江春蓮，胡 玲

基于APOS理論和RMI原則的二次函數(shù)圖象平移教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究

江春蓮1，胡 玲2

（1．澳門大學(xué) 教育學(xué)院，澳門 999078；2．北京字節(jié)跳動(dòng)有限公司上海分公司，上海 201100）

函數(shù)圖象變換是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，嘗試運(yùn)用動(dòng)態(tài)幾何軟件呈現(xiàn)二次函數(shù)圖象平移過程中點(diǎn)的共同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)以促進(jìn)學(xué)生的理解．采用準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)包括6節(jié)課，其中4節(jié)用于教學(xué)實(shí)驗(yàn)，2節(jié)用于前測(cè)和后測(cè)．實(shí)驗(yàn)組（=23）的教學(xué)是基于APOS理論以及RMI原則設(shè)計(jì)的，并在DGS的支持下進(jìn)行；而對(duì)照組（=22）則運(yùn)用傳統(tǒng)的教學(xué)，也無DGS的支持．結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生在點(diǎn)的平移、二次函數(shù)圖象的平移以及復(fù)合函數(shù)和圓的平移等拓展領(lǐng)域均好于對(duì)照組．該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)可以擴(kuò)展到三角函數(shù)圖象變換教學(xué)．

APOS理論；關(guān)系—映射—反演原則（RMI原則）；函數(shù)；圖象平移；多重表征

1 問題提出

2 理論框架

關(guān)于二次函數(shù)圖象平移的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究設(shè)計(jì)主要以杜賓斯基與其合作伙伴[3，9]提出的APOS理論為基礎(chǔ)．該實(shí)驗(yàn)是在SSP的支持下進(jìn)行的，SSP可以作為建立二次函數(shù)的代數(shù)表征和圖象表征之間關(guān)聯(lián)的媒介．然而，若要解決點(diǎn)的平移的代數(shù)表征和函數(shù)圖象的代數(shù)表征之間的認(rèn)知沖突，以及函數(shù)圖象沿軸平移和沿軸平移的代數(shù)表征之間的認(rèn)知沖突，需要運(yùn)用關(guān)系—映像—反演（relationship mapping and inverse，簡(jiǎn)寫為RMI）原則．圖1展示了實(shí)驗(yàn)所涉及的4個(gè)方面之間的關(guān)系．下面將從APOS理論、函數(shù)的多元表征、DGS軟件在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用和RMI原則4個(gè)方面作文獻(xiàn)綜述．

圖1 “APOS理論”“多元表征”“SSP和RMI原則”之間的關(guān)系

2.1 “操作—過程—對(duì)象—圖式”理論

在APOS理論中，當(dāng)學(xué)生能夠按照一套明確的指示對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象做變換時(shí)，就說他達(dá)到了操作水平．當(dāng)學(xué)生不需要進(jìn)行任何實(shí)際的操作就可以在腦海中進(jìn)行整個(gè)操作或作反思時(shí)，就說學(xué)生將操作內(nèi)化成了一個(gè)過程．如果學(xué)生意識(shí)到過程可以當(dāng)作一個(gè)整體來把握并且可以對(duì)其實(shí)施更高級(jí)的操作時(shí)，學(xué)生的理解就達(dá)到了對(duì)象水平．此時(shí)，學(xué)生將內(nèi)化形成的過程濃縮成一個(gè)對(duì)象．?dāng)?shù)學(xué)圖式可以看作是當(dāng)前的操作、過程和對(duì)象等概念和其它先前構(gòu)建的圖式所形成的連貫的整體[3，10-12]．圖式的連貫性可通過學(xué)生能否用它來解決特定的數(shù)學(xué)問題的能力來確定[8]．杜賓斯基的圖式概念源自皮亞杰[13]，皮亞杰指出學(xué)生學(xué)會(huì)了一個(gè)專題就意味著他能夠解決和此專題相關(guān)的問題．

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念[2，14-15]．因此，關(guān)于函數(shù)概念的教與學(xué)的研究比較多[4，16]．杜賓斯基[13]認(rèn)為，如果一個(gè)學(xué)生只能用數(shù)字代替公式中的字母，他對(duì)函數(shù)概念的理解處于操作階段．如果他能內(nèi)化這些操作并能將情境看作是對(duì)對(duì)象實(shí)施的一個(gè)操作，而該操作可以將一個(gè)函數(shù)對(duì)象變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)對(duì)象，他就能夠協(xié)調(diào)函數(shù)過程及其圖象，他對(duì)函數(shù)概念的理解就達(dá)到了過程階段．反轉(zhuǎn)函數(shù)的知求的過程以求得反函數(shù)可以看作是對(duì)函數(shù)的過程理解水平．當(dāng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解完成了內(nèi)化—壓縮過程并將其視為一個(gè)對(duì)象時(shí)（如可以解微分方程或建立不定積分），就可以看作達(dá)到了函數(shù)的對(duì)象理解水平．理解函數(shù)圖象的平移和其它變換可以看作是對(duì)函數(shù)概念的過程和對(duì)象理解水平．

在運(yùn)用APOS理論描述學(xué)生的建構(gòu)過程時(shí)，研究者需要對(duì)學(xué)生要學(xué)習(xí)的概念從發(fā)生認(rèn)識(shí)論的角度進(jìn)行分解，生成一個(gè)假設(shè)的模型，以描述學(xué)生學(xué)習(xí)該數(shù)學(xué)概念可能需要建構(gòu)的心理結(jié)構(gòu)和機(jī)制[8]．結(jié)合RMI原則、多重表征理論和信息技術(shù)的整合理論，研究中的發(fā)生認(rèn)識(shí)論的解構(gòu)如下．

（3）對(duì)象．當(dāng)學(xué)生能將二次函數(shù)的圖象平移濃縮成一個(gè)整體，并遷移到一般的單變量函數(shù)時(shí)，更高層次的內(nèi)化就出現(xiàn)了．RMI原則在這一過程中發(fā)揮了類似的作用．

（4）圖式．主體可以運(yùn)用函數(shù)圖象平移的策略來解決其它涉及圖形變換的問題，例如圓的平移或壓縮等，形成連貫的知識(shí)體系．

2.2 函數(shù)的多重表征

日常用多重表征表示同一個(gè)數(shù)學(xué)概念，如函數(shù)，常用解析式、列表和圖象等來表示．研究表明，與只通過單一表征（多數(shù)是代數(shù)符號(hào)表征）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生相比，通過多重表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生通常對(duì)知識(shí)的記憶更長久，對(duì)知識(shí)的運(yùn)用也更加高效[17]．多重表征可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的理解[18-19]．中國的中學(xué)數(shù)學(xué)課程非常強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法，以幫助學(xué)生建立代數(shù)表征與圖形表征之間的關(guān)聯(lián)，并被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)問題解決．

多重表征之間的轉(zhuǎn)換可以幫助學(xué)生進(jìn)行歸納．歸納能力是代數(shù)推理的一個(gè)標(biāo)志，特別是在思維習(xí)慣上需要有重大突破時(shí)[6]．德雷福斯[18]提出歸納過程一般需要經(jīng)歷如下4個(gè)階段：使用單個(gè)表征，平行地使用多重表征，在平行的多重表征之間建立聯(lián)系，將不同表征整合在一起并能在彼此之間靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)換．

多重表征的使用為抽象數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)提供了便利，然而不同表征之間的變換對(duì)學(xué)生來說，有時(shí)又會(huì)造成認(rèn)知障礙[18-20]．借助現(xiàn)代資訊科技，可以幫助學(xué)生克服這些認(rèn)知障礙．

一個(gè)函數(shù)可以用多種不同的表示形式，如語言、數(shù)字、圖象和代數(shù)符號(hào)等形式[4]，它們呈現(xiàn)出函數(shù)的不同特征[21]．所以學(xué)生不僅需要運(yùn)用多重表征來表示函數(shù)，還需要建立不同表征之間的關(guān)聯(lián)，才能形成對(duì)函數(shù)的完整理解．大量研究表明多重表征的運(yùn)用有助于函數(shù)的教學(xué)[11，22-24]，其不僅有助于學(xué)生理解觀察到的現(xiàn)象與函數(shù)概念之間的聯(lián)系，也有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解從操作水平提升到過程水平．

代數(shù)表征和圖象表征之間的互動(dòng)可以幫助學(xué)生在大腦中建構(gòu)關(guān)于函數(shù)圖象平移的知識(shí)．研究者試圖以SSP為媒介去建立函數(shù)的多重表征之間的聯(lián)系．在函數(shù)圖象平移的過程，SSP可以動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)原圖象上的點(diǎn)如何移到新的函數(shù)圖象上，這種動(dòng)態(tài)表征有助于建立原函數(shù)圖象和新函數(shù)圖象之間的聯(lián)系．以SSP為媒介的多重表征也有助于學(xué)生通過同時(shí)顯示的代數(shù)表征和圖象表征的變化歸納函數(shù)圖象平移的普遍規(guī)律．DGS軟件（包括幾何畫板GSP、SSP等）能動(dòng)態(tài)地、靈活地處理不同表征形式的函數(shù)，例如表格、圖象、解析式等形式[25]，其提供的多重表征及其之間的動(dòng)態(tài)變換可以豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象和過程的理解．

2.3 動(dòng)態(tài)幾何軟件

當(dāng)前，可用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件有很多，如可用于代數(shù)教學(xué)的軟件有計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（CAS）、SimCalc、動(dòng)態(tài)幾何軟件（包括GSP、SSP等）以及其它相似的軟件．與傳統(tǒng)的代數(shù)教學(xué)相比，這些軟件提供的環(huán)境通常具備如下5個(gè)特點(diǎn)：（1）它提供了支持性的、豐富的問題解決環(huán)境；（2）減少了用于技能訓(xùn)練的時(shí)間，因此學(xué)生將更多的時(shí)間和精力用于發(fā)展概念性理解；（3）技術(shù)的廣泛應(yīng)用；（4）提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；（5）促進(jìn)了與現(xiàn)實(shí)世界問題的聯(lián)系[6，23-24，26-28]．CAS軟件建立了圖象、數(shù)字和符號(hào)運(yùn)算之間的多重聯(lián)系，這使得老師和學(xué)生可以用它來解決各種現(xiàn)實(shí)世界問題[29]．如在SimCalc中，使用者能調(diào)查和研究模擬的現(xiàn)象，探索與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念[30]．

自20世紀(jì)80年代第一個(gè)DGS軟件GSP問世以來，動(dòng)態(tài)幾何的教育價(jià)值很快得到世界各國數(shù)學(xué)教育工作者的肯定，DGS軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用也一直是一項(xiàng)熱門的研究課題．在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂里，DGS軟件通常用作教學(xué)的輔助手段．如中國的數(shù)學(xué)教師在制作課件時(shí)，常使用SSP來幫助學(xué)生探究幾何對(duì)象之間的關(guān)系，掌握它們的本質(zhì)屬性[31-32]．在創(chuàng)新的數(shù)學(xué)課堂里，DGS則通常用作學(xué)生的學(xué)習(xí)工具．這些工具給學(xué)生提供了獨(dú)立探索數(shù)學(xué)思想、驗(yàn)證假設(shè)和分析例子的機(jī)會(huì)．當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)時(shí)，老師的角色則變成了學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者和促進(jìn)者．這種全新的師生關(guān)系提高了學(xué)習(xí)效率并且促進(jìn)了師生之間在情感和學(xué)術(shù)上的交流[27]．近來有許多研究關(guān)注到DGS軟件提供的動(dòng)態(tài)行為（如拖曳），特別是學(xué)生運(yùn)用DGS軟件動(dòng)態(tài)行為的策略可以促進(jìn)他們建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)概念[24，28，33-35]．

計(jì)算機(jī)軟件（如DGS）如果運(yùn)用得當(dāng)，可以促進(jìn)學(xué)生的縱向發(fā)展（從操作到對(duì)象水平的發(fā)展）和橫向發(fā)展（不同表征之間關(guān)聯(lián)的建立）[9，12，18，23-24，36]．計(jì)算機(jī)軟件可以用具體的形式表示抽象的概念，進(jìn)而簡(jiǎn)化學(xué)生學(xué)習(xí)的縱向發(fā)展過程．它還可以讓學(xué)生在對(duì)一種表征進(jìn)行操作的過程中研究另一個(gè)表征的相應(yīng)變化，進(jìn)而幫助學(xué)生建立多重表征之間的聯(lián)系[36-37]．SSP軟件主要起到輔助教學(xué)的作用，其主要有兩個(gè)作用，一是同步顯示多重表征，幫助學(xué)生建立它們之間的關(guān)系；二是在函數(shù)圖象平移的過程中追蹤對(duì)應(yīng)點(diǎn)的變化．圖2和圖3分別展示了原函數(shù)圖象上的每一點(diǎn)如何一致地沿軸和軸平移到新的函數(shù)圖象上．與此同時(shí)，希望SSP的運(yùn)用能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．

圖2 原圖象上的每一點(diǎn)以相同的方式沿x軸平移

圖3 原圖象上的每一點(diǎn)以相同的方式沿y軸平移

學(xué)生可以通過追蹤移動(dòng)圖象上的點(diǎn)，看到所有的點(diǎn)以相同的方式移動(dòng)，來理解函數(shù)圖象的平移過程．必須注意到，二次函數(shù)沿軸的平移看起來比沿軸的平移更明顯．在圖3中，兩個(gè)終點(diǎn)所走的距離似乎比最低點(diǎn)所走過的距離要短，這里有個(gè)視覺差．這個(gè)問題后面還會(huì)作進(jìn)一步探討．

2.4 兩個(gè)認(rèn)知沖突

2.5 關(guān)系—映射—反演原則

圖4 RMI原則

3 研究問題

研究旨在回答這樣一個(gè)研究問題：“與傳統(tǒng)教學(xué)相比，基于APOS理論和RMI原則設(shè)計(jì)的、在DGS支持下的一元二次函數(shù)圖象的教學(xué)能否更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象平移的理解？”對(duì)應(yīng)的研究假設(shè)是：與傳統(tǒng)教學(xué)相比，基于APOS理論和RMI原則設(shè)計(jì)的、在DGS的支持下的一元二次函數(shù)圖象的教學(xué)能更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象平移的理解．

4 研究方法

采用準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)時(shí)間跨兩周，總共6節(jié)課，其中4節(jié)用于教學(xué)，前后兩節(jié)分別用于前測(cè)和后測(cè)．實(shí)驗(yàn)組學(xué)生接受SSP支持下的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，對(duì)照組則采用傳統(tǒng)的教學(xué)，不使用任何DGS軟件．

圖5 RMI原則在函數(shù)圖象平移中的應(yīng)用

實(shí)驗(yàn)對(duì)象是來自西安市某校兩個(gè)十年級(jí)的班級(jí)共45名學(xué)生．其中實(shí)驗(yàn)組學(xué)生23名（女生8名，男生15名）；對(duì)照組學(xué)生22名（女生7名，男生15名）．兩班學(xué)生男女比例比較接近．實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的教學(xué)均由原班數(shù)學(xué)老師實(shí)施，是同一位老師．

實(shí)驗(yàn)措施：在教學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行之前，兩個(gè)班的實(shí)驗(yàn)對(duì)象已在九年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)并且知道二次函數(shù)的基本特點(diǎn)．他們也學(xué)習(xí)過二次函數(shù)圖象平移的基本規(guī)則，即左加右減，上加下減．實(shí)驗(yàn)組的教學(xué)主要是基于前面提到的發(fā)生認(rèn)識(shí)論視角的分解而設(shè)計(jì)的，并且要先介紹3個(gè)背景專題．實(shí)驗(yàn)組的教學(xué)從點(diǎn)的平移開始，通過二次函數(shù)的圖象平移，到單變量函數(shù)的圖象平移．在SSP的支持下，實(shí)驗(yàn)組的教學(xué)還側(cè)重于展示平移前后兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)之間的關(guān)系以及函數(shù)的圖形表征和代數(shù)表征之間的關(guān)聯(lián)．四節(jié)課的教學(xué)涵蓋了如下7個(gè)專題．

（3）點(diǎn)的平移．這部分同樣借助于SSP的支持，涉及坐標(biāo)平面R2上點(diǎn)的平移以及平移過程中的多重表征．

（5）二次函數(shù)圖象的平移1（頂點(diǎn)法）．基于頂點(diǎn)的平移，使用RMI原則將原函數(shù)和平移后得到的函數(shù)關(guān)聯(lián)起來．

（6）二次函數(shù)圖象的平移2（任意點(diǎn)）．由二次函數(shù)上特殊的點(diǎn)（如頂點(diǎn)）擴(kuò)展至二次函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)，在SSP的幫助下，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不僅是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，該圖象上的任意點(diǎn)都以相同的方式平移．學(xué)生可能也會(huì)認(rèn)為函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)跟著頂點(diǎn)做相同的平移．

（7）單變量函數(shù)的圖象平移（任意點(diǎn)）．第六部分可以作為這里的引入部分．在這里，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)第六部分的規(guī)則適用于任何單變量函數(shù)圖象的平移．

數(shù)據(jù)分析．對(duì)于填空題，使用0—1評(píng)分法．還確定了參與者可能達(dá)到的APOS的階段．處于操作前階段的學(xué)生無法在所有涉及操作階段的題目上得到正確的答案．而處于操作階段的學(xué)生應(yīng)該在所有涉及操作階段的問題上得到正確的答案．處于過程階段的學(xué)生應(yīng)該在所有涉及操作和過程階段的問題上得到正確答案．處于對(duì)象階段的學(xué)生應(yīng)該在操作、過程和對(duì)象階段的所有問題上得到正確答案．處于圖式階段的學(xué)生應(yīng)該能正確回答所有問題．

通過檢驗(yàn)比較實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組學(xué)生的成績?cè)鲩L是否有差異．

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)得到的Cronbach’s系數(shù)是0.84，所以從統(tǒng)計(jì)意義上來說，測(cè)試是可信的．下面將首先報(bào)告兩組學(xué)生的總分，然后再呈現(xiàn)達(dá)到操作、過程、對(duì)象和圖式等階段的學(xué)生的百分比，以比較兩組學(xué)生的表現(xiàn)差異．

表1 實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組學(xué)生在前測(cè)和后測(cè)的原始總分的 均值（標(biāo)準(zhǔn)化的）和標(biāo)準(zhǔn)差

注：前測(cè)滿分是25分，后測(cè)滿分是34分；前測(cè)和后測(cè)標(biāo)準(zhǔn)化后的范圍是[0, 100]；**<0.01．

表2展示了在不同APOS階段學(xué)生的百分比．對(duì)照組的學(xué)生在前測(cè)和后測(cè)中的百分比沒有太大差異．在前測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生在操作階段的百分比高于對(duì)照組，而在其余3個(gè)階段，實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組學(xué)生在百分比之間沒有多大差異．然而，在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生達(dá)到圖式階段所占的百分比遠(yuǎn)高于對(duì)照組，而且實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生在操作階段所占的百分比也遠(yuǎn)低于對(duì)照組．盡管在過程和對(duì)象階段，實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組學(xué)生的百分比之間沒有較明顯的差異，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在后測(cè)中到達(dá)對(duì)象階段和圖式階段所占的百分比均有提升．與此同時(shí)，實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生在后測(cè)中達(dá)到過程階段的百分比和圖式階段的百分比均高于前測(cè)中的對(duì)應(yīng)百分比，相應(yīng)地，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在后測(cè)中處于操作階段的百分比較明顯地低于其在前測(cè)中的百分比．

表2 學(xué)生在不同APOS階段所占的百分比

這些結(jié)果表明，研究設(shè)計(jì)有助于實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在函數(shù)圖象平移的理解方面從操作階段向圖式階段提升．特別地，更多的學(xué)生能夠在腦中建構(gòu)二次函數(shù)圖象平移的意象，并運(yùn)用這一策略解決其它數(shù)學(xué)圖形的平移問題．SSP的使用不僅可以促進(jìn)學(xué)生的理解從操作階段向?qū)ο箅A段提升[3，9，11]，也可以幫助學(xué)生從對(duì)象階段向圖式階段提升．他們可以擴(kuò)展函數(shù)圖象平移的策略來解決解析幾何中的圖形（如圓）平移問題．RMI原則的使用有助于學(xué)生將這種問題解決的方法融會(huì)貫通．

6 討論

研究表明：基于APOS理論和RMI原則設(shè)計(jì)的、在DGS支持下的教學(xué)可以幫助實(shí)驗(yàn)組學(xué)生形成對(duì)函數(shù)圖象平移的更好理解．同時(shí)，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在拓展問題上的突出表現(xiàn)表明：該教學(xué)設(shè)計(jì)可以幫助實(shí)驗(yàn)組學(xué)生完成從操作階段向圖式階段的過渡．

之前的研究表明，大多數(shù)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解停留在操作階段，而沒能達(dá)到APOS理論中更高的水平[4]．研究結(jié)果表明：好的教學(xué)設(shè)計(jì)是可以幫助學(xué)生從操作階段提升到過程階段，甚至更高的階段．怎樣達(dá)成這個(gè)目標(biāo)呢？研究中試圖去跟蹤一些點(diǎn)以幫助學(xué)生看到原函數(shù)和新獲得的函數(shù)圖象上的點(diǎn)是如何關(guān)聯(lián)的．這種跟蹤也可以讓學(xué)生看到所有的點(diǎn)以相同的方式移動(dòng)，因此可以幫助學(xué)生看到原函數(shù)圖象上的點(diǎn)和新獲得函數(shù)圖象上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．DGS軟件所提供的跟蹤功能的創(chuàng)造性運(yùn)用，幫助實(shí)驗(yàn)組學(xué)生看到二次函數(shù)圖象的平移，不僅是基于相應(yīng)點(diǎn)的平移，更重要的是均與頂點(diǎn)做相同的平移．點(diǎn)的跟蹤給學(xué)生提供了一個(gè)將操作內(nèi)化的機(jī)會(huì)．研究者觀察到大多數(shù)教師只是追蹤一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的函數(shù)圖象，希望學(xué)生能看到原函數(shù)和新獲得函數(shù)之間的關(guān)系．然而，如果不基于點(diǎn)的平移，學(xué)生將很難看到兩個(gè)圖象之間的關(guān)聯(lián)．

當(dāng)然，跟蹤的運(yùn)用只能“顯示”平移對(duì)圖象的影響，包括對(duì)圖象表征和代數(shù)表征的影響．DGS提供了德雷福斯所建議的可平行使用多個(gè)表征的平臺(tái)．然而，它并不能解釋點(diǎn)的平移和函數(shù)圖象平移之間的認(rèn)知沖突，這時(shí)RMI原則的使用發(fā)揮了更重要的作用．實(shí)驗(yàn)中RMI原則的運(yùn)用不僅能幫助學(xué)生解決認(rèn)知沖突，還能將這一策略推廣到解決解析幾何中一般的圖形平移問題．同時(shí)，RMI原則的運(yùn)用也能避免傳統(tǒng)教學(xué)方法給學(xué)生造成的困惑，因此也可能會(huì)降低實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷．

7 啟示

研究表明：點(diǎn)的平移是學(xué)生理解函數(shù)圖象平移的基礎(chǔ)．不幸的是，在20世紀(jì)90年代，教學(xué)中已經(jīng)將點(diǎn)的平移從高中數(shù)學(xué)課程中刪除．強(qiáng)烈建議重新將這一內(nèi)容加入高中數(shù)學(xué)課程，為學(xué)生深刻理解函數(shù)圖象的平移和變換打好基礎(chǔ)．

研究主要關(guān)注二次函數(shù)圖象沿兩個(gè)坐標(biāo)軸的平移，該設(shè)計(jì)思想同樣可以用于其它函數(shù)（如三角函數(shù)）及其包括平移在內(nèi)的圖象變換．同樣地，點(diǎn)的坐標(biāo)變換也是三角函數(shù)圖象變換的基礎(chǔ)．因此，點(diǎn)的坐標(biāo)變換也應(yīng)被納入高中數(shù)學(xué)課程之中，并放在三角函數(shù)圖象變換之前．像SSP這樣的DGS軟件所提供的跟蹤功能是一種很強(qiáng)大的工具，它可以顯示兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)之間關(guān)系，幫助學(xué)生建立圖象表征和代數(shù)表征之間的關(guān)聯(lián)．

不可避免，研究也受到實(shí)驗(yàn)條件的限制．首先樣本太小，需要有更大樣本的研究．其次，在前測(cè)和后測(cè)中需要加入更多的題目，以保證在APOS理論的每個(gè)階段中至少有3道題目．最后，在研究中，SSP用來說明原函數(shù)圖象和平移后的函數(shù)圖象之間的關(guān)系．這個(gè)工具也可以教給學(xué)生，讓他們自己去探索一組函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)，以及代數(shù)和解析幾何中其它相似的專題．

圖6 函數(shù)和圖象之間的關(guān)系

圖7 函數(shù)和圖象間的關(guān)系

8 結(jié)論

簡(jiǎn)而言之，實(shí)驗(yàn)成功地將多種數(shù)學(xué)教育理論（APOS理論、RMI原則、表征理論等）綜合在一起解決學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象平移中的困難．對(duì)數(shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn)在于它不僅指出了學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象平移時(shí)可能遇到的認(rèn)知障礙，還設(shè)計(jì)了一個(gè)教學(xué)計(jì)劃以幫助學(xué)生克服可能存在的障礙．先前的研究表明學(xué)生們對(duì)于函數(shù)概念的理解常限于操作階段而不能達(dá)至APOS理論中更高的層次[4]，這里通過DGS環(huán)境的支持，結(jié)合RMI原則的解釋所設(shè)計(jì)的教學(xué)可以提升學(xué)生的理解．DGS軟件清晰地展示了原函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)是如何移動(dòng)到平移后的圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．除此之外，DGS軟件清晰地展現(xiàn)了所有的點(diǎn)都在以相同的方式移動(dòng)，這有助于學(xué)生對(duì)操作階段進(jìn)行內(nèi)化，從而進(jìn)入更高層次的過程階段．而對(duì)二次函數(shù)圖象平移形成較好的理解，必將為今后微積分和大學(xué)數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)的研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

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Teaching Graph Translation of Quadratic Functions Based on APOS Theory and RMI Principle: A Quasi- Experimental Study

JIANG Chun-lian1, HU Ling2

(1. Faculty of Education, University of Macau, Macao 999078, China;2. Shanghai Branch, Beijing Bytedance Limited Cooperation, Shanghai 201100, China)

Graph translation of functions is an important but difficult topic in high school mathematics. This study attempts to facilitate students’ understanding of graph translation of quadratic functions in a dynamic-geometry-software (DGS) supported environment. A quasi-experimental study design was used. This teaching experiment was carried out in two weeks including six lessons, four of which were used for teaching and two for pre- and post-tests. The experimental group (=23) received an instruction based on Action-Process-Object-Schema (APOS) theory and Relationship-Mapping-Inversion (RMI) principle in a DGS supported environment. The control group (=22) followed the traditional instruction without using any DGS. The comparison between students’ performance in the pre- and post-tests indicates that the experimental group outperformed the control group not only in items of point translations and graph translation of quadratic functions, but also in items in an extended area including complex functions and circles. This quasi-experimental design can be extended to the teaching of graph transformation of trigonometrical functions as well as geometrical shapes in 2-D and 3-D coordinate systems.

APOS theory; Relationship-Mapping-Inversion (RMI) principle; function; graph translation; multiple representations

G632.0

A

1004-9894（2020）06-0032-08

江春蓮，胡玲．基于APOS理論和RMI原則的二次函數(shù)圖象平移教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（6）：32-39．

2020-08-18

澳門大學(xué)研究基金項(xiàng)目——高中生函數(shù)學(xué)習(xí)路徑分析（MYRG2020-00277-FED）

江春蓮（1971—），女，湖北武漢人，助理教授，主要從事數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)問題提出、數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)、數(shù)學(xué)教育技術(shù)、數(shù)學(xué)奧林匹克研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]