袁海麗

摘要金融數(shù)學(xué)課程是一門應(yīng)用性較強(qiáng)的課程。本文主要考慮金融數(shù)學(xué)課程講授中存在的一些問(wèn)題以及如何處理這些問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與金融的完美結(jié)合，培養(yǎng)既懂?dāng)?shù)學(xué)又懂金融的人才。

關(guān)鍵詞 金融數(shù)學(xué) 啟發(fā)教學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.26.028

Reflections on the Teaching of Financial Mathematics

YUAN Haili

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072）

AbstractThe course of Financial Mathematics is a course with strong application. In this paper， we mainly consider the existing problems in the teaching and solve them. The goal of this course is to educate students who are quite familiar with finance and mathematics.

KeywordsFinancial Mathematics； heuristic teaching； applied mathematics software

0引言

金融數(shù)學(xué)[1]是一門涉及金融和數(shù)學(xué)的課程。金融數(shù)學(xué)是一門理論性和應(yīng)用性很強(qiáng)的一門學(xué)科，對(duì)學(xué)生的要求比較高。它用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論將金融中的問(wèn)題描述清楚并解決該問(wèn)題。因此要求學(xué)生受到比較嚴(yán)格的科學(xué)思維訓(xùn)練，具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，需要熟悉隨機(jī)過(guò)程、隨機(jī)分析、時(shí)間序列分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)等內(nèi)容；同時(shí)具有利用金融數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力，特別是運(yùn)用各種金融工具和手段分析和解決金融實(shí)務(wù)問(wèn)題的能力；能夠較熟練地使用計(jì)算機(jī)及應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件，具有編寫應(yīng)用程序的能力，能夠解決金融中出現(xiàn)的一些實(shí)際問(wèn)題。

1金融數(shù)學(xué)現(xiàn)狀及解決方案

重?cái)?shù)學(xué)輕金融：[2]傳統(tǒng)教學(xué)中比較重視數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)院的本科生來(lái)講，金融概念薄弱，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較扎實(shí)，不知道或者說(shuō)不太清楚如何理解金融概念及金融背景，對(duì)金融概念理解不到位。

理論與實(shí)際脫節(jié)：目前，金融數(shù)學(xué)方面的教材大致可以分成兩類：一類是過(guò)于深?yuàn)W，完全從數(shù)學(xué)上考慮，基本上都是深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)。如：隨機(jī)過(guò)程、鞅論、隨機(jī)微分方程等知識(shí)。這類教材比較適合研究生來(lái)讀。對(duì)于本科生來(lái)講，所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)還不夠，不能夠融會(huì)貫通這些數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)常學(xué)得云里霧里，打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和實(shí)際應(yīng)用的積極性。一類是直接講淺顯的知識(shí)，理論證明不夠嚴(yán)密。這兩種教材對(duì)本科生來(lái)講，學(xué)習(xí)起來(lái)都比較吃力。另外市面上的教材還都有一個(gè)弊端：現(xiàn)在社會(huì)發(fā)生了巨大的變化，但是很多教材都是幾十年前出版的。當(dāng)然，學(xué)習(xí)經(jīng)典的知識(shí)是可以的，但是學(xué)習(xí)的內(nèi)容和實(shí)際生活有點(diǎn)脫節(jié)，例子太過(guò)陳舊，不能夠和現(xiàn)在生活掛鉤，降低了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的熱情。這就要求在講授過(guò)程中要注入新的元素新鮮的血液，同時(shí)也希望市面上能夠盡快出現(xiàn)既符合本科生的實(shí)際情況，又能夠便于學(xué)生操作的教材。

學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性有待提高：由于不知道如何將理論聯(lián)系實(shí)際，學(xué)生認(rèn)為所學(xué)的知識(shí)無(wú)用或者過(guò)于深?yuàn)W，不能夠很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。

實(shí)際動(dòng)手能力欠缺：對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)講，實(shí)際動(dòng)手能力欠缺，僅僅會(huì)書(shū)上的內(nèi)容，不太會(huì)操作，有點(diǎn)紙上談兵時(shí)的運(yùn)籌帷幄，真槍實(shí)彈時(shí)不知所措。通常，大家只是在學(xué)理論，較少將書(shū)上的內(nèi)容用于處理實(shí)際中的問(wèn)題。比如說(shuō)大家都會(huì)年金的理論計(jì)算，可是一旦將年金用到分期購(gòu)車中或者如何利用年金進(jìn)行做分期購(gòu)車的銷售策略，大家會(huì)不知如何下手。

針對(duì)以上存在的問(wèn)題，筆者認(rèn)為在金融數(shù)學(xué)教學(xué)中需要改進(jìn)的一些地方及建議：

1.1重視金融概念的講解

現(xiàn)在社會(huì)上雖然人人都了解點(diǎn)金融，但真正懂金融的人并不是很多。在教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)公式的金融解釋，對(duì)背后的金融背景和金融問(wèn)題要進(jìn)行深入細(xì)致的了解。只有理解了金融數(shù)學(xué)背后的金融背景和問(wèn)題，那么在以后的學(xué)習(xí)和工作中碰到類似的問(wèn)題，才知道如何解決。如果不理解清楚一知半解或不懂裝懂，那么在碰到實(shí)際問(wèn)題時(shí)只能生搬硬套，往往會(huì)達(dá)不到解決問(wèn)題的效果甚至可能南轅北轍。所以在教學(xué)中一定要加強(qiáng)金融概念的講解，講清楚講透徹。以下將從金融數(shù)學(xué)中的幾個(gè)概念進(jìn)行詳細(xì)的闡述。

無(wú)套利思想是金融數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的思想?？赡軐W(xué)生覺(jué)得這在數(shù)學(xué)上很簡(jiǎn)單，但是要能夠應(yīng)用到實(shí)際中去，什么時(shí)候有套利機(jī)會(huì)，有套利機(jī)會(huì)時(shí)怎么操作運(yùn)行必須搞清楚。并且將數(shù)學(xué)中的內(nèi)容和金融建立聯(lián)系，市場(chǎng)是無(wú)套利的，那么在數(shù)學(xué)上的反映就是存在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度，進(jìn)一步延伸風(fēng)險(xiǎn)中性的概念。進(jìn)而我們可以自然而然地過(guò)渡到風(fēng)險(xiǎn)偏好上，既然有風(fēng)險(xiǎn)中性，那么也就有投資者偏好風(fēng)險(xiǎn)，也有投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)這三種投資者風(fēng)險(xiǎn)中性、風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者他們的期望是什么？除了定性分析還需要定量分析，即如何在數(shù)學(xué)上體現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)偏好程度？這就要進(jìn)一步引入效用函數(shù)，并且使學(xué)生理解為什么在金融中要用效用最大化來(lái)求最優(yōu)投資策略。

比如說(shuō)到自融資策略時(shí)，很多同學(xué)不能夠正確的理解。認(rèn)為從數(shù)學(xué)角度上看式子是不滿足的。通過(guò)求微分式子根本不成立。但要讓學(xué)生充分理解到資金就那么多，投資后既不能撤出資金也不能再追加投資，很短時(shí)間內(nèi)資金的變化量只和資產(chǎn)的價(jià)格變化有關(guān)，和資金的數(shù)量變化無(wú)關(guān)。所以會(huì)導(dǎo)致這樣的式子，并不是數(shù)學(xué)上嚴(yán)格推導(dǎo)出來(lái)的式子。這也明確地告訴大家金融數(shù)學(xué)中的一些公式并不是完完全全靠數(shù)學(xué)推導(dǎo)出來(lái)的，有些是用到了金融背景的。只有理解金融背景，才能夠真正理解公式的含義。

比如說(shuō)到金融數(shù)學(xué)中的復(fù)制。大家都很清楚復(fù)制一份文件就是重新拷貝一份。那么在金融中復(fù)制一種資產(chǎn)是什么？由于在金融市場(chǎng)中我們想要交易的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合A并不是可以在市場(chǎng)中隨意進(jìn)行交易的，那么就需要用其他的一種或多種資產(chǎn)B，使得該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合B與我們需要的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合A他們的價(jià)值是相等的，那么我們可以交易資產(chǎn)組合B。

再比如我們講到連續(xù)時(shí)間模型下對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)問(wèn)題。首先要弄清楚證明中的每一步是如何推導(dǎo)的，再就是要理解其公式的含義，并且如何從金融上進(jìn)行解釋。最常見(jiàn)的標(biāo)的資產(chǎn)不帶紅利的歐式看漲期權(quán)可以看作由標(biāo)的資產(chǎn)和現(xiàn)金來(lái)復(fù)制，并且所需要的比例通過(guò)B-S公式已給出。通過(guò)復(fù)制可以啟發(fā)學(xué)生，如果想要購(gòu)買這種歐式期權(quán)，而市場(chǎng)上又買不到時(shí)，可以通過(guò)購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)和一定量的現(xiàn)金得到。從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)也可以看作是由兩種期權(quán)的資產(chǎn)組合：股票0-1期權(quán)和現(xiàn)金0-1期權(quán)。此時(shí)，同樣可以交易這兩種期權(quán)進(jìn)而得到需要的歐式期權(quán)。多方位多角度的講解加深學(xué)生對(duì)概念和公式的理解。

1.2理論聯(lián)系實(shí)際

在講解過(guò)程中，對(duì)教學(xué)內(nèi)容要有所取舍，合理分配教學(xué)內(nèi)容，除了講解書(shū)上的理論部分和經(jīng)典例子外，講解時(shí)還要注意理論聯(lián)系實(shí)際，比如可以拿市場(chǎng)中的某幾只股票的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)學(xué)生比較熟悉的金融業(yè)務(wù)進(jìn)行講解。當(dāng)前學(xué)生比較熟悉的金融業(yè)務(wù)有：微信中的零錢通，京東金融的基金理財(cái)，基金保險(xiǎn)，各銀行的理財(cái)?shù)取3]紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行。鼓勵(lì)學(xué)生多用學(xué)過(guò)的內(nèi)容分析這些金融業(yè)務(wù)，體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際，學(xué)以致用的思想，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐分析，多進(jìn)行案例分析，分析理論和實(shí)際之間的差距。

例如學(xué)習(xí)年金知識(shí)的時(shí)候，可以將實(shí)際生活中碰到的房租、保險(xiǎn)、養(yǎng)老金、分期貸款等都看作年金。那么在現(xiàn)實(shí)中涉及的提前還貸，養(yǎng)老金的發(fā)放等實(shí)際問(wèn)題都可以試著處理。利用簡(jiǎn)單的案例，生動(dòng)形象地告知學(xué)生。讓學(xué)生既學(xué)到理論知識(shí)，又能夠應(yīng)用到實(shí)際，體會(huì)到成就感，帶動(dòng)學(xué)習(xí)興趣，一舉多得。

1.3啟發(fā)式教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生能夠自主學(xué)習(xí)

例如講到投資組合問(wèn)題時(shí)，告訴學(xué)生分散投資可以分散風(fēng)險(xiǎn)。那么怎么樣做呢？是不是所有的投資都可以分散風(fēng)險(xiǎn)？這時(shí)候可以通過(guò)講解一些具體的例子引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生并不是所有的投資都是分散風(fēng)險(xiǎn)的，有些投資反而增加了風(fēng)險(xiǎn)，只有在這些資產(chǎn)存在著一定關(guān)系時(shí)才可以分散風(fēng)險(xiǎn)。投資組合理論模型如何刻畫(huà)？在實(shí)際中如何體現(xiàn)？關(guān)于書(shū)本上講的理論中的假設(shè)是否在實(shí)際市場(chǎng)中是成立的？如何應(yīng)用到實(shí)際中？對(duì)結(jié)果如何進(jìn)行分析等等，進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生搞清楚實(shí)際和理論之間的差距，并且激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探討學(xué)習(xí)研究，針對(duì)實(shí)際中存在的一些問(wèn)題如何研究，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步推廣模型做理論研究來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

搞清楚了經(jīng)典意義下的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，那么如何考慮同樣的條件下歐式看跌期權(quán)的價(jià)格？能否用推導(dǎo)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的思路來(lái)推導(dǎo)歐式看跌期權(quán)的價(jià)格？通過(guò)歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格會(huì)得到什么結(jié)論？通過(guò)啟發(fā)引入歐式看漲看跌期權(quán)的平價(jià)公式，最后得出歐式看跌期權(quán)可以通過(guò)平價(jià)公式和B-S公式得到。實(shí)際中，標(biāo)的資產(chǎn)為了吸引投資會(huì)考慮發(fā)放紅利，這時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)帶有紅利的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格又該如何考慮？此時(shí)平價(jià)公式還是否成立？鼓勵(lì)學(xué)生思考并進(jìn)行查閱相關(guān)的資料，得到：如果標(biāo)的資產(chǎn)連續(xù)發(fā)放紅利時(shí)，那么此時(shí)也會(huì)有相應(yīng)地歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式，平價(jià)公式和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。再一步深入展開(kāi)討論，如果標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程中帶有跳時(shí)又該如何給期權(quán)定價(jià)？可以一步一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。

美式看跌期權(quán)由于可以提前執(zhí)行，我們無(wú)法得到其具體的價(jià)格公式，是不是美式看跌期權(quán)就此停止沒(méi)有辦法解決呢？通過(guò)討論很多同學(xué)想到那是不是可以用其他的方法來(lái)進(jìn)行解決？在課堂上有的同學(xué)想到用求解偏微分方程的方法，有同學(xué)想到利用隨機(jī)模擬。啟發(fā)教學(xué)，集思廣益，團(tuán)隊(duì)合作，這正是未來(lái)人才需要的。通過(guò)學(xué)習(xí)找到一種終身學(xué)習(xí)的方法，這就是教育教學(xué)的成功。

針對(duì)奇異期權(quán)我們只能用求解偏微分方程的解或數(shù)值解或者隨機(jī)模擬找其價(jià)格。通過(guò)進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，通過(guò)比較分析，使學(xué)生明白什么樣的問(wèn)題用什么樣的方法。實(shí)際中遇到的問(wèn)題并不像教材中的問(wèn)題那么簡(jiǎn)單，需要用長(zhǎng)期訓(xùn)練的數(shù)學(xué)思維和金融頭腦來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

談到期權(quán)定價(jià)中的參數(shù)估計(jì)時(shí)，針對(duì)離散模型的參數(shù)估計(jì)和連續(xù)模型的參數(shù)估計(jì)，他們之間有沒(méi)有聯(lián)系？給定一組市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，用離散模型還是連續(xù)模型？如何做參數(shù)估計(jì)？參數(shù)估計(jì)是不是只能用矩估計(jì)，有沒(méi)有別的估計(jì)的方法？可否用統(tǒng)計(jì)學(xué)中學(xué)到的估計(jì)的方法？最近的Lasso估計(jì)是否可以用到處理期權(quán)定價(jià)中？老問(wèn)題新方法未嘗不可。在教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生思考，多接受新的知識(shí)新的方法，與時(shí)俱進(jìn)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

通過(guò)上述的聯(lián)系實(shí)際和啟發(fā)式教學(xué)等，鼓勵(lì)學(xué)生自主查閱學(xué)習(xí)有關(guān)的內(nèi)容，多查資料多思考，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法和提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性?；诖?，我們還要重視理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐的操作性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。只有讓學(xué)生體會(huì)到成就感，才會(huì)良性循環(huán)地進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)的積極性。

1.4增強(qiáng)動(dòng)手能力

通常，大家只是在學(xué)理論，很少利用書(shū)上的內(nèi)容處理實(shí)際中的問(wèn)題。比如說(shuō)大家都會(huì)年金的計(jì)算，可是一旦將年金用到分期購(gòu)車中或者購(gòu)買保險(xiǎn)中，大家會(huì)不知如何下手。紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行。因此需要在講授課程時(shí)讓學(xué)生多動(dòng)手實(shí)踐。由于課時(shí)有限，不可能在課上讓每位學(xué)生都動(dòng)手操作，那么就需要多利用課下時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐，并鼓勵(lì)學(xué)生實(shí)踐操作有問(wèn)題時(shí)及時(shí)提問(wèn)并反饋。首先通過(guò)觀察分析得到的數(shù)據(jù)建立合適的數(shù)學(xué)模型，然后理論分析求解，或通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬進(jìn)行量化的研究和分析。最后能夠找到金融中的內(nèi)在規(guī)律，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析并指導(dǎo)。比如關(guān)于期權(quán)的定價(jià)方面，首先處理數(shù)據(jù)，選用合適的數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型做參數(shù)估計(jì)，然后利用理論分析衍生產(chǎn)品的價(jià)格，最后再根據(jù)結(jié)果看有無(wú)套利機(jī)會(huì)，進(jìn)一步對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行管理和監(jiān)控。這就要求學(xué)生要會(huì)動(dòng)手編程，會(huì)使用一些應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件。通過(guò)這一套系統(tǒng)地學(xué)習(xí)，讓學(xué)生既掌握了相關(guān)課程的知識(shí)，又能夠?qū)W以致用，體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，才能更好的學(xué)習(xí)。其他金融方面的內(nèi)容也是類似的。

因此，在課堂教學(xué)中能夠?qū)⒁恍┙鹑谥械陌咐约熬幊逃?jì)算[4]（如excel表，matlab，C，Sas以及R）融入金融數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，使得熟練掌握枯燥的理論性知識(shí)能夠應(yīng)用到銀行、保險(xiǎn)、證券、信托等保險(xiǎn)金融領(lǐng)域。這就要求學(xué)生在課下至少學(xué)會(huì)一種編程，在遇到實(shí)際問(wèn)題能夠進(jìn)行操作，不是僅僅作為一個(gè)空想家，而是作為一個(gè)實(shí)踐家。

2金融數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)目標(biāo)

對(duì)于金融數(shù)學(xué)方向的學(xué)生來(lái)講，需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，同時(shí)要具備金融基礎(chǔ)，了解金融背景，并且還需要會(huì)進(jìn)行編程和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析。只有將這幾方面都掌握了，才可以將所學(xué)轉(zhuǎn)化為所用。只有掌握了相關(guān)課程的知識(shí)，同時(shí)又能夠?qū)W以致用，體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，學(xué)生才能夠更好地學(xué)習(xí)。結(jié)合現(xiàn)代社會(huì)的特點(diǎn)，金融數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)既懂?dāng)?shù)學(xué)又懂金融的應(yīng)用型的金融人才，[5]能夠勝任銀行、證券、信托等金融領(lǐng)域金融分析、投資分析、統(tǒng)計(jì)建模、風(fēng)險(xiǎn)管理等方面的工作。

基金項(xiàng)目：武漢大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目

參考文獻(xiàn)

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