江春蓮，胡 玲

基于APOS理論和RMI原則的二次函數(shù)圖象平移教學(xué)實驗研究

江春蓮1，胡 玲2

（1．澳門大學(xué) 教育學(xué)院，澳門 999078；2．北京字節(jié)跳動有限公司上海分公司，上海 201100）

函數(shù)圖象變換是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點和難點，嘗試運用動態(tài)幾何軟件呈現(xiàn)二次函數(shù)圖象平移過程中點的共同運動特點以促進(jìn)學(xué)生的理解．采用準(zhǔn)實驗設(shè)計，實驗包括6節(jié)課，其中4節(jié)用于教學(xué)實驗，2節(jié)用于前測和后測．實驗組（=23）的教學(xué)是基于APOS理論以及RMI原則設(shè)計的，并在DGS的支持下進(jìn)行；而對照組（=22）則運用傳統(tǒng)的教學(xué)，也無DGS的支持．結(jié)果表明：實驗組的學(xué)生在點的平移、二次函數(shù)圖象的平移以及復(fù)合函數(shù)和圓的平移等拓展領(lǐng)域均好于對照組．該實驗設(shè)計可以擴(kuò)展到三角函數(shù)圖象變換教學(xué)．

APOS理論；關(guān)系—映射—反演原則（RMI原則）；函數(shù)；圖象平移；多重表征

1 問題提出

2 理論框架

關(guān)于二次函數(shù)圖象平移的教學(xué)實驗研究設(shè)計主要以杜賓斯基與其合作伙伴[3，9]提出的APOS理論為基礎(chǔ)．該實驗是在SSP的支持下進(jìn)行的，SSP可以作為建立二次函數(shù)的代數(shù)表征和圖象表征之間關(guān)聯(lián)的媒介．然而，若要解決點的平移的代數(shù)表征和函數(shù)圖象的代數(shù)表征之間的認(rèn)知沖突，以及函數(shù)圖象沿軸平移和沿軸平移的代數(shù)表征之間的認(rèn)知沖突，需要運用關(guān)系—映像—反演（relationship mapping and inverse，簡寫為RMI）原則．圖1展示了實驗所涉及的4個方面之間的關(guān)系．下面將從APOS理論、函數(shù)的多元表征、DGS軟件在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用和RMI原則4個方面作文獻(xiàn)綜述．

圖1 “APOS理論”“多元表征”“SSP和RMI原則”之間的關(guān)系

2.1 “操作—過程—對象—圖式”理論

在APOS理論中，當(dāng)學(xué)生能夠按照一套明確的指示對一個數(shù)學(xué)對象做變換時，就說他達(dá)到了操作水平．當(dāng)學(xué)生不需要進(jìn)行任何實際的操作就可以在腦海中進(jìn)行整個操作或作反思時，就說學(xué)生將操作內(nèi)化成了一個過程．如果學(xué)生意識到過程可以當(dāng)作一個整體來把握并且可以對其實施更高級的操作時，學(xué)生的理解就達(dá)到了對象水平．此時，學(xué)生將內(nèi)化形成的過程濃縮成一個對象．?dāng)?shù)學(xué)圖式可以看作是當(dāng)前的操作、過程和對象等概念和其它先前構(gòu)建的圖式所形成的連貫的整體[3，10-12]．圖式的連貫性可通過學(xué)生能否用它來解決特定的數(shù)學(xué)問題的能力來確定[8]．杜賓斯基的圖式概念源自皮亞杰[13]，皮亞杰指出學(xué)生學(xué)會了一個專題就意味著他能夠解決和此專題相關(guān)的問題．

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念[2，14-15]．因此，關(guān)于函數(shù)概念的教與學(xué)的研究比較多[4，16]．杜賓斯基[13]認(rèn)為，如果一個學(xué)生只能用數(shù)字代替公式中的字母，他對函數(shù)概念的理解處于操作階段．如果他能內(nèi)化這些操作并能將情境看作是對對象實施的一個操作，而該操作可以將一個函數(shù)對象變?yōu)榱硪粋€函數(shù)對象，他就能夠協(xié)調(diào)函數(shù)過程及其圖象，他對函數(shù)概念的理解就達(dá)到了過程階段．反轉(zhuǎn)函數(shù)的知求的過程以求得反函數(shù)可以看作是對函數(shù)的過程理解水平．當(dāng)學(xué)生對函數(shù)的理解完成了內(nèi)化—壓縮過程并將其視為一個對象時（如可以解微分方程或建立不定積分），就可以看作達(dá)到了函數(shù)的對象理解水平．理解函數(shù)圖象的平移和其它變換可以看作是對函數(shù)概念的過程和對象理解水平．

在運用APOS理論描述學(xué)生的建構(gòu)過程時，研究者需要對學(xué)生要學(xué)習(xí)的概念從發(fā)生認(rèn)識論的角度進(jìn)行分解，生成一個假設(shè)的模型，以描述學(xué)生學(xué)習(xí)該數(shù)學(xué)概念可能需要建構(gòu)的心理結(jié)構(gòu)和機(jī)制[8]．結(jié)合RMI原則、多重表征理論和信息技術(shù)的整合理論，研究中的發(fā)生認(rèn)識論的解構(gòu)如下．

（3）對象．當(dāng)學(xué)生能將二次函數(shù)的圖象平移濃縮成一個整體，并遷移到一般的單變量函數(shù)時，更高層次的內(nèi)化就出現(xiàn)了．RMI原則在這一過程中發(fā)揮了類似的作用．

（4）圖式．主體可以運用函數(shù)圖象平移的策略來解決其它涉及圖形變換的問題，例如圓的平移或壓縮等，形成連貫的知識體系．

2.2 函數(shù)的多重表征

日常用多重表征表示同一個數(shù)學(xué)概念，如函數(shù)，常用解析式、列表和圖象等來表示．研究表明，與只通過單一表征（多數(shù)是代數(shù)符號表征）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生相比，通過多重表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生通常對知識的記憶更長久，對知識的運用也更加高效[17]．多重表征可以促進(jìn)學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)概念的理解[18-19]．中國的中學(xué)數(shù)學(xué)課程非常強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法，以幫助學(xué)生建立代數(shù)表征與圖形表征之間的關(guān)聯(lián)，并被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)問題解決．

多重表征之間的轉(zhuǎn)換可以幫助學(xué)生進(jìn)行歸納．歸納能力是代數(shù)推理的一個標(biāo)志，特別是在思維習(xí)慣上需要有重大突破時[6]．德雷福斯[18]提出歸納過程一般需要經(jīng)歷如下4個階段：使用單個表征，平行地使用多重表征，在平行的多重表征之間建立聯(lián)系，將不同表征整合在一起并能在彼此之間靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)換．

多重表征的使用為抽象數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)提供了便利，然而不同表征之間的變換對學(xué)生來說，有時又會造成認(rèn)知障礙[18-20]．借助現(xiàn)代資訊科技，可以幫助學(xué)生克服這些認(rèn)知障礙．

一個函數(shù)可以用多種不同的表示形式，如語言、數(shù)字、圖象和代數(shù)符號等形式[4]，它們呈現(xiàn)出函數(shù)的不同特征[21]．所以學(xué)生不僅需要運用多重表征來表示函數(shù)，還需要建立不同表征之間的關(guān)聯(lián)，才能形成對函數(shù)的完整理解．大量研究表明多重表征的運用有助于函數(shù)的教學(xué)[11，22-24]，其不僅有助于學(xué)生理解觀察到的現(xiàn)象與函數(shù)概念之間的聯(lián)系，也有助于學(xué)生對函數(shù)概念的理解從操作水平提升到過程水平．

代數(shù)表征和圖象表征之間的互動可以幫助學(xué)生在大腦中建構(gòu)關(guān)于函數(shù)圖象平移的知識．研究者試圖以SSP為媒介去建立函數(shù)的多重表征之間的聯(lián)系．在函數(shù)圖象平移的過程，SSP可以動態(tài)地呈現(xiàn)原圖象上的點如何移到新的函數(shù)圖象上，這種動態(tài)表征有助于建立原函數(shù)圖象和新函數(shù)圖象之間的聯(lián)系．以SSP為媒介的多重表征也有助于學(xué)生通過同時顯示的代數(shù)表征和圖象表征的變化歸納函數(shù)圖象平移的普遍規(guī)律．DGS軟件（包括幾何畫板GSP、SSP等）能動態(tài)地、靈活地處理不同表征形式的函數(shù)，例如表格、圖象、解析式等形式[25]，其提供的多重表征及其之間的動態(tài)變換可以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)對象和過程的理解．

2.3 動態(tài)幾何軟件

當(dāng)前，可用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件有很多，如可用于代數(shù)教學(xué)的軟件有計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（CAS）、SimCalc、動態(tài)幾何軟件（包括GSP、SSP等）以及其它相似的軟件．與傳統(tǒng)的代數(shù)教學(xué)相比，這些軟件提供的環(huán)境通常具備如下5個特點：（1）它提供了支持性的、豐富的問題解決環(huán)境；（2）減少了用于技能訓(xùn)練的時間，因此學(xué)生將更多的時間和精力用于發(fā)展概念性理解；（3）技術(shù)的廣泛應(yīng)用；（4）提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)；（5）促進(jìn)了與現(xiàn)實世界問題的聯(lián)系[6，23-24，26-28]．CAS軟件建立了圖象、數(shù)字和符號運算之間的多重聯(lián)系，這使得老師和學(xué)生可以用它來解決各種現(xiàn)實世界問題[29]．如在SimCalc中，使用者能調(diào)查和研究模擬的現(xiàn)象，探索與運動相關(guān)的數(shù)學(xué)概念[30]．

自20世紀(jì)80年代第一個DGS軟件GSP問世以來，動態(tài)幾何的教育價值很快得到世界各國數(shù)學(xué)教育工作者的肯定，DGS軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用也一直是一項熱門的研究課題．在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂里，DGS軟件通常用作教學(xué)的輔助手段．如中國的數(shù)學(xué)教師在制作課件時，常使用SSP來幫助學(xué)生探究幾何對象之間的關(guān)系，掌握它們的本質(zhì)屬性[31-32]．在創(chuàng)新的數(shù)學(xué)課堂里，DGS則通常用作學(xué)生的學(xué)習(xí)工具．這些工具給學(xué)生提供了獨立探索數(shù)學(xué)思想、驗證假設(shè)和分析例子的機(jī)會．當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃訒r，老師的角色則變成了學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者和促進(jìn)者．這種全新的師生關(guān)系提高了學(xué)習(xí)效率并且促進(jìn)了師生之間在情感和學(xué)術(shù)上的交流[27]．近來有許多研究關(guān)注到DGS軟件提供的動態(tài)行為（如拖曳），特別是學(xué)生運用DGS軟件動態(tài)行為的策略可以促進(jìn)他們建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)概念[24，28，33-35]．

計算機(jī)軟件（如DGS）如果運用得當(dāng)，可以促進(jìn)學(xué)生的縱向發(fā)展（從操作到對象水平的發(fā)展）和橫向發(fā)展（不同表征之間關(guān)聯(lián)的建立）[9，12，18，23-24，36]．計算機(jī)軟件可以用具體的形式表示抽象的概念，進(jìn)而簡化學(xué)生學(xué)習(xí)的縱向發(fā)展過程．它還可以讓學(xué)生在對一種表征進(jìn)行操作的過程中研究另一個表征的相應(yīng)變化，進(jìn)而幫助學(xué)生建立多重表征之間的聯(lián)系[36-37]．SSP軟件主要起到輔助教學(xué)的作用，其主要有兩個作用，一是同步顯示多重表征，幫助學(xué)生建立它們之間的關(guān)系；二是在函數(shù)圖象平移的過程中追蹤對應(yīng)點的變化．圖2和圖3分別展示了原函數(shù)圖象上的每一點如何一致地沿軸和軸平移到新的函數(shù)圖象上．與此同時，希望SSP的運用能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．

圖2 原圖象上的每一點以相同的方式沿x軸平移

圖3 原圖象上的每一點以相同的方式沿y軸平移

學(xué)生可以通過追蹤移動圖象上的點，看到所有的點以相同的方式移動，來理解函數(shù)圖象的平移過程．必須注意到，二次函數(shù)沿軸的平移看起來比沿軸的平移更明顯．在圖3中，兩個終點所走的距離似乎比最低點所走過的距離要短，這里有個視覺差．這個問題后面還會作進(jìn)一步探討．

2.4 兩個認(rèn)知沖突

2.5 關(guān)系—映射—反演原則

圖4 RMI原則

3 研究問題

研究旨在回答這樣一個研究問題：“與傳統(tǒng)教學(xué)相比，基于APOS理論和RMI原則設(shè)計的、在DGS支持下的一元二次函數(shù)圖象的教學(xué)能否更好地促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)圖象平移的理解？”對應(yīng)的研究假設(shè)是：與傳統(tǒng)教學(xué)相比，基于APOS理論和RMI原則設(shè)計的、在DGS的支持下的一元二次函數(shù)圖象的教學(xué)能更好地促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)圖象平移的理解．

4 研究方法

采用準(zhǔn)實驗設(shè)計，實驗時間跨兩周，總共6節(jié)課，其中4節(jié)用于教學(xué)，前后兩節(jié)分別用于前測和后測．實驗組學(xué)生接受SSP支持下的實驗教學(xué)，對照組則采用傳統(tǒng)的教學(xué)，不使用任何DGS軟件．

圖5 RMI原則在函數(shù)圖象平移中的應(yīng)用

實驗對象是來自西安市某校兩個十年級的班級共45名學(xué)生．其中實驗組學(xué)生23名（女生8名，男生15名）；對照組學(xué)生22名（女生7名，男生15名）．兩班學(xué)生男女比例比較接近．實驗組和對照組的教學(xué)均由原班數(shù)學(xué)老師實施，是同一位老師．

實驗措施：在教學(xué)實驗進(jìn)行之前，兩個班的實驗對象已在九年級時學(xué)習(xí)過二次函數(shù)并且知道二次函數(shù)的基本特點．他們也學(xué)習(xí)過二次函數(shù)圖象平移的基本規(guī)則，即左加右減，上加下減．實驗組的教學(xué)主要是基于前面提到的發(fā)生認(rèn)識論視角的分解而設(shè)計的，并且要先介紹3個背景專題．實驗組的教學(xué)從點的平移開始，通過二次函數(shù)的圖象平移，到單變量函數(shù)的圖象平移．在SSP的支持下，實驗組的教學(xué)還側(cè)重于展示平移前后兩個函數(shù)圖象上對應(yīng)坐標(biāo)點之間的關(guān)系以及函數(shù)的圖形表征和代數(shù)表征之間的關(guān)聯(lián)．四節(jié)課的教學(xué)涵蓋了如下7個專題．

（3）點的平移．這部分同樣借助于SSP的支持，涉及坐標(biāo)平面R2上點的平移以及平移過程中的多重表征．

（5）二次函數(shù)圖象的平移1（頂點法）．基于頂點的平移，使用RMI原則將原函數(shù)和平移后得到的函數(shù)關(guān)聯(lián)起來．

（6）二次函數(shù)圖象的平移2（任意點）．由二次函數(shù)上特殊的點（如頂點）擴(kuò)展至二次函數(shù)圖象上的任意點，在SSP的幫助下，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不僅是二次函數(shù)圖象的頂點，該圖象上的任意點都以相同的方式平移．學(xué)生可能也會認(rèn)為函數(shù)圖象上的所有點跟著頂點做相同的平移．

（7）單變量函數(shù)的圖象平移（任意點）．第六部分可以作為這里的引入部分．在這里，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)第六部分的規(guī)則適用于任何單變量函數(shù)圖象的平移．

數(shù)據(jù)分析．對于填空題，使用0—1評分法．還確定了參與者可能達(dá)到的APOS的階段．處于操作前階段的學(xué)生無法在所有涉及操作階段的題目上得到正確的答案．而處于操作階段的學(xué)生應(yīng)該在所有涉及操作階段的問題上得到正確的答案．處于過程階段的學(xué)生應(yīng)該在所有涉及操作和過程階段的問題上得到正確答案．處于對象階段的學(xué)生應(yīng)該在操作、過程和對象階段的所有問題上得到正確答案．處于圖式階段的學(xué)生應(yīng)該能正確回答所有問題．

通過檢驗比較實驗組和對照組學(xué)生的成績增長是否有差異．

5 實驗結(jié)果

實驗得到的Cronbach’s系數(shù)是0.84，所以從統(tǒng)計意義上來說，測試是可信的．下面將首先報告兩組學(xué)生的總分，然后再呈現(xiàn)達(dá)到操作、過程、對象和圖式等階段的學(xué)生的百分比，以比較兩組學(xué)生的表現(xiàn)差異．

表1 實驗組和對照組學(xué)生在前測和后測的原始總分的 均值（標(biāo)準(zhǔn)化的）和標(biāo)準(zhǔn)差

注：前測滿分是25分，后測滿分是34分；前測和后測標(biāo)準(zhǔn)化后的范圍是[0, 100]；**<0.01．

表2展示了在不同APOS階段學(xué)生的百分比．對照組的學(xué)生在前測和后測中的百分比沒有太大差異．在前測中，實驗組的學(xué)生在操作階段的百分比高于對照組，而在其余3個階段，實驗組和對照組學(xué)生在百分比之間沒有多大差異．然而，在后測中，實驗組的學(xué)生達(dá)到圖式階段所占的百分比遠(yuǎn)高于對照組，而且實驗組的學(xué)生在操作階段所占的百分比也遠(yuǎn)低于對照組．盡管在過程和對象階段，實驗組和對照組學(xué)生的百分比之間沒有較明顯的差異，實驗組學(xué)生在后測中到達(dá)對象階段和圖式階段所占的百分比均有提升．與此同時，實驗組的學(xué)生在后測中達(dá)到過程階段的百分比和圖式階段的百分比均高于前測中的對應(yīng)百分比，相應(yīng)地，實驗組學(xué)生在后測中處于操作階段的百分比較明顯地低于其在前測中的百分比．

表2 學(xué)生在不同APOS階段所占的百分比

這些結(jié)果表明，研究設(shè)計有助于實驗組學(xué)生在函數(shù)圖象平移的理解方面從操作階段向圖式階段提升．特別地，更多的學(xué)生能夠在腦中建構(gòu)二次函數(shù)圖象平移的意象，并運用這一策略解決其它數(shù)學(xué)圖形的平移問題．SSP的使用不僅可以促進(jìn)學(xué)生的理解從操作階段向?qū)ο箅A段提升[3，9，11]，也可以幫助學(xué)生從對象階段向圖式階段提升．他們可以擴(kuò)展函數(shù)圖象平移的策略來解決解析幾何中的圖形（如圓）平移問題．RMI原則的使用有助于學(xué)生將這種問題解決的方法融會貫通．

6 討論

研究表明：基于APOS理論和RMI原則設(shè)計的、在DGS支持下的教學(xué)可以幫助實驗組學(xué)生形成對函數(shù)圖象平移的更好理解．同時，實驗組學(xué)生在拓展問題上的突出表現(xiàn)表明：該教學(xué)設(shè)計可以幫助實驗組學(xué)生完成從操作階段向圖式階段的過渡．

之前的研究表明，大多數(shù)學(xué)生對函數(shù)概念的理解停留在操作階段，而沒能達(dá)到APOS理論中更高的水平[4]．研究結(jié)果表明：好的教學(xué)設(shè)計是可以幫助學(xué)生從操作階段提升到過程階段，甚至更高的階段．怎樣達(dá)成這個目標(biāo)呢？研究中試圖去跟蹤一些點以幫助學(xué)生看到原函數(shù)和新獲得的函數(shù)圖象上的點是如何關(guān)聯(lián)的．這種跟蹤也可以讓學(xué)生看到所有的點以相同的方式移動，因此可以幫助學(xué)生看到原函數(shù)圖象上的點和新獲得函數(shù)圖象上的點之間的一一對應(yīng)關(guān)系．DGS軟件所提供的跟蹤功能的創(chuàng)造性運用，幫助實驗組學(xué)生看到二次函數(shù)圖象的平移，不僅是基于相應(yīng)點的平移，更重要的是均與頂點做相同的平移．點的跟蹤給學(xué)生提供了一個將操作內(nèi)化的機(jī)會．研究者觀察到大多數(shù)教師只是追蹤一個運動著的函數(shù)圖象，希望學(xué)生能看到原函數(shù)和新獲得函數(shù)之間的關(guān)系．然而，如果不基于點的平移，學(xué)生將很難看到兩個圖象之間的關(guān)聯(lián)．

當(dāng)然，跟蹤的運用只能“顯示”平移對圖象的影響，包括對圖象表征和代數(shù)表征的影響．DGS提供了德雷福斯所建議的可平行使用多個表征的平臺．然而，它并不能解釋點的平移和函數(shù)圖象平移之間的認(rèn)知沖突，這時RMI原則的使用發(fā)揮了更重要的作用．實驗中RMI原則的運用不僅能幫助學(xué)生解決認(rèn)知沖突，還能將這一策略推廣到解決解析幾何中一般的圖形平移問題．同時，RMI原則的運用也能避免傳統(tǒng)教學(xué)方法給學(xué)生造成的困惑，因此也可能會降低實驗組學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷．

7 啟示

研究表明：點的平移是學(xué)生理解函數(shù)圖象平移的基礎(chǔ)．不幸的是，在20世紀(jì)90年代，教學(xué)中已經(jīng)將點的平移從高中數(shù)學(xué)課程中刪除．強(qiáng)烈建議重新將這一內(nèi)容加入高中數(shù)學(xué)課程，為學(xué)生深刻理解函數(shù)圖象的平移和變換打好基礎(chǔ)．

研究主要關(guān)注二次函數(shù)圖象沿兩個坐標(biāo)軸的平移，該設(shè)計思想同樣可以用于其它函數(shù)（如三角函數(shù)）及其包括平移在內(nèi)的圖象變換．同樣地，點的坐標(biāo)變換也是三角函數(shù)圖象變換的基礎(chǔ)．因此，點的坐標(biāo)變換也應(yīng)被納入高中數(shù)學(xué)課程之中，并放在三角函數(shù)圖象變換之前．像SSP這樣的DGS軟件所提供的跟蹤功能是一種很強(qiáng)大的工具，它可以顯示兩個相互關(guān)聯(lián)的圖象上的點與點之間關(guān)系，幫助學(xué)生建立圖象表征和代數(shù)表征之間的關(guān)聯(lián)．

不可避免，研究也受到實驗條件的限制．首先樣本太小，需要有更大樣本的研究．其次，在前測和后測中需要加入更多的題目，以保證在APOS理論的每個階段中至少有3道題目．最后，在研究中，SSP用來說明原函數(shù)圖象和平移后的函數(shù)圖象之間的關(guān)系．這個工具也可以教給學(xué)生，讓他們自己去探索一組函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)，以及代數(shù)和解析幾何中其它相似的專題．

圖6 函數(shù)和圖象之間的關(guān)系

圖7 函數(shù)和圖象間的關(guān)系

8 結(jié)論

簡而言之，實驗成功地將多種數(shù)學(xué)教育理論（APOS理論、RMI原則、表征理論等）綜合在一起解決學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象平移中的困難．對數(shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn)在于它不僅指出了學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象平移時可能遇到的認(rèn)知障礙，還設(shè)計了一個教學(xué)計劃以幫助學(xué)生克服可能存在的障礙．先前的研究表明學(xué)生們對于函數(shù)概念的理解常限于操作階段而不能達(dá)至APOS理論中更高的層次[4]，這里通過DGS環(huán)境的支持，結(jié)合RMI原則的解釋所設(shè)計的教學(xué)可以提升學(xué)生的理解．DGS軟件清晰地展示了原函數(shù)圖象上的每個點是如何移動到平移后的圖象上的對應(yīng)點．除此之外，DGS軟件清晰地展現(xiàn)了所有的點都在以相同的方式移動，這有助于學(xué)生對操作階段進(jìn)行內(nèi)化，從而進(jìn)入更高層次的過程階段．而對二次函數(shù)圖象平移形成較好的理解，必將為今后微積分和大學(xué)數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)的研究奠定堅實的基礎(chǔ)．

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Teaching Graph Translation of Quadratic Functions Based on APOS Theory and RMI Principle: A Quasi- Experimental Study

JIANG Chun-lian1, HU Ling2

(1. Faculty of Education, University of Macau, Macao 999078, China;2. Shanghai Branch, Beijing Bytedance Limited Cooperation, Shanghai 201100, China)

Graph translation of functions is an important but difficult topic in high school mathematics. This study attempts to facilitate students’ understanding of graph translation of quadratic functions in a dynamic-geometry-software (DGS) supported environment. A quasi-experimental study design was used. This teaching experiment was carried out in two weeks including six lessons, four of which were used for teaching and two for pre- and post-tests. The experimental group (=23) received an instruction based on Action-Process-Object-Schema (APOS) theory and Relationship-Mapping-Inversion (RMI) principle in a DGS supported environment. The control group (=22) followed the traditional instruction without using any DGS. The comparison between students’ performance in the pre- and post-tests indicates that the experimental group outperformed the control group not only in items of point translations and graph translation of quadratic functions, but also in items in an extended area including complex functions and circles. This quasi-experimental design can be extended to the teaching of graph transformation of trigonometrical functions as well as geometrical shapes in 2-D and 3-D coordinate systems.

APOS theory; Relationship-Mapping-Inversion (RMI) principle; function; graph translation; multiple representations

G632.0

A

1004-9894（2020）06-0032-08

江春蓮，胡玲．基于APOS理論和RMI原則的二次函數(shù)圖象平移教學(xué)實驗研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（6）：32-39．

2020-08-18

澳門大學(xué)研究基金項目——高中生函數(shù)學(xué)習(xí)路徑分析（MYRG2020-00277-FED）

江春蓮（1971—），女，湖北武漢人，助理教授，主要從事數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)問題提出、數(shù)學(xué)考試評價、數(shù)學(xué)教育技術(shù)、數(shù)學(xué)奧林匹克研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]