福建省三明市梅列區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校(365000) 青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(810008) 鄭培珺

在一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,引入部分問題情景的創(chuàng)設(shè)引起越來越多的教師來設(shè)計(jì)和研究.引入注重新穎性;與學(xué)生的實(shí)際生活密切相連;要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;能體現(xiàn)本節(jié)課學(xué)習(xí)的“必要性”和“可學(xué)性”;能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì);從已有數(shù)學(xué)知識(shí)中延生問題; 讓學(xué)生體會(huì)到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化等等.不同的引入各顯精彩,下面以北師大版八年級(jí)上冊(cè)第五章第二節(jié)“求解二元一次方程組(1)”為例來分析.

1 簡單著手層層深入

引入1果汁店中有A、B 兩種果汁,B 種果汁的價(jià)格是A 種果價(jià)格的兩倍,小彬和同學(xué)買了4 杯A 種果汁,3 杯B種果汁,一共花了60 元.A 種果汁、B 種果汁每杯分別是多少元?

問: 上節(jié)課學(xué)了二元一次方程組,我們能否用二元一次方程組解決這個(gè)問題?

若設(shè)A 種果汁每杯x元,B 種果汁每杯y元.如何列二元一次方程組?

思考: 如何求解這個(gè)二元一次方程組?

教師組織學(xué)生分小組討論.

生: 將①中的y帶入②中,即②中的y用2x代替.

師: 為何將①中的y帶入②中? 也就是為何②中的y能用2x代替?

生: ①中的y和②中的y所表示的量相同, 都表示“A種果汁每杯x元”.

在上一題的基礎(chǔ)上變換式子

教師再問如何解這個(gè)方程組解方程組?

學(xué)生在上一題的啟發(fā)中, 能夠想到將①中的x帶入②中,即②中的x用代替.

觀察以上兩題, 思考: ①式代入②式, 方程組發(fā)生了怎樣的變化? 未知數(shù)個(gè)數(shù)發(fā)生怎樣的變化?

通過學(xué)生觀察思考,總結(jié): 由二元一次方程組變成一元一次方程;由二元變成一元.將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少,逐一解決的方法叫做消元法.

思考: 能把①式直接代入②式消元,對(duì)①式的形式有什么要求?

通過學(xué)生觀察思考,總結(jié): 要將方程組中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

分析引入1 以實(shí)際生活中學(xué)生最熟悉的問題入手,列出一個(gè)最簡單的方程組.這個(gè)方程特殊在①中的y直接表示成x代數(shù)式的形式.由于兩個(gè)方程中y所代表的對(duì)象相同,這樣學(xué)生便可以直接把②中的y用①中x代數(shù)式的形式替換,從而得到一個(gè)一元一次方程.此過程由復(fù)雜的二元問題轉(zhuǎn)化成簡單的一元問題,是化歸思想運(yùn)用的體現(xiàn).由一個(gè)最簡單的特殊方程組引入,最后過渡到任何一個(gè)一般的求解二元一次方程組問題,是特殊到一般的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn).

2 由新問題聯(lián)想舊知識(shí)

引入2夏天到了,有8 個(gè)人約好一起去游泳,買游泳票共花34 元.成人票5 元一張,兒童票3 元一張.請(qǐng)問去了幾個(gè)成人、幾個(gè)兒童?

先引導(dǎo)學(xué)生列二元一次方程組.設(shè)他們中有x個(gè)成人,y個(gè)兒童.學(xué)生列出方程組:

師: 你們會(huì)解這個(gè)二元一次方程組嗎?

生: 不會(huì).

師: 這個(gè)問題還有其他方法解嗎?

接下來引導(dǎo)學(xué)生想以前學(xué)習(xí)過的一元一次方程,可用一元一次方程求解方程組.分別列出用一元一次方程和用二元一次方程組求解的過程,如下表1

表1 一元一次方程和二元一次方程組求解過程對(duì)比表

觀察: 列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同? 這兩種方法對(duì)你解二元一次方程組有何啟示?

若學(xué)生沒想出來, 教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察, 把二元轉(zhuǎn)化成一元形式來求解.由二元一次方程組①中寫出y= 8－ x, 再將其代入②, 就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程5x+3(8－x)=34.

分析在解應(yīng)用題時(shí),教師先引導(dǎo)學(xué)生列出二元一次方程組,若學(xué)生不會(huì)解這個(gè)方程組,教師再引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)過的方法求解.學(xué)生列出一元一次方程,通過觀察兩種方法,教師引導(dǎo)學(xué)生把不會(huì)的問題(二元)轉(zhuǎn)化成會(huì)的問題(一元)來求解,實(shí)現(xiàn)了化歸,即在遇到未知問題時(shí),把它轉(zhuǎn)化成更簡單的已知的問題來解決.

3 由已知探求未知

引入3夏天到了,有8 個(gè)人約好一起去游泳,買游泳票共花34 元.成人票5 元一張,兒童票3 元一張.請(qǐng)問去了幾個(gè)成人、幾個(gè)兒童?

在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的基礎(chǔ)上,要能完整解答此題.多數(shù)學(xué)生首先會(huì)想到列一元一次方程.設(shè)去了x個(gè)成人,則去了(8－x)個(gè)兒童,根據(jù)題意,得: 5x+3(8－x) = 34,解得x= 5.再由教師引導(dǎo),若用二元一次方程組的知識(shí)如何解決問題? 設(shè)x個(gè)成人,y個(gè)兒童,根據(jù)題意,得:

問: 如何求解這個(gè)方程組?

觀察兩種列式, 學(xué)生可以從二元一次方程組①中寫出y= 8－ x, 再將其代入②, 就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程5x+3(8－x)=34 求解.

分析與引入2 的背景問題相同,學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程在先,先用已學(xué)過的知識(shí)解題.教師在引導(dǎo)學(xué)生列二元一次方程組,思考如何解這個(gè)方程組.把已知的一元一次方程解法和現(xiàn)在的二元一次方程組問題放在一起看,引導(dǎo)學(xué)生把二元轉(zhuǎn)化成一元來化歸.

4 已有問題的進(jìn)一步深入探究

北師大版八年級(jí)上冊(cè)第四章涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式.在題目中所給的兩個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo),其中一個(gè)點(diǎn)一定是一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn).因?yàn)閷⑤S上的點(diǎn)坐標(biāo)代入二元一次方程組時(shí),b值可直接求出,這樣便把求解二元一次方程組轉(zhuǎn)化成了求解一元一次方程.這時(shí)如果給出的兩個(gè)點(diǎn)均不是與y軸的交點(diǎn),要求學(xué)生求一次函數(shù)表達(dá)式.如下引入4:

引入4如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B,求一次函數(shù)的表達(dá)式.

設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)試為y=k1x+b1,由圖可知圖像經(jīng)過A、B兩點(diǎn),將A(0,2)、B(2,4)代入y=k1x+b1,可得

師: 這個(gè)方程組如何求解呢?

生: 將①程中的b1= 2 代入②,得到關(guān)于k1的一元一次方程,解這個(gè)一元一次方程可求k1.

師: 一次函數(shù)圖像中已知的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),其中一個(gè)在y軸上,將其代入,可直接求出b1.若已知的兩個(gè)點(diǎn)都不在y軸上.那又應(yīng)該如何來求解呢? 請(qǐng)看下面變式.

圖1

圖2

變式: 如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)B,求一次函數(shù)的表達(dá)式.

設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)試為y=k2x+b2,由圖可知圖像經(jīng)過B、C兩點(diǎn),將B(2,4)、C(－1,1)代入y=k2x+b2,可得

師: 這個(gè)方程組如何求解呢? 回顧上一題是如何求解的呢?

生: 把①中的b1=2 代入②,得到一元一次方程.

師: 這里我們能不能參考前一題的做法,把b2代入②也得到一元一次方程呢? 接下來引導(dǎo)學(xué)生思考如何將b2代入②?

探討得出要將二元一次方程組中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.也就是寫成b2=1+k2,再代入②,得到式子4=2k2+(1+k2),這樣就把二元轉(zhuǎn)化為一元求解.

分析引入4 是把上一章的求一次函數(shù)表達(dá)式問題作為切入口.基于北師大教材安排的順序,因?yàn)檫€未學(xué)求解二元一次方程組,所以在求一次函數(shù)表達(dá)式中給出的已知點(diǎn),有一個(gè)一定在y軸上,這樣能直接求出b的值.但還有更一般的情況,若已知點(diǎn)均不在y軸上,就涉及到更一般的二元一次方程組的解法.這種引入方法則是以已學(xué)知識(shí)的延伸擴(kuò)展出相關(guān)的問題,不斷拓寬學(xué)生的思維,這個(gè)過程涉及到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

5 復(fù)習(xí)溫故知新

引入5先復(fù)習(xí)二元一次方程組的定義和二元一次方程組的解的定義.

生: 選C.把x的值和y的值帶入方程組,同時(shí)滿足兩個(gè)方程則為方程組的解.

師: 如果每一次都要知道x的值和y的值,再帶進(jìn)去驗(yàn)證才知道方程組的解,這樣子非常麻煩.如果給你一個(gè)方程組,你能不能直接求出它的解呢?

上一節(jié)課我們講了老牛和小馬駝包裹的故事[1].老牛馱了x個(gè)包裹, 小馬馱了y個(gè)包裹.我們可以得到方程組

如何求解這個(gè)方程組呢?

如何解?

通過這題總結(jié)出要將二元一次方程組中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

這樣的方程怎么辦?

分析引入5 以復(fù)習(xí)回顧舊知的方式開場,先回顧解二元一次方程組的定義及其的解的定義.以一個(gè)判斷二元一次方程組的解的簡單問題進(jìn)一步延伸,如果每一次都要知道方程組的解,再去驗(yàn)證,十分不便.教師提出“能不能直接求二元一次方程組的解呢? 怎么求? ”這樣的引入讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)求解二元一次方程組的必要性,十分自然.

6 HPM 視角品味數(shù)學(xué)文化

HPM(History and Pedagogy of Mathematics)是指“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系”的研究領(lǐng)域或數(shù)學(xué)教學(xué)中“融入數(shù)學(xué)歷史”的一種視角[2].也就是將數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史融入數(shù)學(xué)教育,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)和數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化,目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)歷史的運(yùn)用,提高數(shù)學(xué)教育的水平.

卡約黎(F.Cajori,1859-1930)在《數(shù)學(xué)史》中提到“在歷史的解說中,教師可以讓學(xué)生明白: 數(shù)學(xué)并不是一門枯燥呆板的學(xué)科,而是一門不斷進(jìn)步的生動(dòng)有趣的學(xué)科”[3].學(xué)者汪曉勤將數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用數(shù)學(xué)史教學(xué)的方式劃分為四種,如表2.

在論述古典數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)關(guān)系上,克萊因提出數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)基本原則: 文化原則、有趣原則、直觀原則及有效原則.汪曉勤此基礎(chǔ)上提出HPM 教學(xué)設(shè)計(jì)的五項(xiàng)基本原則:科學(xué)性、有效性、新穎性、可學(xué)性及趣味性[4].二元一次方程組解法涉及代入消元法和加減消元法,下面對(duì)數(shù)學(xué)史融入二元一次方程組解法(代入法、加減法)教學(xué)的相關(guān)研究進(jìn)行分析.本文研究求解二元一次方程組第一課時(shí)(用代入消元法求解二元一次方程組),以下學(xué)者對(duì)二元一次方程組解法的教學(xué)做了研究,其中有涉及加減法消元部分也可對(duì)HPM 視角下代入法消元法的教學(xué)設(shè)計(jì)起借鑒作用.

汪曉勤以前一節(jié)課中的問題為背景,引導(dǎo)學(xué)生探索代入消元法,再練習(xí).之后借丟番圖《算術(shù)》中的問題引出加減消元法,接著練習(xí)鞏固,之后再探究其他解法[5].學(xué)習(xí)過程中的方程組問題出自《計(jì)算之書》、《算法統(tǒng)宗》、《九章算術(shù)》等著作.以數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展順序(即發(fā)生教學(xué)法)展現(xiàn)代入消元法和加減消元法.其中二元一次方程組的歷史發(fā)展概況、方程組的問題均來自數(shù)學(xué)史文獻(xiàn),是數(shù)學(xué)史復(fù)制式的直接運(yùn)用.

表2 數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式

顧海萍、汪曉勤以歐洲中世紀(jì)、古中國和古代巴比倫數(shù)學(xué)著作中的二元一次方程組相關(guān)問題,組成美妙的方程組畫卷.從古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中四類最典型的二元一次方程組問題中各選取1 個(gè)問題為素材[6]展現(xiàn)二元一次方程組的歷史和發(fā)展,體會(huì)方程思想在解題中的重要性.以古代二元一次方程組為算題,但沒有探究其解法的歷史形成過程,屬于重構(gòu)式的間接運(yùn)用.

沈志興基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn),以《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問題為背景,講解了古代算式解法的思考過程,分析古代算式解法和今日加減消元解法之間的聯(lián)系,再通過《算法統(tǒng)宗》中的牛馬問題引出新課并讓學(xué)生歸納出解方程組的步驟,理清加減消元法的“可學(xué)性”和“必要性”的問題[7].高樹成、段娟引出《孫子算經(jīng)》中“雉兔同籠”問題[8][9],讓學(xué)生思考有哪些解法? 第一,“假設(shè)法”,假設(shè)籠中全是雞或全是兔,列算式求解.第二,“砍足法”,將所有動(dòng)物的腳數(shù)除以二.此時(shí)雞一頭一腳,兔一頭兩腳.腳比頭多多出的便是兔的腳.第三,列一元一次方程解題.第四,列二元一次方程組解題.之后再講解如何求解二元一次方程組.引入過程中展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上“雉兔同籠”問題的求解,既讓學(xué)生體會(huì)到了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化,也展現(xiàn)了一題多解,自然過渡到方程組的求解.“雉兔同籠”問題屬于復(fù)制式的直接運(yùn)用方式.

洪燕君、李霞、常道寬等人通過《九章算術(shù)》中的直除法、互乘相消法、方程新術(shù)等歷史解法與現(xiàn)代解法的對(duì)比,在直接運(yùn)用展示傳統(tǒng)文化魅力的同時(shí), 講解每種解法的特點(diǎn).重構(gòu)數(shù)學(xué)史料,以丟番圖《算術(shù)》中的題溫故知新,利用學(xué)過的等式性質(zhì)引出“加減消元法”,讓學(xué)生體會(huì)加減消元方法解決問題的優(yōu)越性和必要性[10].該教學(xué)設(shè)計(jì)是在代入法學(xué)完的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,沒有完全按照數(shù)學(xué)史發(fā)展順序設(shè)計(jì).其中對(duì)數(shù)學(xué)史運(yùn)用屬于復(fù)制式和重構(gòu)式直接運(yùn)用和間接運(yùn)用相結(jié)合.

通過對(duì)以上研究者的分析,以數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展順序設(shè)計(jì)教學(xué)能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,展示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過程能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)思想的理解.在數(shù)學(xué)史融入二元一次方程組解法的教學(xué)中,大多數(shù)是以融入古算題的方式進(jìn)行,因?yàn)槎淮畏匠探M解法的發(fā)展復(fù)雜,初中階段的學(xué)生可能不能理解其發(fā)展過程,所以基本沒有完全按照二元一次方程組解法的歷史順序進(jìn)行教學(xué).因此,求解二元一次方程組教學(xué)中,基于歷史發(fā)生原理,參考數(shù)學(xué)史發(fā)展順序設(shè)計(jì)教學(xué)方案,展示在HPM 視角下,用代入法解二元一次方程組的引入案例.

引入6我國南北朝時(shí)期的古書《孫子算經(jīng)》下卷中第31 題“雉兔同籠”流傳廣泛.今有雉(雞)兔同籠,雉23 只,雉兔共有九十四足.問雉兔各幾何?

(1)籠中雉是兔的1.5 倍,雉兔共有九十四足,問雉兔各幾何?

(2)今有雉(雞)兔同籠, 上有三十五頭, 下有九十四足,問雉兔各幾何?

解: (1) 設(shè)籠中有x只雞,y只兔.由題意可得

師: 如何求解這個(gè)二元一次方程組?

接下來解方程組的分析、探究、講解同引入1.

(2)設(shè)籠中有m只雞,n只兔.由題意可得

師: 如何求解這個(gè)二元一次方程組?

由(1) 得到啟示, 首先要在方程組中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆匠?將其中的未知數(shù)表示成另一個(gè)未知數(shù)的形式.如此題中,由①可得m=35－n(或n=35－m),在將其代入②,便可得到一個(gè)一元一次方程.

分析引入6 在原來“雉兔同籠”的問題上改編,加入一個(gè)更簡單的問題.讓學(xué)生先得到一個(gè)最簡單的二元一次方程組,這個(gè)方程組特殊在其中一個(gè)方程的未知數(shù)已經(jīng)表示成另一個(gè)未知數(shù)代數(shù)式的形式.這樣的表示形式便可將其直接帶入第二個(gè)方程,將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題.再給出《九章算術(shù)》中“雉兔同籠”的原始問題,得到一個(gè)更一般的方程組.通過借鑒前一題的解法,引導(dǎo)學(xué)生在(2)中,首先要選一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠?將其中一個(gè)未知數(shù)表示成另一個(gè)未知數(shù)代數(shù)式的形式.再帶到另一個(gè)方程中將二元轉(zhuǎn)化成一元問題求解.這樣的引入體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和化歸的數(shù)學(xué)思想.在HPM 視角下借鑒、改編重組數(shù)學(xué)問題,提煉出數(shù)學(xué)思想方法,屬于重構(gòu)式的間接運(yùn)用數(shù)學(xué)史.

7 結(jié)束語

本文以北師大版八年級(jí)上冊(cè)“求解二元一次方程組(1)為例”,研究了六種引入方式所呈現(xiàn)的不同教學(xué)效果.六種引入的教學(xué)涉及將“二元”問題轉(zhuǎn)化為“一元”問題來處理,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)化歸思想.六種不同的引入,展現(xiàn)了六種不同的精彩,沒有絕對(duì)的優(yōu)劣之分,各顯千秋.教師應(yīng)從根據(jù)本班學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際情況和教學(xué)需要出發(fā),借鑒和設(shè)計(jì)適合自己教學(xué)的引入.