山西省忻州人才中學(xué)(034000) 郝喜儒

1 教材原題

如圖1,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,ΔEBC可以看作是ΔDAC經(jīng)過平移、軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)得到, 說明得到ΔEBC的過程.

證明以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心,把ΔDAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,∵ΔABC和ΔECD都是等邊三角形, ∴CD與CE重合,CA與CB重合,∴ΔACD～= ΔBCE.

2 原題衍生

例1如圖2,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,求證MN//BD.

分析欲證MN//BD, 需證∠NMC= ∠ACB=60°(或∠MNC= ∠ECD= 60°) , 因?yàn)椤螹CN= 60°,所以只需證CM=CN.

證明∵ΔACD～= ΔBCE(由上可知) , ∴∠MBC=∠NAC,在ΔMBC和ΔNAC中,∵∴ ΔMBC～= ΔNAC(ASA) ,∴CM=CN, ∵∠MCN= 60°, ∴ΔMNC是等邊三角形,∴∠NMC=∠ACB=60°,∴MN//BD.

例2如圖2,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,點(diǎn)C是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)B、D重合), 線段BD長(zhǎng)為L(zhǎng),求的最大值.

分析求的最大值可以轉(zhuǎn)化為求的最大值(因?yàn)镸N=NC) , 因?yàn)椤螻CD= ∠ABC= 60°, 所以,NC//AB,抓住A 字型基本圖形即可破題.

解設(shè)DC=x, 則BC=AB=L－x, ∵∠NCD=∠ABC= 60°, ∴NC//AB, ∴ΔDNC～ΔDAB, ∴=∴MN=

當(dāng)x=取得最大值分母L2為定值,所以取得最大值,即

例3如圖2,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,點(diǎn)C是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C不與點(diǎn)B、D重合,求證: 點(diǎn)H、M、C、N四點(diǎn)共圓.

分析因?yàn)榈冗叇CN有外接圓⊙O,所以只需證點(diǎn)H在⊙O上即可.

證 明由 圖2 可 知, ∠AHB是ΔBHD的 外 角,∴∠AHB= ∠HBD+ ∠HDB= ∠CAD+ ∠HDB,∵∠ACD=120°,∴∠AHB=60°,∠MHN=120°.

假設(shè)點(diǎn)H不在等邊ΔMNC的外接圓⊙O上, 則點(diǎn)H(1)在⊙O外(2)在⊙O內(nèi),當(dāng)點(diǎn)H在⊙O外時(shí),如圖3,連接OH交⊙O于點(diǎn)G,連接MG,NG.

∵四邊形CMGN為⊙O的內(nèi)接四邊形, ∠MCN=60°, ∴∠MGN= 120°, ∵∠MGO ＞∠MHG,∠NGO ＞∠NHG, ∴∠MGO+ ∠NGO ＞∠MHG+ ∠NHG,∴∠MGN ＞∠MHN, ∴∠MHN ＜120°, ∴與∠MHN=120°相矛盾,∴點(diǎn)H不在⊙O外.

當(dāng)點(diǎn)H在⊙O內(nèi)時(shí),如圖4,連接OH延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q,連接MQ、NQ.

∵四邊形CMQN為⊙O的內(nèi)接四邊形, ∠MCN=60°, ∴∠MQN= 120°, ∵∠MHO ＞∠MQH,∠NHO ＞∠NQH, ∴∠MHO+ ∠NHO ＞∠MQH+ ∠NQH,∴∠MHN ＞∠MQN,∵∠MQN=120°,∴∠MHN ＞120°,∴與∠MHN=120°相矛盾,∴點(diǎn)H不在⊙O內(nèi).

綜上所述,假設(shè)不正確,所以點(diǎn)H在⊙O上,所以點(diǎn)H、M、C、N四點(diǎn)共圓.

例4如圖5,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,點(diǎn)C是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)C不與點(diǎn)B、D重合, 求證:

分析線段BC、CD、HB分別是待證比例的第一、二、三比例項(xiàng), 通過作輔助線作出第四比例項(xiàng)DK, 再證明DK=HD即可.

證明過點(diǎn)D作DK//CH交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過點(diǎn)C分別作CH′⊥BE,CG′⊥AD,垂足分別是點(diǎn)H′、G′.

∵ΔACD～= ΔBCE,CH′⊥BE,CG′⊥AD,∴CH′=CG′(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等) , ∵點(diǎn)C在∠BHD的內(nèi)部, ∴點(diǎn)C在∠BHD的角平分線上(在角的內(nèi)部, 到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上) ,∴HC是∠BHD的角平分線, ∵∠BHD= 120°(前面已證) , ∴∠BHC= ∠DHC= 60°, ∵DK//CH, ∴∠BHC=∠HKD= 60°,∵∠KHD= ∠AHB= 60°,∴ΔDHK是等邊三角形,∴DK=DH=HK,∵DK//CH,∴

例5如圖6,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,點(diǎn)C是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)C不與點(diǎn)B、D重合, 求證:

分析應(yīng)用A 字型基本圖形,得出比例,再應(yīng)用等量代換,即可破題.

證明∵NC//AB,∴ΔDNC～ΔDAB,∴∴(DC+CB)NC=AB·DC,∵DC+CB ／= 0, ∴NC=∵NC ／= 0,AB · DC ／= 0,

例6如圖7,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,點(diǎn)C是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)C不與點(diǎn)B、D重合, 求證:BH ·BE=BC·BD.

分析把等積式BH ·BE=BC ·BD轉(zhuǎn)化為比例式再證明ΔBHC～ΔBDE,即可破題.

證明∵∠BHC= ∠BDE= 60°(由前面問題4 可知) , 在ΔBHC和ΔBDE中, ∵∴ΔBHC～ΔBDE,∴,∴BH·BE=BC·BD.

3 原題延伸

例7如圖8,ΔABC和ΔECD都是等邊三角形,點(diǎn)C是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C不與點(diǎn)B、D重合,以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,把ΔACD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到ΔDEA′,連接AA′,AE,請(qǐng)你觀察、想象、合情推理四邊形ABEA′是否為特殊四邊形,如果是,請(qǐng)說明理由.

四邊形ABEA′是平行四邊形.

證明∵ΔDEA′是由ΔDCA旋轉(zhuǎn)得到的,∴ ΔDEA′～= ΔDCA, ∴A′E=AC=AB, ∵DA=DA′(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等),∴∠ADA′= 60°,∴ΔADA′是等邊三角形,∴AA′=AD,∵ΔACD～= ΔBCE(已證),∴AD=BE,∴AA′=BE,∴四邊形ABEA′是平行四邊形.

例8如圖8, 在上題條件下, 在等邊ΔADA′中,若∠AED=∠DEA′=∠AEA′= 120°, 點(diǎn)E就是等 邊ΔADA′的“費(fèi)馬點(diǎn)”,請(qǐng)完成下列問題:

(1)當(dāng)點(diǎn)E是等邊ΔADA′的“費(fèi)馬點(diǎn)”時(shí),動(dòng)點(diǎn)C在線段BD的什么位置? 請(qǐng)說明理由.(2)當(dāng)點(diǎn)E是等邊ΔADA′的“費(fèi)馬點(diǎn)”時(shí),請(qǐng)證明EA+ED+EA′的和最小,并求出其最小值.

大概方法如下:

(1)動(dòng)點(diǎn)C在線段BD的中點(diǎn).

證明∵點(diǎn)E是等邊ΔADA′的“費(fèi)馬點(diǎn)”,∴∠AED=∠DEA′= ∠AEA′= 120°, 在ΔAED中, ∵∠AED=120°, ∴∠EAD+ ∠ADE= 60°, ∵∠EAD+∠EAA′=60°∴∠ADE= ∠EAA′,∠EAD= ∠AA′E, 在ΔAED和 ΔA′EA中, ∵∴ΔAED～= ΔA′EA(ASA) , ∴AE=A′E, ∴ ∠EAA′=∠AA′E= 30°∴ ∠EAA′= ∠AA′E= ∠EA′D=∠EDA′= ∠EDA= ∠DAE= 30°, ∴∠ADB= 30°,∵∠ABD= 60°,∴∠DAB= 90°,∴AB=BC=,∴點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn).

(2) 證明: 把ΔDEA′以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到ΔDFB′,連接EF, ∵ΔDFB′是ΔDEA′旋轉(zhuǎn)得到的,∴ ΔDFB′～= ΔDEA′, ∴DE=DF,A′E=FB′,∵∠EDF=60°,∴ΔDEF是等邊三角形,∵∠AED=∠AEA′=∠A′ED=∠DFB′=120°,∴∠AED+∠DEF=∠DFE+∠DFB′=180°,∴點(diǎn)A、E、F、B′四點(diǎn)共線,∴AE+DE+A′E=AE+EF+FB′=AB′.

設(shè)點(diǎn)E′是等邊ΔADA′內(nèi)任意一點(diǎn),連接AE′,DE′,A′E′,以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,把ΔDE′A′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°, 得到ΔDF′B′,∵ΔDF′B′是ΔDE′A′旋轉(zhuǎn)得到的,∴ΔDF′B′～= ΔDE′A′, ∴DE′=DF′,A′E′=B′F′, ∵∠E′DF′= 60°,∴ΔDE′F′是等邊三角形,∴E′F′=DE′,∴AE′+DE′+A′E′=AE′+E′F′+F′B′ ＞AB′(兩點(diǎn)之間線段最短),∵∠ECD=∠ABC=60°,∴EC//AB,∵C為線段BD的中點(diǎn), ∴ΔABC～= ΔECD, ∴EC=AB,∴四邊形ABCE是平行四邊形, ∵AB=BC, ∴四邊形ABCE是菱形, ∴AE=A′E=DE=AB=∴AE+DE+A′E=AB′的最小值為

4 小結(jié)

教材原題都是經(jīng)過編寫者精心篩選的,不少原題內(nèi)涵豐富,具有很強(qiáng)的教育教學(xué)功能,所以在復(fù)習(xí)中要立足教材,挖掘教材,開發(fā)教材,充分發(fā)揮原題的潛能,以一題帶一片,既有利于知識(shí)整合,又有利于培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力.回歸課本,摒棄題海戰(zhàn)術(shù),定能收到事半功倍的效果.