何德林
摘 要:三角函數(shù)解答題是初中畢業(yè)升學(xué)考試必考題目,從兩方面闡述解答策略,第一,如何有效添加輔助線;第二,解題思路。
關(guān)鍵詞:輔助線;轉(zhuǎn)化思想;方程思想
銳角三角函數(shù)解答題部分是近幾年初中畢業(yè)升學(xué)考試數(shù)學(xué)科必考題目,每年都有一個解答題,它所處的位置是全卷的第21題或第22題,解答題部分的第3題或第4題,分值為10分或12分,難度屬于基礎(chǔ)題,但很多學(xué)生不會做,根本不知道從什么地方著手,特別題目中已知的某邊或某幾邊的值不能直接轉(zhuǎn)化在直角三角形中,也不知道怎樣設(shè)未知數(shù),如何找等量關(guān)系,如何建立方程,下面談?wù)剬Υ祟愵}的幾點想法。
一、如何有效添加輔助線是能否解答這類題型的前提
首先,我們要知道如何添加輔助線,通常有兩種方法:過某點作某邊的平行線或垂線。
其次是添加輔助線的目的:構(gòu)造與已知條件(包括圖形中的角和邊)有關(guān)的三角形(大部分是直角三角形)或矩形。
如遵義2016年21題:某新農(nóng)村樂園設(shè)置了一個秋千場所,如圖1所示,秋千拉繩OB的長為3m,靜止時,踏板到地面距離BD的長為0.6m(踏板厚度忽略不計)。為安全起見,樂園管理處規(guī)定:兒童的“安全高度”為hm,成人的“安全高度”為2m。(計算結(jié)果精確到0.1m)
(1)當(dāng)擺繩OA與OB成45°夾角時,恰為兒童的安全高度,則h=1.5m。
(2)某成人在玩秋千時,擺繩OC與OB的最大夾角為55°,問此人是否安全?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
分析:過A點作AN⊥DO于N,過C點作CE⊥DO于E,過C點作CM⊥DF于M,則有CM=ED。
二、解題思路
這種類型的題只有兩種類型:即兩種解題思路。
首先,題目中已知的某邊或某幾邊的值可以直接轉(zhuǎn)化在直角三角形中,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的關(guān)系可以直接求出相應(yīng)值.
如遵義2014年21題:如圖2所示,一樓房后有一假山,其坡度為:i=1∶,山坡坡面上E點處有一休息亭,測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米,與亭子距離CE=20米。小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°,求樓房AB的高。(注:坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)
分析:題目中CE=20m為已知值,通過作EF⊥BC于CF,作AG∥BC,交FE的延長線于點G,可以將CE直接轉(zhuǎn)化在Rt△CEF中,從而直接求出相應(yīng)值。
解:過E作EF⊥BC于F,過A作AG∥BC,交FE的延長線于G點
由題意可知:tan∠ECF=i===,
∴∠ECF=30° ?設(shè)EF=x
∴2x=20 ∴x=10 ∴EF=10,CF=10
由四邊形ABFG是矩形可得
AG=BF=BC+CF=25+10,AB=GF
在Rt△AGE中,EG=AG·tan∠GAE=(25+10)×1=25+10
∴AB=GF=EG+EF=(35+10)(米)
其次,題目中已知的某邊或某幾邊的值不能直接轉(zhuǎn)化在直角三角形中,這時需要設(shè)未知數(shù),用方程的思想解答。而設(shè)未知數(shù)的技巧性非常高,優(yōu)先考慮設(shè)45°或30°角所對的直角邊為未知數(shù),其主要目的是便于用所設(shè)未知數(shù)表示其他邊,再利用另外的一個已知角的銳角三角函數(shù)建立方程,從而求出相應(yīng)值。
如遵義2015年第21題:如圖3是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的滑梯平面圖.已知BC=4米,AB=6米,中間平臺寬度DE=1米,EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N、M、B,∠EAB=31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°。求DM和BC的水平距離BM的長度。(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
分析:題目中DE=1,BC=4,AB=6為已知值,但不能將DE,BC,AB直接轉(zhuǎn)化在直角三角形中,因此學(xué)生不知道從什么地方著手,這時需要設(shè)未知數(shù),并用所設(shè)未知數(shù)表示其他邊,再利用另外的一個已知角的銳角三角函數(shù)建立方程,用方程的思想解答,從而求出相應(yīng)值。
解:設(shè)BM=x米
∵∠CDF=45°,∠CFD=90°,∴CF=DF=x米,
∴BF=BC-CF=(4-x)米 ∴EN=DM=BF=(4-x)米
∵AB=6米,DE=1米,BM=DF=x米,
∴AN=AB-MN-BM=(5-x)米
在△AEN中,∠ANE=90°,∠EAN=31°,
∴tan31°===0.6
即4-x=(5-x)×0.6 ? ?∴x=2.5
答:DM和BC的水平距離BM的長度為2.5米。
解答任何問題,關(guān)鍵都在于找準(zhǔn)方法,掌握技巧。同學(xué)們通過本課的學(xué)習(xí),會發(fā)現(xiàn),只要我們掌握了如何有效添加輔助線,將已知條件轉(zhuǎn)化在直角三角形或矩形或梯形中,再恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù),建立方程,從而就能有效解答銳角三角函數(shù)有關(guān)的解答題。
參考文獻:
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