廣東省廣州市白云廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510430) 袁 宏

廣東省廣州市民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院(510403) 李宗濤

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,函數(shù)這個(gè)模塊是非常重要的一部分知識(shí),之所以重要是因?yàn)檫@個(gè)知識(shí)點(diǎn)也最好的彰顯數(shù)學(xué)“以形表數(shù),以數(shù)釋形”數(shù)形結(jié)合的思想.對(duì)于二次函數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中,我們是要教會(huì)學(xué)生會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的圖像,提取相關(guān)信息,從而解決相關(guān)的問題.在這些相關(guān)的問題中,二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有關(guān)的代數(shù)式問題是各地中考的熱點(diǎn)之一,往往在各地的中考中常常作為選擇題或是填空題的壓軸題的形式出現(xiàn).

例如: 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a ／= 0)的圖象如圖所示,通過圖象觀察下面的式子哪些是正確的? (天津市中考題)

(1)b ＜a+c; (2) 4a+ 2b+c ＞0; (3) 2c ＜3b; (4)a+b+c ＞m(am+b)+c(m／=1).

由圖象可以提取信息: 拋物線的開口向下, 此時(shí)拋物線有最大值; 對(duì)稱軸為直線x= 1; 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)介于－1 和0 之間,另一個(gè)介于2 和3 之間; 拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸上.

在拋物線的學(xué)習(xí)探究中我們已經(jīng)熟知拋物線的開口方向和開口大小、最值、對(duì)稱軸及其和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等這些知識(shí)都和二次函數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)有密切的關(guān)系.開口方向決定a的符號(hào),開口向上?a ＞0,開口向下?a ＜0;開口大小由|a|決定,開口越大?|a|越小,開口越小?|a|越大;對(duì)稱軸的位置由a,b共同決定,即對(duì)稱軸為直線圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就為常數(shù)項(xiàng)c;拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與相對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a ／= 0)的根的判別式息息相關(guān),即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?Δ＞0,拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)?Δ = 0,拋物線與x軸無交點(diǎn)?Δ＜0.也就是說,我們可以把圖象中反映出來的信息可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)之間的一些代數(shù)關(guān)系式,這樣就可以達(dá)到由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

由以上知識(shí)儲(chǔ)備, 對(duì)于天津市的這道中考題, 我們就可以解決.對(duì)于第(1)b ＜a+c和第(2) 4a+2b+c ＞0這兩個(gè)式子的判斷, 可以采用賦值法來解決.賦值法即指把一些特殊值代入函數(shù)解析式中, 根據(jù)圖象觀察當(dāng)x取這些特殊值時(shí), 對(duì)應(yīng)的y的取值.賦值法是數(shù)學(xué)中, 由“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn).所以, 對(duì)于(1) 式, 可以變形為a － b+c ＞0, 對(duì)比一次項(xiàng)的系數(shù)為－b, 賦給x=－1 這個(gè)數(shù)值, 這樣y=a－b+c, 對(duì)照?qǐng)D象可以看出當(dāng)x=－1 時(shí),y ＜0, 因此式子(1)b ＜a+c是錯(cuò)誤的結(jié)論.同理, 當(dāng)x= 2 時(shí),y= 4a+2b+c, 由圖象可得, 當(dāng)x= 2 時(shí),y ＞0, 因此式子(2) 是正確的.對(duì)于(4) 的判斷,需要對(duì)不等式右邊的式子做一下變形, 利用乘法分配律得,m(am+b)+c=am2+bm+c,此式子可以利用賦值法得到,顯然,當(dāng)x=m時(shí)y=am2+bm+c,又由圖象可以提取到的信息,拋物線有最高點(diǎn),即二次函數(shù)有最大值,當(dāng)x= 1時(shí),ymax=a+b+c.

對(duì)于(1)(2)(4)三式的共同特點(diǎn): 這些式子是判斷的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)這三者的關(guān)系,對(duì)于此類題目的判斷利用賦值法是比較容易判斷出來.學(xué)生感覺困難的是(3)2c ＜3b這種類型的題目, 此類題目的共同特點(diǎn): 題目是二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)這三者中的任意兩者組合的關(guān)系,這個(gè)關(guān)系可以是相等關(guān)系也可以是不等關(guān)系.比如此題的(3)式是判斷的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間的不等關(guān)系.學(xué)生在處理這類問題時(shí)往往是多次試探,把各種關(guān)系綜合應(yīng)用,最終推出結(jié)論.為了避免學(xué)生在解決這類問題時(shí)的盲目性,我們可以找出這類問題的通解——利用賦值法來解決.

接下來詳細(xì)介紹用賦值法判斷(3) 式是否正確.首先(3) 式可以變?yōu)?c－3b ＜0, 由賦值法可以看到, 無論賦給變量x什么數(shù)值, 函數(shù)值中c的系數(shù)都是1, 所以把2c－3b ＜0 式中c的系數(shù)化為1, 得到式所以要判斷(3) 式是否成立, 需要判斷式是否成立即可.式子中只含有c,b兩個(gè)系數(shù), 若是想用賦值法來解,少了系數(shù)a,如何補(bǔ)上系數(shù)a,這需要借助對(duì)稱軸得到a,b之間的關(guān)系, 由圖象可得對(duì)稱軸為直線x= 1, 再由一般形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a ／= 0) 的對(duì)稱軸為直線得到所以式子判斷是否成立,只需要判斷a－b+c ＜0 是否成立即可.由賦值法容易看出,當(dāng)x=－1 時(shí),y=a－b+c,并且由給出二次函數(shù)的圖象得到,當(dāng)x=－1 時(shí),y ＜0.所以a－b+c ＜0,這樣得到(3)2c ＜3b正確.由以上的解答過程,可以看到賦值法是可以解決二次函數(shù)中和各項(xiàng)系數(shù)相關(guān)的代數(shù)式的比較好的方法.接下來,用賦值法來解下面問題.

(15年烏魯木齊市中考題)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a ／= 0)的對(duì)稱軸是x=－1,且過點(diǎn)判斷下列結(jié)論是否正確?

(1)a+2b+4c=0;(2)25a－10b+4c=0;(3)3b+2c ＞0.

由圖象可得以下信息,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=－1,即同時(shí)拋物線過點(diǎn)可以得到拋物線過另一點(diǎn)即當(dāng)c=0;當(dāng)

由上面題目的分析,利用賦值法解決這類問題關(guān)鍵是無論賦給x什么值,c的系數(shù)都是1,所以對(duì)于(1)、(2)式,需要做的是先把c的系數(shù)化為1,所以(1)式(2)式可以變形為:

(1)a+2b+4c=+c=0,(2)25a－10b+4c=

由b的系數(shù)可得, (1) 式即為當(dāng)時(shí), 對(duì)應(yīng)函數(shù)值

對(duì)于(3)3b+2c ＞0 的判斷利用賦值法就比較容易解決了.把(3) 式c的系數(shù)變?yōu)?, (3) 式變形為要想判斷+c ＞0, 利用上面的分析對(duì)稱軸得到的a,b的關(guān)系得到得到+b+c=a+b+c,而此式正是當(dāng)x=1 時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,由圖象可知當(dāng)x=1 時(shí)y ＜0,所以a+b+c ＜0,即所以(3)3b+2c ＞0 是錯(cuò)誤的.

由以上兩題可以看出來,對(duì)于二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系式的相關(guān)問題,采用賦值法這種通解的方法來完成,是非常高效的方法.