江蘇省海門(mén)中學(xué)(226100) 徐巧石

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的根本,是教師的教學(xué)依據(jù).在平常的教學(xué)中,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本例習(xí)題進(jìn)行探究,挖掘題目背后的作用.筆者通過(guò)對(duì)課本中的一道習(xí)題的變式拓展、延伸發(fā)散,試圖說(shuō)明如何對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行探究.

1 問(wèn)題提出

蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修四第50 頁(yè)有一道題: 一鐵棒欲通過(guò)如圖1 所示的直角走廊,試回答下列問(wèn)題: (1)證明棒長(zhǎng)L(θ) =; (2)求L(θ)的最小值(用計(jì)算器或計(jì)算機(jī));(3)解釋(2)中所求得的L是能通過(guò)這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值.

圖1

2 問(wèn)題一般化

一根長(zhǎng)為l米的鐵棒(厚度忽略不計(jì))欲通過(guò)如圖2 所示的直角走廊, 其中, 走廊兩個(gè)走向的寬度分別為a米和b米.如圖2, 設(shè)點(diǎn)A,B在走廊的壁上,AB經(jīng)過(guò)走廊角頂點(diǎn)C,AB與走廊一壁的夾角為θ,則AC=AB=鐵棒要通過(guò)走廊需滿足l≤AB對(duì)0＜θ ＜恒成立,令f(θ)=

情形1: 若a=b, 即走廊兩個(gè)走向的寬度相等時(shí),f(θ) =令t= sinθ+ cosθ,則令當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以f(θ)min=所以所以鐵棒欲通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為米.

情形2: 若a／=b,即走廊兩個(gè)走向的寬度不相等時(shí),由

3 問(wèn)題的探究

思考方向一保持走廊形狀不變,改變鐵棒的形狀.

探究1將直的鐵棒變?yōu)閺澋蔫F棒情況如何?

如圖3.1.1 彎形鐵棒A′B′C′D′(厚度忽略不計(jì)) , 其中A′B′=C′D′= 1,B′C′=l,∠A′B′C′= ∠B′C′D′=現(xiàn)彎形鐵棒欲通過(guò)如圖所示的直角走廊,走廊兩個(gè)走向的寬度分別為a米和b米.

情形1: 按圖3.1.2 所示方式通過(guò), 設(shè)點(diǎn)A,D在走廊的壁上,AB=CD= 1, ∠ABC= ∠BCD=,BC經(jīng)過(guò)走廊的直角頂點(diǎn)H, 延長(zhǎng)BC交走廊兩壁分別于E,F, 設(shè)∠GEF=θ, 則EF=在ΔAEB中, 由正弦定理得, 所以BE=同理在ΔFCD中可得FC=所以BC+－,BC=取a=b時(shí),f(θ) =令t=sinθ+cosθ,則t=sinθcosθ=,令令

當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取等號(hào), 所以BCmin=所以此時(shí)鐵棒欲通過(guò)直角走廊的BC最大長(zhǎng)度為

情形2: 按圖3.1.3 所示方式通過(guò), 在ΔAEB中, 由正弦定理得所 以BE=同理在ΔCDF中所 以所以令f(θ) =,θ ∈取a=b時(shí),f(θ) =令t= sinθ+ cosθ, 則sinθcosθ=,f(θ) =令m=2at－1∈(2a－1,－1],令

當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取等號(hào), 所以所以所以此時(shí)鐵棒欲通過(guò)直角走廊的BC最大長(zhǎng)度為米.

綜上所述,彎形鐵棒通過(guò)直角走廊按圖3.1.2 所示方式通過(guò)l的最大長(zhǎng)度為

圖3.1.1

圖3.1.2

圖3.1.3

探究2將鐵棒變?yōu)閷挾葹? 的矩形平板小車,通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為多少?

如圖3.2.1 一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車, 其平板面為矩形A′B′C′D′, 其寬A′B′= 1 米, 長(zhǎng)B′C′=l米.現(xiàn)平板車欲通過(guò)直角走廊, 走廊兩個(gè)走向的寬度分別為a米和b米.如圖3.2.2 矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D在走廊的壁上,AB=CD= 1 米,BC經(jīng)過(guò)走廊的頂點(diǎn)H, 延長(zhǎng)BC分別交走廊的兩壁于E,F, 設(shè)∠AEF=θ, 則在ΔABE中,在ΔDCF中,所 以所以令特別地, 取a=b時(shí), 令t= sinθ+ cosθ, 則t=sin(θ+)∈(1,sinθcosθ=令m= 2at －1∈令

當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取等號(hào), 所以BCmin=所以所以平板小車欲通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為米.

圖3.2.1

圖3.2.2

圖3.3.1

圖3.3.2

探究3若平板小車變?yōu)槿鐖D3.3.1 兩端為半圓形的小車,通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為多少?

如圖3.3.1 一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車, 其平板面為矩形A′B′C′D′與兩個(gè)半圓弧組成,半圓直徑A′B′=C′D′= 1米, 長(zhǎng)B′C′=l米.現(xiàn)平板車欲通過(guò)直角走廊, 走廊兩個(gè)走向的寬度分別為a米和b米.如圖3.3.2 半圓O,O′分別于直角走廊壁切于點(diǎn)G,T,AB=CD= 1 米,BC經(jīng)過(guò)走廊的頂點(diǎn)H, 延長(zhǎng)BC分別交走廊的兩壁于E,F, 設(shè)∠GEF=θ, 則在ΔOBE中,BE=在ΔO′CF中,CF=因?yàn)镋F=所以BC+所以BC=,取a=b時(shí),BC=同理探究2 可得BC的最小值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以所以平板小車欲通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為米.

思索方向二: 改變走廊形狀

探究4將直角走廊變?yōu)榉侵苯亲呃?通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為多少?

一根長(zhǎng)為l米的鐵棒(厚度忽略不計(jì)) 欲通過(guò)如圖3.4所示的走廊, 其中, 走廊轉(zhuǎn)角處的角度為α(0＜α ＜π),走廊兩個(gè)走向的寬度分別為a米和b米.如圖, 設(shè)點(diǎn)A,B在走廊的壁上,AB經(jīng)過(guò)走廊角頂點(diǎn)C,AB與走廊一壁的夾角為θ, 則AC=鐵棒要通過(guò)走廊需滿足l≤AB對(duì)0＜θ ＜π － α恒成立, 令當(dāng)a=b時(shí),

圖3.4

令t=所以BC=當(dāng)t= 1, 即時(shí),BC有最小值所以鐵棒欲通過(guò)直角走廊的最大長(zhǎng)度為米.當(dāng)a ／=b時(shí),可利用導(dǎo)數(shù)求相應(yīng)的最小值.

探究5將直角走廊變?yōu)閳A角走廊,通過(guò)走廊的鐵棒的最大長(zhǎng)度為多少?

一根長(zhǎng)為l米的鐵棒(厚度忽略不計(jì))欲通過(guò)如圖3.5.1所示的走廊, 其中, 走廊轉(zhuǎn)角處的內(nèi)壁與外壁均為半徑為R的圓弧, 走廊兩個(gè)走向的寬度分別為a米和b米.如圖3.5.2, 設(shè)點(diǎn)A,B在走廊的壁上, 經(jīng)AB與走廊內(nèi)壁圓弧切于點(diǎn)H,AB與走廊一壁的夾角為θ, 延長(zhǎng)OQ交走廊壁與點(diǎn)T, 交AB于S, 過(guò)點(diǎn)A作PO的平行線交QO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M, 則TS=OT－OS=a+R－,在RtΔBTS中,BS=所以

鐵棒要通過(guò)走廊需滿足l≤AB對(duì)0＜θ ＜恒成立, 令特別地當(dāng)a=b時(shí),令則BC=令則所以

圖3.5.1

圖3.5.2

思索方向三改變?cè)O(shè)問(wèn)方式

探究6(1)已知鐵棒的長(zhǎng)度l,求等寬走廊的寬至少為多少,鐵棒能夠通過(guò)走廊?

由2 問(wèn)題的一般化可知, 當(dāng)a=b, 即走廊兩個(gè)走向的寬度相等時(shí),令t=sinθ+cosθ,則則l≤對(duì)恒成立, 令g(t) =, 在上單調(diào)遞增, 所以所以a≥所以等寬走廊的寬至少為米時(shí),鐵棒能夠通過(guò)走廊.

(2)已知鐵棒的長(zhǎng)度l與走廊一邊的寬度b(l ＞b),當(dāng)鐵棒能夠通過(guò)走廊時(shí),求另一邊寬a的最小值.

由2 問(wèn)題的一般化可知l≤令h(θ) =lcosθ－則

令h′(θ) = 0,則sinθ=設(shè)sinθ0=當(dāng)θ ∈(0,θ0)時(shí),sinθ ＜所以h(θ)在(0,θ0)上單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí), sinθ ＞,h′(θ)＜0, 所以h(θ) 在上單調(diào)遞減, 所以h(θ)max=lcosθ0－所以a≥h(θ0).即鐵棒能通過(guò)直角走廊時(shí),走廊另一走向的寬度的最小值為h(θ0)米.

4 結(jié)語(yǔ)

教師的教學(xué)根本是教材,在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)該深度挖掘例習(xí)題的作用與編者的用意.通過(guò)對(duì)習(xí)題的探究,培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí),養(yǎng)成探究的習(xí)慣,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思維解決問(wèn)題,真正的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).