岳增成，沈中宇，王 鑫，鄒佳晨

影響小學(xué)數(shù)學(xué)教師HPM實(shí)踐的敘事研究

岳增成1，沈中宇2，王 鑫3，鄒佳晨4

（1．杭州師范大學(xué) 教育學(xué)院，浙江 杭州 311121；2．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；3．成都市樹德中學(xué)，四川 成都 610031；4．華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，上海 200062）

鑒于目前國(guó)內(nèi)外對(duì)影響HPM實(shí)踐因素研究的匱乏，出于有針對(duì)性地改善教師HPM實(shí)踐，助力他們專業(yè)發(fā)展的目的，主要采用敘事研究的方法，從系統(tǒng)、動(dòng)態(tài)的視角對(duì)影響個(gè)案教師HPM實(shí)踐的因素進(jìn)行考察．發(fā)現(xiàn)：隨著HPM課例開發(fā)的推進(jìn)，影響教師HPM實(shí)踐的內(nèi)、外部因素發(fā)生了變化，且不同時(shí)段，內(nèi)、外部因素的影響力有所不同．

HPM；課例開發(fā)；影響因素；敘事研究

1 問題提出

隨著HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）的快速發(fā)展以及HPM在學(xué)生學(xué)習(xí)、教師專業(yè)發(fā)展方面價(jià)值的展現(xiàn)，HPM受到了越來(lái)越多的關(guān)注，比如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)文化滲透的重視，教育期刊中HPM研究的增多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2010年后載文下載頻次前20的載文中，就有6篇與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用有關(guān)[1]．近年來(lái)，隨著“立德樹人”教育根本任務(wù)的提出與對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的關(guān)切，HPM也將在根本任務(wù)的實(shí)現(xiàn)、核心素養(yǎng)的培育中扮演著重要的角色．

因此，越來(lái)越多的教師將其應(yīng)用于教學(xué)，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果，教師自身的知識(shí)、信念、能力也得到了增加、改善、提升[2-6]．然而，在HPM教學(xué)實(shí)踐中，教師仍會(huì)遇到很多困難，“高評(píng)價(jià)，低應(yīng)用”仍是HPM實(shí)踐領(lǐng)域的真實(shí)寫照．造成這一困境的因素很多，Tzanakis、Arcavi基于已有文獻(xiàn)總結(jié)出了教學(xué)的時(shí)間有限、史料匱乏、專業(yè)知識(shí)缺失、評(píng)價(jià)缺位等實(shí)踐因素[7]，Clark、Lisa研究中指出設(shè)計(jì)融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)的最大困難是已有史料的處理，特別是史料科學(xué)性問題的處理[8]．在中國(guó)以公開課展示、校本研修活動(dòng)等為特色，有HPM研究團(tuán)隊(duì)、教師團(tuán)隊(duì)等多元主體參與的背景下，相應(yīng)的困難也將體現(xiàn)不同的特點(diǎn)．然而，目前此方面的實(shí)證研究極少．因此，對(duì)影響教師教學(xué)實(shí)踐的因素進(jìn)行探討，可以為教師改善HPM實(shí)踐提供借鑒，也能助力他們的專業(yè)發(fā)展．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究方法與研究問題

影響教師HPM實(shí)踐的因素探索是HPM領(lǐng)域重要但未被深入研究的課題，因此對(duì)研究問題的回答具有探索性的特點(diǎn)，同時(shí)，鑒于HPM實(shí)踐的個(gè)體性、情境性等特征，采取敘事研究的方法，“通過描述個(gè)體生活以及對(duì)個(gè)體生活故事進(jìn)行解構(gòu)和重構(gòu)，敘事研究獲得了對(duì)個(gè)體行為與經(jīng)驗(yàn)的解釋性理解，發(fā)現(xiàn)了隱匿于個(gè)體日常生活中的意義”[9]“就敘事對(duì)‘寓言’（‘個(gè)案’或者‘局部的豐富性’）的合法性認(rèn)定而言，敘事的實(shí)質(zhì)是重新關(guān)注研究對(duì)象的‘局部的豐富性’而不滿足于虛幻的‘整體的空泛性’．以敘事的方式兌現(xiàn)研究對(duì)象的‘局部的豐富性’乃是‘人類原始思維’中的一種詩(shī)性智慧，或者說，敘事是重新恢復(fù)‘人類原始思維’的‘詩(shī)性智慧’”[10]．通過對(duì)個(gè)案教師融入數(shù)學(xué)史的四年級(jí)“兩位數(shù)除多位數(shù)”“平行”兩個(gè)主題課例開發(fā)過程（大致如圖1[11]）的深描來(lái)探索如下研究問題的答案：影響教師HPM實(shí)踐的因素究竟有哪些？

圖1 HPM課例開發(fā)流程

整個(gè)敘事研究大致按照發(fā)現(xiàn)一個(gè)值得探究的內(nèi)隱教育問題的教育現(xiàn)象，有目的地選取一個(gè)或幾個(gè)作為研究參與者的個(gè)體并透過其去認(rèn)識(shí)擬研究的教育現(xiàn)象，從所選取的研究參與者身上搜集故事，重新敘說研究參與者的故事，與講述故事的研究參與者合作撰寫基于研究參與者經(jīng)歷的教育敘事研究報(bào)告，檢驗(yàn)教育敘事研究報(bào)告效度的順序開展[12]，其中參與者的選取見研究對(duì)象部分，在“從所選取的研究參與者身上搜集故事”環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了表1的編碼表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集，并作為故事敘述的主要依據(jù)；重新敘述研究參與者的故事見課例開發(fā)過程的深描部分；效度的檢驗(yàn)采用互證的方式，以課例開發(fā)過程中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)作為主要的數(shù)據(jù)來(lái)源，同時(shí)輔以兩個(gè)研究者的觀察、課例開發(fā)結(jié)束后的半結(jié)構(gòu)性訪談、敘事結(jié)束后交于研究對(duì)象對(duì)敘事的真實(shí)性、準(zhǔn)確性予以確認(rèn)．

表1 數(shù)據(jù)編碼

2.2 研究對(duì)象

研究對(duì)象的選取采用便利取樣．M是上海市一所公辦小學(xué)的數(shù)學(xué)教師，教齡4年，本科無(wú)教育、數(shù)學(xué)背景，目前正在攻讀學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)的在職教育碩士學(xué)位．攻讀碩士學(xué)位之前，對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)停留在通過講故事激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣層面．2016年8月修讀了HPM專家W的HPM課程，對(duì)其有了一些了解，產(chǎn)生了濃厚的興趣，在導(dǎo)師的研究方向不是HPM的情況下，選擇了HPM作為自己的學(xué)位論文研究方向．在開發(fā)“兩位數(shù)除多位數(shù)”前，曾用別人開發(fā)過的、融入數(shù)學(xué)史的“圓的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行授課，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)．在應(yīng)用別人的設(shè)計(jì)時(shí)，她應(yīng)小學(xué)HPM研究者Y的要求，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了評(píng)價(jià)．M在評(píng)價(jià)中肯定他人設(shè)計(jì)的同時(shí)，提出了較多需要修改的細(xì)節(jié)．可見，M是一個(gè)敢于抒發(fā)自己見解的教師，這也是她被選擇為合作對(duì)象的重要原因之一．

3 課例開發(fā)過程的深描

回顧M兩個(gè)課例的開發(fā)過程，發(fā)現(xiàn)可以依據(jù)HPM課例開發(fā)流程描述M的課例開發(fā)過程，一共可以分為5個(gè)階段：課例一的選題與準(zhǔn)備階段，M進(jìn)行了無(wú)人影響的課例開發(fā)初嘗試，但是疑惑很多；研討與設(shè)計(jì)階段，M試圖融合各方的意見，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了多次修改；在實(shí)施與反饋階段，M進(jìn)行了多次教學(xué)實(shí)踐，但屢次受挫；經(jīng)歷了再次的設(shè)計(jì)與研討，M大膽嘗試HPM研究團(tuán)隊(duì)的想法，結(jié)果尚佳；繼而是課例二，M以自己的想法為主軸，取得了相當(dāng)不錯(cuò)的效果．因此，以此為線索，分5個(gè)階段對(duì)M的課例開發(fā)過程進(jìn)行深描．

3.1 階段1：開發(fā)課例初嘗試

討論確立了“兩位數(shù)除多位數(shù)”作為開發(fā)主題后，HPM團(tuán)隊(duì)成員Y鼓勵(lì)M獨(dú)立進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)．M首先分析了教材、教師用書，試著自己查閱史料．在設(shè)計(jì)的過程中，她感受到“‘兩位數(shù)除多位數(shù)’是一節(jié)計(jì)算課，數(shù)學(xué)史在這節(jié)課中起到的作用有限，對(duì)該節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)算理的掌握幫助不大”“無(wú)從下手處理史料”（T1D4 3-20），因此發(fā)送給Y的設(shè)計(jì)中雖加入了數(shù)學(xué)史的元素，但比較刻意．教學(xué)設(shè)計(jì)大致如下：復(fù)習(xí)兩位數(shù)除三位數(shù)，商是一位數(shù)的計(jì)算；借用偽歷史情境“曾經(jīng)有一個(gè)國(guó)王，他要將132塊金子平均分給11名凱旋而歸的將領(lǐng)，每個(gè)將領(lǐng)能分到幾塊？”引出兩位數(shù)除多位數(shù)，商是兩位數(shù)的計(jì)算；通過擺小棒的環(huán)節(jié)設(shè)置幫助學(xué)生理解兩位數(shù)除多位數(shù)的算理；借用“兩位數(shù)乘一位數(shù)”中引入“格子算法”鞏固算理的做法[13]，引入中國(guó)古代的商實(shí)法（圖2）與西方豎式除法的演進(jìn)（圖3），通過讓學(xué)生描述運(yùn)算結(jié)果得出的過程，起到鞏固算理的目的；鞏固練習(xí)；小結(jié)（T1D1 3-16）．

圖2 中國(guó)古代商實(shí)法

圖3 西方除法豎式的演進(jìn)過程

針對(duì)這一設(shè)計(jì)，Y并未與M進(jìn)行討論，僅提供了《御制數(shù)理精蘊(yùn)》中的一些除法題目，并結(jié)合在其他開課學(xué)校問卷調(diào)查得到的學(xué)生對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)知之甚少的結(jié)果以及合作開課的經(jīng)驗(yàn)，從幫助學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)及利用問題串的形式使教學(xué)設(shè)計(jì)更加精致的角度提出建議（T1D4 3-20）．

結(jié)合Y提供的史料與建議，M進(jìn)行了第二次教學(xué)設(shè)計(jì)，這次設(shè)計(jì)的改動(dòng)不大，除了增加了各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖外，還試圖用問題串串聯(lián)起整個(gè)教學(xué)（T1D1 3-22）．

3.2 階段2：試圖綜合各建議

第二次教學(xué)設(shè)計(jì)后，M專程趕到W所在的學(xué)校與HPM團(tuán)隊(duì)就教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研討．經(jīng)過一個(gè)多小時(shí)的討論，最終達(dá)成了如下的共識(shí)：兩條主線貫穿整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，一是算理，包括商是一位數(shù)、兩位數(shù)算理之間的聯(lián)系，二是半斤八兩的故事情境．前者的目的是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展，后者的目的是德育之效（通過對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的了解，增強(qiáng)民族自豪感）、文化之魅（了解不同地區(qū)不同民族對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展做出的貢獻(xiàn)，知道數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系）（T1D4 3-23）．

研討后，M又與所在學(xué)校教學(xué)專家E（已退休，被聘回學(xué)校指導(dǎo)年輕教師的教學(xué)）針對(duì)研討結(jié)果進(jìn)行了交流，E認(rèn)為：分小棒的環(huán)節(jié)是必要的，但半斤八兩題目的設(shè)置不夠合理，一方面學(xué)生不能根據(jù)情境列出算式，另一方面學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)會(huì)與古代斤兩之間的換算混淆；數(shù)學(xué)史的使用就是在課堂中講講故事，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，所以并不是所有的課程都能融入數(shù)學(xué)史，但可以嘗試．他也肯定了這節(jié)課數(shù)學(xué)史的融入是為了促進(jìn)學(xué)生算理理解的意圖，但對(duì)HPM視角下的教學(xué)存在疑慮（T1D4 3-28）．

M將E的意見反饋給了Y．Y認(rèn)為分小棒的活動(dòng)可能不符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)可以抽象地操作了，為什么還要倒回去實(shí)際操作？實(shí)踐操作與數(shù)學(xué)化之間有一定的距離，學(xué)生會(huì)實(shí)踐操作，也不一定能遷移到除法運(yùn)算中．并希望用事實(shí)證明HPM的價(jià)值，打消專家的疑慮（T1D4 3-29）．

結(jié)合各方意見，她進(jìn)行了第三次教學(xué)設(shè)計(jì)，引入中增加了借用直除法（中國(guó)古代的除法算法，即利用減法來(lái)進(jìn)行除法運(yùn)算）讓學(xué)生體會(huì)創(chuàng)造除法豎式的必要性（圖4），改學(xué)生分小棒的活動(dòng)為多媒體演示；鞏固練習(xí)中設(shè)置半斤八兩的情境，并安排了教材中的題目（T1D1 3-31）．在將其發(fā)送給Y的時(shí)候說“我想把兩種思路融合在一起，所以做了比較大的改動(dòng)．而且還想著，如果全部用兩、斤這兩個(gè)點(diǎn)，怕比較生硬，你先看，我可以再改”（T1D4 3-31）．

圖4 除法豎式

看到這一與研討結(jié)果出入較大的設(shè)計(jì)，Y起初有些驚訝，但根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，初次開發(fā)課例的教師有這樣的做法實(shí)屬正常，所以他試圖說服M按照HPM團(tuán)隊(duì)的思路進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的修改，并欲借他人之口進(jìn)行說服．Y邀請(qǐng)HPM團(tuán)隊(duì)中具有豐富課例開發(fā)經(jīng)驗(yàn)的S與M從數(shù)學(xué)史在這節(jié)課中的必要性與價(jià)值，價(jià)值能否在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)，教學(xué)設(shè)計(jì)的精致度【包括情境設(shè)計(jì)的連貫性、例題與練習(xí)設(shè)計(jì)的數(shù)量與層次性（變式的角度）、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的多元性（比如有沒有探究活動(dòng)）】，教學(xué)設(shè)計(jì)的不足之處與改進(jìn)措施進(jìn)行評(píng)價(jià)與反思，并在M完成反思后，將S的評(píng)價(jià)發(fā)送給了她．M與S在價(jià)值、能否體現(xiàn)出價(jià)值方面的評(píng)價(jià)一致，但與M相比，S認(rèn)為這節(jié)課數(shù)學(xué)史融入的必要性不突出，沒有數(shù)學(xué)史材料融入課堂的探究活動(dòng)（T1D2/D3 4-3）．

但是，M仍未被說服，于是Y轉(zhuǎn)變了思路，試圖從畢業(yè)論文撰寫需求的角度說服M嘗試兩種思路的設(shè)計(jì)，以對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行對(duì)比：

Y：我覺得用兩種思路來(lái)上是很好的選擇，這樣也能更好地展示你學(xué)位論文的研究性．

M：對(duì)的，我準(zhǔn)備兩種方式．

M：對(duì)了學(xué)長(zhǎng)，你們上次的意思是，我后面的上法和上次討論班上討論的盡量一致是嗎？

Y：盡量一致．

M：哦，我明天先照前兩天準(zhǔn)備的上，后面再改成上次討論的上法．（T1D4 4-4）．

3.3 階段3：教學(xué)實(shí)踐屢受挫

M按照自己的思路實(shí)施了第一次教學(xué)．授課結(jié)束后，Y與M進(jìn)行了交流．

Y：課上的怎樣？前后測(cè)效果如何？

M：后面練習(xí)來(lái)不及．

Y：總體效果如何？

M：昨天專家表示我不應(yīng)該在算理中放數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，容易讓學(xué)生混淆方法．

…………

Y：你還打算按照你的這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)上課嗎？

M：可以再改一個(gè)方式啊，但是得麻煩你們看看如何改效果會(huì)更好？

Y：我們是想讓你嘗試一下那天我們探討的方法，你也可以對(duì)比一下效果．

M：我問過專家，他也覺得可以不用擺小棒，這個(gè)不是一定要放在教學(xué)中的（T1D6 4-4）．

讓M填寫了教學(xué)反思單，讓學(xué)生完成了問卷，以進(jìn)一步獲得師生的反饋．從中發(fā)現(xiàn)她對(duì)總體教學(xué)效果不滿意，認(rèn)為講授與數(shù)學(xué)史相關(guān)的內(nèi)容時(shí)不夠流暢，數(shù)學(xué)史教育價(jià)值體現(xiàn)得一般；需要將數(shù)學(xué)史更適切地融入除法豎式計(jì)算的算理中，要建立更密切的聯(lián)系；數(shù)學(xué)史應(yīng)以更巧妙的方式融入到教學(xué)探究和練習(xí)中，以使教學(xué)內(nèi)容更連貫、緊湊；教學(xué)引入部分需要進(jìn)行簡(jiǎn)化，同時(shí)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容需要更精心地篩選，不能一味地堆砌數(shù)學(xué)史，這樣會(huì)使教學(xué)過程比較散，教學(xué)目標(biāo)不夠清晰．?dāng)?shù)學(xué)史和算理的有效融合還需要加強(qiáng)，學(xué)生建立的聯(lián)系還不夠；教師需要更加深入地了解學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)和狀態(tài)，并更適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)、點(diǎn)撥；盡管對(duì)教學(xué)效果不滿意，但是對(duì)學(xué)生的后測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示他們對(duì)引入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課很感興趣，這激勵(lì)M在后續(xù)的部分課題中繼續(xù)嘗試數(shù)學(xué)史的引入（T1D5/D6 4-5）．專家的點(diǎn)評(píng)以及上課后的效果讓M備受打擊，但她仍沒有按照與W團(tuán)隊(duì)研討的思路進(jìn)行設(shè)計(jì)．根據(jù)上述反饋，她對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了調(diào)整（T1D1 4-6）．但教學(xué)效果依然不佳．

3.4 階段4：大膽嘗試終突破

兩次授課受挫后，M終于打算按照HPM團(tuán)隊(duì)的思路進(jìn)行設(shè)計(jì)．M就自己疑惑的地方與Y多次交流后，形成了最終的教學(xué)設(shè)計(jì)：（問題引入）同學(xué)們，老師知道你們?cè)谡Z(yǔ)文課中學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)了很多很多的成語(yǔ)．你能說出幾個(gè)和數(shù)學(xué)有關(guān)的成語(yǔ)嗎？看來(lái)和數(shù)學(xué)有關(guān)的成語(yǔ)非常多！在這道題目“古代喜歡用斤、兩作為重量單位，古書中記載‘有一袋米重176兩，也就是11斤’，古代的一斤是多少兩呢？”里也隱藏著一個(gè)成語(yǔ)，你們能找到它嗎？解決這個(gè)問題，你們就能找到答案了．（活動(dòng)探究）首先學(xué)生探究古代斤兩換算問題的答案，教師呈現(xiàn)各種答案，建立算理與試商之間的關(guān)系，初步學(xué)會(huì)計(jì)算后，課堂回到半斤八兩的歷史介紹；其次，引入跟進(jìn)練習(xí)“銖是古代比兩更小的重量單位，一個(gè)物品重456銖，也就是19兩，1兩是幾銖？”，學(xué)生解答后，引入成語(yǔ)錙銖必較及其育人價(jià)值；最后將上述關(guān)于古代計(jì)量單位換算的兩道題目解答的豎式放在一起，小結(jié)除法計(jì)算的關(guān)鍵點(diǎn)．（鞏固練習(xí)）第一題為判斷題，有一小題呈現(xiàn)了圖3中的第三個(gè)算式，并借助這個(gè)算式引出圖3所有算式，讓學(xué)生在各種算法的比較中感受現(xiàn)代除法豎式的優(yōu)越性，最后用微視頻介紹中國(guó)古代的商實(shí)法，第二題為鞏固算理的方法，第三題引入演算．（小結(jié)）今天的數(shù)學(xué)課堂你覺得和以前的數(shù)學(xué)課堂有什么不同？你有什么收獲（計(jì)算方法上的、成語(yǔ)含義、德育方面等）？（T1D1 4-8）

教學(xué)設(shè)計(jì)后，再次邀請(qǐng)M與S根據(jù)教學(xué)反饋單的提示進(jìn)行評(píng)價(jià)、反思．盡管S認(rèn)為這節(jié)課中有了融入數(shù)學(xué)史的探究活動(dòng)，但仍有所疑慮：數(shù)學(xué)史的必要性還不是很突出，由于重量單位的換算是否算數(shù)學(xué)史還有待考證，如果只有歐洲、中國(guó)的算法，它們只是起到了輔助學(xué)生理解算法的作用，借助其它方式也能講清算理，那么數(shù)學(xué)史的必要性沒有充分體現(xiàn)出來(lái)（T1D3 4-8）．但M很有信心，認(rèn)為有七成把握上好這節(jié)課，因?yàn)橄啾戎暗脑O(shè)計(jì)，這個(gè)設(shè)計(jì)比較連貫，主線明顯，且在探究過程中，細(xì)化了學(xué)生可能出現(xiàn)的困難，并想了多種引導(dǎo)方法，且相對(duì)之前的教學(xué)，有了一定的預(yù)設(shè)和處理的經(jīng)驗(yàn)（T1D2 4-8）．兩天后，M進(jìn)行了授課，Y邀請(qǐng)了HPM團(tuán)隊(duì)的部分成員前往觀摩．課后，M敘說了自己上課的感受：與前幾次相比有了提升，但還是很不滿意，感覺自己上的不好．接著HPM團(tuán)隊(duì)的成員針對(duì)授課情況與M進(jìn)行了討論．他們總體認(rèn)可這節(jié)課，設(shè)計(jì)比較精致，課上的也比較順暢，但是探究活動(dòng)的難度太小，但卻在這里花費(fèi)了很多時(shí)間．在Y回學(xué)校的路上，M興奮地告訴Y，她的同事對(duì)這節(jié)課比較認(rèn)可：教學(xué)設(shè)計(jì)連貫，環(huán)環(huán)相扣；探究過程中尊重學(xué)生課堂生成，將數(shù)學(xué)史融入探究環(huán)節(jié)中，通過不斷追問，讓學(xué)生感知需要商兩次的必要性；數(shù)學(xué)課中讓學(xué)生了解半斤八兩和錙銖必較，以及除法豎式的演變過程滲透了數(shù)學(xué)文化教育和德育，相當(dāng)耳目一新（T1D6 4-8）．當(dāng)天晚上，M將教學(xué)反思單填好后發(fā)送給了Y，從這份教學(xué)反思單中看出，與前兩次上課相比，她對(duì)這次課的滿意度提高，但認(rèn)為仍有很大的提升空間，可惜沒有班級(jí)用來(lái)實(shí)施新的設(shè)計(jì)了（T1D5 4-10）．

兩周后，Y發(fā)送給M一個(gè)針對(duì)整個(gè)課例開發(fā)的反思單．從M的反饋看，她認(rèn)為HPM團(tuán)隊(duì)、所在學(xué)校的教學(xué)專家與教研組在不同層面給予了幫助，而之所以對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了多次修改，是因?yàn)樽陨碣Y料的篩選能力不足，缺少突破傳統(tǒng)上法的勇氣，從而設(shè)計(jì)出的課缺少主線，顯得比較零散；在今后進(jìn)行HPM課例開發(fā)時(shí)，需要平時(shí)就積累更多的數(shù)學(xué)史料，掌握查找史料的途徑和方法，以更好、更快地收集到相關(guān)的信息；要突破常規(guī)教學(xué)就得有大膽的嘗試，在一次次的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)中就會(huì)有成長(zhǎng)和收獲；融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課不能只有簡(jiǎn)單的附加，這樣體現(xiàn)不出必要性，應(yīng)多嘗試根據(jù)歷史材料，編制數(shù)學(xué)問題，或?qū)v史上的思想方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?，或借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)史更有機(jī)地結(jié)合在一起（T1D5 4-24）．

3.5 階段5：再次嘗試顯成熟

按照?qǐng)D1的流程，M完成“平行”的設(shè)計(jì)后，與HPM團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了研討，研討的結(jié)果是：利用教材地圖中的平行線作為引入相當(dāng)不自然，教材中的平行定義“垂直于同一條直線的兩直線平行”實(shí)際上是一個(gè)判定定理，根本不是一個(gè)定義，因此能否參考發(fā)生教學(xué)原理下“圓的初步認(rèn)識(shí)”的設(shè)計(jì)思路，即古代圓之美、古代圓之用、圓之理、現(xiàn)代圓之美、現(xiàn)代圓之用，基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)從歐幾里得的平行定義“平行線是在同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)直線，向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)，無(wú)論哪個(gè)方向它們都不相交”入手，將歷史上平行符號(hào)、墨子的平行定義“平，等高也”，“沒有規(guī)矩，不成方圓”等史料重構(gòu)到教學(xué)當(dāng)中（T2D4 5-6）．因?yàn)橛屑议L(zhǎng)會(huì)需要主持，所以M在研討的過程中，有些心不在焉，聽完HPM團(tuán)隊(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的大致思路后，就匆匆地趕回學(xué)校．

Y比較擔(dān)心這次的研討效果，但M的設(shè)計(jì)讓Y大吃一驚：基本上將研討的思路融入到了教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中，并有所創(chuàng)新．教學(xué)環(huán)節(jié)大致為：（1）讓學(xué)生區(qū)分相交、不相交的概念．（2）通過提問如何使兩條直線不相交，引出歐幾里得的平行定義；設(shè)置是否是平行線的判斷題，鞏固學(xué)生對(duì)平行概念的認(rèn)識(shí)；讓學(xué)生舉出生活中平行的例子，判斷圖5視錯(cuò)覺圖形中的橫線是否平行，呈現(xiàn)跑道、秋千、地板中的平行線，引出歐幾里得平行定義的局限性，從而引導(dǎo)出教材中平行的定義．（3）在探索畫法的過程中，試圖通過學(xué)生作圖的多樣性，找尋墨子平行定義的存在，并介紹“沒有規(guī)矩，不成方圓”．（4）借用垂直符號(hào)的引入是為了簡(jiǎn)潔的目的，鼓勵(lì)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣進(jìn)行平行符號(hào)的創(chuàng)造，并規(guī)范平行符號(hào)的使用．（5）體會(huì)平行之用．（6）總結(jié)（T2D1 5-7）．

圖5 視錯(cuò)覺圖形

M對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行自評(píng)后，結(jié)合Y的評(píng)價(jià)作了少許修改，并進(jìn)行了授課．課后研討中，M的6名同事都對(duì)課堂教學(xué)給予了較高的評(píng)價(jià)：這節(jié)課上得比較流暢，教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)清晰，目的明確，且將歐幾里得的平行定義加入到教學(xué)設(shè)計(jì)中，有助于學(xué)生對(duì)平行概念的想象、理解．同時(shí)，平行符號(hào)的創(chuàng)造很新穎，也受到了學(xué)生的歡迎，教學(xué)效果較好，和學(xué)生平常被動(dòng)式的接受概念有一定區(qū)別．課后對(duì)學(xué)生問卷的統(tǒng)計(jì)也給了M很大的信心（T2D5 5-10）．HPM團(tuán)隊(duì)肯定教學(xué)的同時(shí)，認(rèn)為教學(xué)還可從如下方面進(jìn)行修改：矩形是學(xué)生學(xué)習(xí)平行的認(rèn)知起點(diǎn)，可以借助學(xué)生自己所舉的矩形實(shí)例，引導(dǎo)他們自己得出垂直于同一條直線的兩直線平行，而不是通過教師所舉跑道、秋千等不符合學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的實(shí)例來(lái)引導(dǎo)學(xué)生．使用媒體形式較為單一，最好在某一涉及數(shù)學(xué)史的環(huán)節(jié)用微視頻的方式來(lái)呈現(xiàn)，節(jié)省時(shí)間，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．平行線指的是直線間的關(guān)系，生活中的舉例及課后練習(xí)中，應(yīng)該給予一定的指導(dǎo)，說明生活中的例子都是平行的線段（T2D4 5-14）．

M吸收HPM團(tuán)隊(duì)的意見后，進(jìn)行了修改、試教．她對(duì)試教結(jié)果非常滿意，同事也給予了比以前更高的評(píng)價(jià)：雖然前面的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)清晰、目的明確，教學(xué)也比較流暢，但這節(jié)課最有數(shù)學(xué)味，其最大的進(jìn)步在于讓學(xué)生自主探索“你是怎樣判斷出長(zhǎng)方形黑板上下兩條邊互相平行？”，而非多媒體中直角符號(hào)的暗示，給了學(xué)生更大的發(fā)揮空間，使他們自主得出垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，印象深刻且自然，同時(shí)還驚喜地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能說出另一種判定平行的方法“是否等距”．基于此處的討論，學(xué)生在嘗試畫一組平行線時(shí)，出現(xiàn)了等距的畫法，滲透了后面一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容（T2D5 5-17）．自身的感受、同事的評(píng)價(jià)、學(xué)生的反饋給了M極大的信心，最后M作了校級(jí)公開課展示，并邀請(qǐng)了區(qū)教研員前來(lái)指導(dǎo)．課后研討中，教研員肯定數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的做法，認(rèn)可將歐式定義作為課堂引入，會(huì)給予學(xué)生更好地建立平行概念的機(jī)會(huì)，也很認(rèn)可建立在平行概念上的諸多嘗試，但建議將這節(jié)課的重點(diǎn)定為平行概念的建立，將“畫平行線”部分留在第2課時(shí)進(jìn)行，建議有所取舍（T2D4 5-23）．

4 研究結(jié)果

上述的深描發(fā)現(xiàn)：M的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、HPM專業(yè)知識(shí)等內(nèi)部因素與各課例參與團(tuán)隊(duì)的意見與建議等外部因素影響著她的HPM實(shí)踐，且隨著課例開發(fā)的推進(jìn)，不同因素的影響力發(fā)生著變化．課后的訪談也驗(yàn)證了這些結(jié)論．

4.1 內(nèi)部因素

HPM是架起數(shù)學(xué)與人文、歷史與教育現(xiàn)實(shí)兩座橋梁的專業(yè)領(lǐng)域，其理念與當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的理念并無(wú)二致．因此，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)力求數(shù)學(xué)史內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容自然無(wú)痕地融合．而這對(duì)M而言是一項(xiàng)極大的挑戰(zhàn)．盡管，她已在研究生課程中接觸到了HPM理論，也利用了他人課例進(jìn)行了授課．

Y：你已經(jīng)進(jìn)行了HPM視角下“圓的初步認(rèn)識(shí)”的課例應(yīng)用，“兩位數(shù)除多位數(shù)”“平行”的課例開發(fā)．能談一下整個(gè)HPM課例開發(fā)過程的感受嗎？

M：整個(gè)過程還是蠻漫長(zhǎng)、曲折、困難的，課例開發(fā)與在別人教案的基礎(chǔ)上，加入自己的想法，去設(shè)計(jì)，去實(shí)施，是完全不一樣的經(jīng)歷．特別是“兩位數(shù)除多位數(shù)”，前前后后經(jīng)歷了一個(gè)多月的時(shí)間，關(guān)鍵是剛開始的時(shí)候無(wú)法突破傳統(tǒng)的計(jì)算課的上法，因?yàn)榫v多練的教學(xué)觀念已經(jīng)根深蒂固了．即使我想去突破，但畢竟是年輕教師，會(huì)有疑惑，我就會(huì)想我想要的設(shè)計(jì)方法會(huì)不會(huì)和傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法沖突很大，萬(wàn)一無(wú)法達(dá)成知識(shí)目標(biāo)，不被其他教師認(rèn)可怎么辦？還有畢竟我的本科專業(yè)不是數(shù)學(xué)，而且這是我的第一個(gè)HPM課例，我對(duì)怎樣搜集有用的數(shù)學(xué)史信息，怎樣篩選史料并應(yīng)用于我的教學(xué)設(shè)計(jì)知之甚少．

但囿于已有計(jì)算課教學(xué)的觀念影響，加之教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的不足，HPM專業(yè)知識(shí)的匱乏，M教學(xué)不夠自信．但隨著課例開發(fā)的推進(jìn)，她積累了一定的HPM專業(yè)知識(shí)，提升了教學(xué)自信，教學(xué)效能感增強(qiáng)．

M：就平行這節(jié)課來(lái)說，因?yàn)橛辛说谝淮蔚慕?jīng)驗(yàn)，我知道了不能盲目地去聽各方的意見，所以在聽取HPM團(tuán)隊(duì)的意見之前，我已經(jīng)有了自己的設(shè)計(jì)思路，當(dāng)你提供給我資料時(shí)，我也沒有過多的去詢問你，就是不像第一節(jié)課我很盲目，也很不自信，然后我就想去尋求你們的幫助，尋求各方面的幫助，所以第二節(jié)課的時(shí)候，我自己的思考更多，所以上這節(jié)課之前，其余老師沒有給我過多的影響．

4.2 外部因素

中國(guó)的課例研究是一個(gè)通過反思將教學(xué)實(shí)踐從現(xiàn)有狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槔硐霠顟B(tài)的過程．在HPM課例開發(fā)過程中，HPM研究團(tuán)隊(duì)、M所在學(xué)校的教研組、M所在學(xué)校的教學(xué)專家等的意見與建議為M提供了反思的素材，也對(duì)M的HPM實(shí)踐產(chǎn)生了影響．

Y：你能講講HPM課例開發(fā)與課例應(yīng)用對(duì)你有什么不同的影響嗎？

M：不同之處在于我的整個(gè)設(shè)計(jì)思路，傳統(tǒng)視角與HPM視角不斷產(chǎn)生沖突，HPM團(tuán)隊(duì)的觀點(diǎn)與我們學(xué)校專家、老師的觀點(diǎn)也不盡相同．畢竟我是一個(gè)新手型教師，總歸有自我懷疑的傾向，所以我想融合各方的意見，畢竟不是很相信自己，比如我的判斷是否有誤，但是這樣是達(dá)不到最佳的效果的，而且是耗時(shí)的．

具體來(lái)看，教學(xué)專家強(qiáng)調(diào)精講多練，注重“雙基”目標(biāo)的達(dá)成，對(duì)HPM認(rèn)識(shí)不深，因此認(rèn)為講解中國(guó)古代除法計(jì)算，設(shè)置情境引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行符號(hào)進(jìn)行創(chuàng)造的活動(dòng)必要性不強(qiáng)，這對(duì)M的HPM實(shí)踐造成了一定的困擾，特別是在運(yùn)用數(shù)學(xué)史不成功的情況下．教研組同事能從學(xué)生全面發(fā)展的角度評(píng)價(jià)HPM，因此他們會(huì)根據(jù)M教授情況給出自己的評(píng)價(jià)：他們負(fù)面的評(píng)價(jià)對(duì)M造成了消極的影響，而正向的評(píng)價(jià)激勵(lì)著她繼續(xù)嘗試．教研員作為一線教育、教學(xué)專家，能夠從更高的視角評(píng)價(jià)HPM．鑒于他們的專業(yè)性與權(quán)威性，他們的評(píng)價(jià)對(duì)教師HPM的實(shí)踐產(chǎn)生了不小的影響，比如盡管公開課前“平行”的試教取得了不錯(cuò)的效果，M也是自信滿滿，公開課的情況也不錯(cuò)，但正是因?yàn)榻萄袉T對(duì)課堂的完整性方面的建議，使得M的自我效能感較低，認(rèn)為需要對(duì)教材進(jìn)行重新整合，調(diào)整數(shù)學(xué)史的融入．HPM研究團(tuán)隊(duì)在史料的查找、選取、應(yīng)用方面給予了M很多的建議，盡管M沒有照單全收，甚至大打折扣，但他們的建議促使M對(duì)HPM實(shí)踐進(jìn)行了更為深入的思考．

5 研究結(jié)論與討論

將影響教師HPM實(shí)踐的因素探索融入到HPM課例開發(fā)的動(dòng)態(tài)敘事過程中，發(fā)現(xiàn)：影響教師HPM實(shí)踐的因素并不是一成不變的，且不同因素的影響力也會(huì)發(fā)生變化．具體而言，教師HPM的實(shí)踐受內(nèi)部因素、外部因素的影響．課例開發(fā)的初期，內(nèi)、外部因素都對(duì)教師HPM的實(shí)踐產(chǎn)生著不小的影響，課例開發(fā)教師在內(nèi)、外部因素的影響下有點(diǎn)迷失自我；隨著課例開發(fā)的推進(jìn)，教師積累了一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，獲得了一定的HPM專業(yè)知識(shí)，提升了教學(xué)自信，也有了自己的教學(xué)主見，在課例開發(fā)過程中能夠以內(nèi)部因素為主，并以之為主線去融合各方建議，審思教學(xué)過程與教學(xué)成效等外部因素，使得內(nèi)外部因素達(dá)成平衡，從而取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果．

與很多研究論述的一樣，這些影響教師發(fā)展或?qū)嵺`的因素是彼此不可分離的[14-15]，因此研究者從系統(tǒng)的角度對(duì)這些因素進(jìn)行了考察．但與以往的研究不同，研究者從動(dòng)態(tài)的角度考察了HPM共同體組建過程中影響教師教學(xué)實(shí)踐的因素，這將有利于教師教育者更有針對(duì)性地幫助教師改善HPM實(shí)踐，比如健全共同體，將課例開發(fā)過程中的對(duì)話置于共同體的場(chǎng)域之中，減少教師在不同的時(shí)空中與具有不同特點(diǎn)的團(tuán)隊(duì)或個(gè)人就數(shù)學(xué)史的融入進(jìn)行討論，提高效率，幫助教師積累HPM專業(yè)知識(shí)、建立教學(xué)自信，唯有如此，教師才會(huì)有自己的教學(xué)主見，不受他人觀點(diǎn)的左右而搖擺．但這里的研究只是基于個(gè)案教師的教育敘事得出的結(jié)論，為了深化研究，還需擴(kuò)大樣本的選取并拉長(zhǎng)研究的跨度．

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Narrative Research on Factors Affecting Mathematics Teachers’ HPM Practice in Primary Schools

YUE Zeng-cheng1, SHEN Zhong-yu2, WANG Xin3, ZOU Jia-chen4

(1. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;3. Chengdu Shude Middle School, Sichuan Chengdu 610031, China;4. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Due to the lack of research on the factors affecting HPM practice in China and abroad, the aim of this study is to improve teachers’ HPM practice and promote their professional development. So, this study adopts the method of narrative research to examine the factors affecting individual teacher’s HPM practice from a systematic and dynamic perspective. It is found that as the HPM lessons develop, the internal and external factors affecting teachers’ HPM practice have changed and the influence of internal and external factors has been different at different phases.

HPM; curriculum development; influencing factors; narrative research

G622

A

1004-9894（2020）06-0074-06

岳增成，沈中宇，王鑫，等．影響小學(xué)數(shù)學(xué)教師HPM實(shí)踐的敘事研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（6）：74-79．

2020-08-10

2020年度教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目——多路徑數(shù)學(xué)科普的構(gòu)建及其對(duì)少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)觀的影響研究（20YJC880117）；上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣?huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

岳增成（1988—），男，山東濰坊人，講師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]