答案。正因如此，猜想思維對于學(xué)生解決問題，乃至提升個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)有百利無一害。

2、列舉思維

此處說的“列舉”是排列出所有的猜想。仍以“雞兔同籠”問題為例，教師可以讓大家繪制一個表格，并將各種假設(shè)數(shù)據(jù)填寫到表格之中。通過該表格，大家可以觀察出相應(yīng)的規(guī)律，并能借助規(guī)律解決同類問題。除去表格以外，還可以用畫圖的方式進(jìn)行列舉（總數(shù)不宜過大），這需要大家畫出雞和兔子的頭（可以用※或△等代表），以及動物腳的數(shù)量，通過匹配，會有若干只剩余的腳，這樣就能得出兔子腳的只數(shù)以及兔子數(shù)量?？梢哉f，列舉是建模的“初級”形式，但相比建模更為快捷。

3、轉(zhuǎn)化思維

轉(zhuǎn)化思維可以用在同一類問題上，很多“雞兔同籠”問題會在頭、腳數(shù)目上存在增減變化，其實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化思維。轉(zhuǎn)化思維包括：化繁為簡、抽象思維（問題歸類），這也是我們常說的“舉一反三”。學(xué)生們應(yīng)該巧辨題目，掌握題目之間的異同點(diǎn)，并能分析出題目轉(zhuǎn)化的過程，然后進(jìn)行科學(xué)地推理，準(zhǔn)確的計算。

4、代數(shù)思維

“雞兔同籠”問題還可以用一元一次方程的方式解決，即：假設(shè)有X只兔子，則雞的數(shù)量=總數(shù)-X。這種思維就是典型的代數(shù)思維，借助這種思維我們能將復(fù)雜的陳述瞬間轉(zhuǎn)化為代數(shù)式。借助已知和未知數(shù)量解決復(fù)雜的問題。學(xué)好小學(xué)階段的方程知識，將為今后復(fù)雜方程式計算奠定良好的基礎(chǔ)。

四、巧借“雞兔同籠”問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

1、強(qiáng)化小學(xué)生的思維意識

可以說，數(shù)學(xué)思維是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。而“雞兔同籠”問題有利于培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。大家最常見的動物多為2足或4足，雞和兔子也是小學(xué)生較為喜歡的動物。通過探究兩種動物數(shù)量關(guān)系，能夠探索到其背后的思維方式。在日常教學(xué)中，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師未能重視數(shù)學(xué)思維的重要性。因此，我們要扭轉(zhuǎn)思想觀念，在吃透教材的前提下，及時向小學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思維。

2、選擇適宜的思維方式

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不是簡單的背誦定理公式，也不是某幾個例題的“堆砌”就能實現(xiàn)的。這需要數(shù)學(xué)教師采取循序漸進(jìn)的原則，以“潤物細(xì)無聲”的形式引導(dǎo)學(xué)生。小學(xué)生在探索數(shù)學(xué)問題時慢慢接觸數(shù)學(xué)思維，并逐漸汲取相關(guān)的理論精華，逐漸內(nèi)化為自己的思維意識，并經(jīng)過沉淀提煉形成數(shù)學(xué)思維。上文中提到“雞兔同籠”涉及到轉(zhuǎn)化思維、列舉思維、猜想思維，這些思維之間有一定的區(qū)別，但又存在關(guān)聯(lián)性。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該針對學(xué)生的特點(diǎn)加以選擇，如：針對低年級學(xué)生宜采用猜想思維，以此提升他們的運(yùn)算能力;針對高年級學(xué)生則宜采用轉(zhuǎn)化思維，有助于幫助學(xué)生提升自我。

總結(jié)：

綜上所述，數(shù)學(xué)思維是非常抽象的能力。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該將實際問題與理論有機(jī)地結(jié)合在一起，“雞兔同籠”問題就是典型的“案例”。此類問題有助于教師調(diào)整教學(xué)觀念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有效提升教學(xué)效果。