廣東省化州市第四中學(525100) 呂明勇

筆者以一道習題為例,依托學生現在的知識結構,通過多角度分析,從解題探究發(fā)展為解題策略探究,構建知識網絡,從而促進學生自身數學解題能力深入發(fā)展,培養(yǎng)學生的高階思維能力和實踐應用能力.

1 題目呈現

如圖, 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC, ∠C= 90°, 點P為線段AC的中點, 連結PB,PD, 若∠BPD=45°,CD=2,求CP的長.

思路分析: 此題的背景是在等腰直角三角形中,含有90°和45°,是“倍半角”關系;故可以從兩個特殊角出發(fā),尋求問題解決的方法.從幾何角度,可以利用45°角構造“一線三等角”相似,或者添加一條垂線,構造兩個“手拉手”模型相似的直角三角形,也可以通過添加平行線構造相似三角形,從代數角度,容易聯(lián)想到利用建立直角坐標系用直線斜率公式或三角函數或三角形面積公式來解決問題.

2 教學過程簡錄

學生1: 勾股定理, 如圖1, 過點D作DE ⊥BP交BP于點E, 設CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:已知CD=2,在RtΔCDP中,DP=∵ ∠BPD= 45°, ∴DE=PE=在RtΔBDE中,由勾股定理得:DE2+BE2=BD2,即:=(2x－2)2.解得x1=6,x2=

學生2: 勾股定理+相似,如圖1,過點D作DE ⊥BP交BP于點E, 易證ΔBDE～ ΔBPC, 設CP=x,∴BC= 2x, 由勾股定理得:BP=已知CD= 2,在RtΔCDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=PE=∵ΔBDE～ΔBPC,∴∴解得x1=6,x2=

在上述兩種方法后,教師帶領學生思考這方法是如何想到的? 因為∠BPD= 45°,所以想到作垂線構造等腰直角三角形,利用勾股定理可解題.方法1 要求學生運算能力比較強.

觀察圖形,不難發(fā)現,里面有不少基本相似圖形,所以我引導學生從基本圖形入手探尋相似三角形解題.

學生3:“X”字模型相似,如圖2,過點B作BE ⊥PD于PD的延長線于點E,由“X”字模型易證ΔPCD～ΔBED,設CP=x, ∴BC= 2x,DP=由勾股定理得:BP=∵∠BPD= 45°,∠E= 90°,∴ΔPBE是等腰直角三角形,∴BE=PE=,∵ΔPCD～ΔBED,∴解得x1= 6,

學生4: “手拉手”模型相似, 如圖3, 過點P作PE ⊥AB交AB于點E, 易得ΔAPE是等腰直角三角形,∴∠APE= 45°= ∠BPD,∴∠CPD+∠BPE= 90°.又∵∠BPE+ ∠EBP= 90°, ∴∠CPD= ∠EBP, 易證ΔPCD～ΔBEP.設CP=x, ∴AP=x,BC= 2x,BP=∴AE=PE=∵ΔPCD～ΔBEP, ∴解得x1=6,x2=－6(舍).

學生5: 相似, 如圖4, 過點D作DE//AC交BP于點E, 易證ΔDEP～ΔBPA.設CP=x, ∴BC= 2x,∵DE//AC,∴DE=x －1,∵ΔDEP～ΔBPA, ∴=解得x1=6,x2=

在上述三種方法呈現后,教師引導學生思考在構造直角三角形后又是如何想到接下去的操作呢? 這三位學生一致指出根據條件可獲得角度相等(即“導角”、“AA”型相似),學生4、學生5 兩人構造“手拉手”相似模型.根據已有一角相等(圖3 直角相等,圖4 含45°角相等,再尋找另一角相等;這是相似最常用的證明方法.由此積累添加輔助線構造不同的圖形的解題經驗,體驗不同方向構造相似圖形的方法.

學生6: “一線三等角”相似, 如圖5, 反向延長AC到點E, 使CE=CD= 2, 所以ΔCDE是等腰直角三角形, ∴∠E= 45°, ∴∠A= ∠BPD= ∠E= 45°.運用“一線三等角”模型易證: ΔDEP～ ΔPAB.設CP=x, ∴PE=x+ 2,AB=∵ΔDEP～ΔPAB, ∴解得x=6.

這位同學指出,“一線三等角”是相似的常用方法,因為AC所在的直線上已有兩個角是45°,只要構造一個45°角就能成為“一線三等角”相似模型,所以想到構造等腰直角三角形CDE,順利找到解題突破口.

學生7: 三角函數,如圖6,過點P作PE//BC,過點B作BE ⊥PE于點E,構造矩形BCPE,已知∠BPD=45°,∴∠1+∠2=45°.設CP=x,∴BC=2x,∵BE=CP=x,PE=BC= 2x,∴tan ∠1 =∵tan(∠1+∠2)=tan 45°=1,解得x=6.

第7 位同學指出,前面幾種方法從相似的角度來解決的,能用相似來解決的問題也可以用銳角三角函數來解決,所以求CP的長可以采用銳角三角函數的思路來搭建橋梁.

學生8: 建直角坐標系, 如圖7, 以點C為坐標原點,CB所在直線為橫軸,AC所在直線為縱軸建立直角坐標系,設CP=n,則CB= 2n,所以點坐標:C(0,0),P(0,n),B(2n,0),D(2,0), ∴yP D=tan ∠BDP= tan 45°= 1 是直線PB,PD夾角的正切值,=tan 45°=1,解得n=6.

第8 位同學指出,建系根據已知條件求出直線PB,PD的關系式,然后用正切和差公式解題,解析幾何真正實現幾何方法與代數方法的結合,坐標系則是溝通幾何代數的橋梁,如果在結合證明中一籌莫展的時候建系用解析法也是一種不錯的選擇.

學生9: 面積法, 如圖1, 在學生1 的基礎上解答, 設CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:CP=已知CD=2,在Rt ΔBDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=∵SΔBDP==解得

學生10: 面積法, 設CP=x,BC= 2x,BP=DP=SΔBDP=|BD|·|PC|=sin ∠BPD,(2x－2)·x=·sin 45, 解得x1=6,x2=

以上兩位同學指出, 因為ΔBDP是含45°的特點, 構造ΔBDP面積的不同表達方法, 融數的形式在幾何特征的圖形中, 設CP的長度為x, 用含x的代數式分別表示BD,DP,BP的長度,用不同的方法表示ΔBDP的面積,建立方程計算解決問題.

在這些方法呈現之后,教師指出簡捷、巧妙的解法7 與解法8 關鍵在于轉化,注重目標引領,加強理性探索.當然,目標的選擇與確定要自然、合理;目標的轉化與分解要適時、果斷;目標的實現與達成要理性、靈活.同時帶領學生感悟解決這個問題的主要思想方法有哪些? 遇到45°角問題一般有哪些思考方法? 基本圖形對解題思路的形成起到怎樣的作用? 可如何變更條件與結論得到類似的“倍半角”問題?

3 類題遷移

3.1 如圖8, 在ΔABC中, ∠A= ∠B= 30°,AC= 8,AD= 3BD, 若∠FDE= 60°, ∠FDE的兩邊分別與BC,AC交于點F、點E,則線段EF的最小值是____.

解: 如圖9,因為ΔABC中,∠A= ∠B= 30°,AC= 8,AD= 3BD, 易求BD=過點D分別作DG ⊥BC,交BC于點G,DH ⊥AC,交AC的延長線于點H.∵∠A= ∠B= 30°, ∠BGD= ∠DHE= 90°,∴ ∠BDG= ∠ADH= 60°, ∴ ∠GDH= 60°, 易得DG=∵∠EDH+∠HDF= ∠EDF=∠GDH= ∠GDF+ ∠HDF, ∴ ∠EDH= ∠GDF, ∴ΔDHE～ ΔDGF, ∴設DF=x,DE= 3x,EF=(ΔDEF已知兩邊及夾角是60°,過點F作DE垂線,用勾股定理可求EF長).當DF=DG=時,EF有最小值為

這一解法與學生4 方法一致,都是構造“手拉手”模型解答.這是因為題目中都含“倍半角”條件;這是運用模型巧解“倍半角”題的通法.

3.2 如圖10, 在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=BD,∠ABD==40°,求∠BDC的度數?

解: 如圖11,反向延長DA使AE=AC,∵AB=AD,∴∠ADB= ∠ABD= 40°, ∠BAD= 100°, ∴∠BAE=80°= ∠BAC,AB=AB,∴ΔBAC～= ΔBAE,∴BC=BE=BD,∴∠E=∠ADB=40°,∴∠ACB=∠E=40°,∴ ∠ABC= 180° －40° －80°= 60°, ∴ ∠CBD=∠ABC－∠ABD=60°－40°=20°,∴∠BDC=80°.

這一解法是利用80°與40°倍半角關系構造全等三角形,通過巧妙導角來解答.

3.3 (3.2)變式題: 如圖10,在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=BD,若∠ABD==α,求∠BDC的度數? (用含α的式子表示)

在類題遷移中,都含有“倍半角”關系,如果學生熟練掌握例題中基本幾何圖形的性質,內化為自身的幾何素養(yǎng),在解決相關數學問題時, 就能準確找到與之對應的幾何模型,然后采取行之有效的解題方法與策略,合理使用幾何模型能使原本復雜的問題變得簡單,使學生少走彎路,從而提高學生分析問題和解決問題的能力.

4 拓展小結

求線段長度的通法: ①、勾股定理.②、相似或全等.③、解直角三角形.④、建直角坐標系,兩點間距離.⑤、等面積法.⑥、四點共圓托勒密定理.

章建躍博士在《圖形的變化》的數學思維方式中指出:“幾何就是要研究和理解幾何圖形的本質和結構,研究結果:幾何圖形的定性性質與定量性質”,把定性的結果變成定量的結果,把存在的東西具體表現出來,這是數學的基本追求.

三角形中二倍角問題輔助線常見處理有4 種方法:

5 結束語

習題教學要盡力做到3 個“堅持”——堅持以知識轉化為思路引領;堅持以“怎樣做、怎么想到這樣做和同一類型還可怎么做”三步曲為操作模式; 堅持以“培養(yǎng)學生分析問題能力”為解題宗旨.習題教學的過程是一種研究的過程,不僅要尋找解題方法, 還要洞察命題意圖、試題背景, 指向與發(fā)展,并通過解題研究與反思,提煉出這一類問題的常用解題方法和技能技巧, 及時歸納和梳理題目中包含的基本數學模型,優(yōu)化思維路徑,最終轉化為學生已知的知識與活動經驗去解決問題,真正做到從“教教材”到“用教材教”的轉變;其次,通過學生親身經歷詳細解一題,結合同類試題的舉一反三,在主動探究和問題解決的體驗中,在方法的碰撞和對比中,收獲知識方法,逐步提高分析、綜合、抽象、概括和運用轉化遷移的思想解決問題的能力,形成良好的思維習慣,全面提高學生的思維品質.